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专题十四 分类讨论


专题十四 分类讨论的思想
【考点聚焦】 在研究和解决数学问题时, 当问题所给对象不能进行统一研究, 我们就需要根据数学对 象的本质属性的相同点和不同点,将对象区分为不同种类,然后逐类进行研究和解决,从而 达到解决整个问题的目的,这一思想方法,我们称它为“分类讨论的思想” .分类讨论本质 上是“化整为零,积零为整”的解题策略.? 引起分类讨论原因,通常有以下几种:①涉及的

数学概念是分类定义的(如|x|的定义, P 点分线段的比等) ;②公式、定理、性质或运算法则的应用范围受到限制;③几何图形中 点、线、面的相对位置不确定;④求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性;⑤数学 问题中含有参变量,这些参变量的不同取值会导致不同结果.? 分类讨论的一般步骤是: (1)确定讨论对象和确定研究的全域; (2)进行科学分类(按 照某一确定的标准在比较的基础上分类) , “比较”是分类的前提, “分类”是比较的结果. 分 类时,应不重复,不遗漏; (3)逐类讨论; (4)归纳小结,整合得出结论. 【自我检测】 1. 设 A= ? x | x ? a ? 0 ? , B ? ? x | a x ? 1 ? 0 ? , 且 A ? B ? B , 则 实 数 a 的 值 为 (D A. 1 B. ? 1 C. 1 或 ? 1 D. 1 , ? 1 或 0 ) )

2.一条直线过点(5,2) ,且在 x 轴,y 轴上截距相等,则这直线方程为( C A. x ? y ? 7 ? 0 C. x ? y ? 7 ? 0 或 2 x ? 5 y ? 0 B. 2 x ? 5 y ? 0

D. x ? y ? 7 ? 0 或 2 y ? 5 x ? 0

3.(2005 全国卷Ⅲ)不共面的四个定点到平面 ? 的距离都相等,这样的平面 ? 共有( D ) A.3 个 B.4 个 C.6 个 D.7 个 4. (2006 辽宁卷)5 名乒乓球队员中,有 2 名老队员和 3 名新队员.现从中选出 3 名队员排成 1、2、3 号参加团体比赛,则入选的 3 名队员中至少有一名老队员,且 1、2 号中至少有 1 名新 队员的排法有___48____种.(以数作答) 【重点 ? 难点 ? 热点】 问题 1 由概念的定义引起的分类讨论 例 1 (2006 辽宁)已知函数 f ( x ) ? (A) ? ? 1,1 ?
? ? ? ,1 ? 2 ? 2
1 2 (s in x ? c o s x ) ?
? ? 2? ? 2 ?

1 2

s in x ? c o s x ,则 f ( x ) 的值域是
? ? 2? ? 2 ?

(B) ? ?

(C) ? ? 1,

(D) ? ? 1, ?

【解析】 f ( x ) ?

1 2

(s in x ? c o s x ) ?

1

? c o s x (s in x ? c o s x ) s in x ? c o s x ? ? 2 ? s in x (s in x ? c o s x )

即等价于 { sin x , co s x } m in ,故选择答案 C。
1

【点评】本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识,同时考查了分类讨论思想和 估算能力。 问题 2 由公式、定理的应用条件引起的分类讨论 例 2 设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和 Sn>0(n=1,2,3?) .? (1)求 q 的取值范围;? (2)设 bn=an+2-
3 2

an+1, n}的前 n 项和为 Tn,试比较 Sn 与 Tn 的大小.? {b

【解】 (1)因为{an}是等比数列,Sn>0,可得 a1=S1>0,q≠0,? 当 q=1 时,Sn=na1>0,? 当 q≠1 时,Sn=
a 1 (1 ? q )
n

1? q

>0,?



1? q

n

1? q

>0(n=1,2,3,?) ,?

? 1-q>0, ?1-q<0, 则有? n ①或? ②? n ? 1-q <0. ?1-q >0,

由②得 q>1,由①得-1<q<1.? 故 q 的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞) .? (2)由 bn=an+2- ∴Tn=(q2-
3 2 3 2

an+1=an(q2-

3 2

q) ,?

q)Sn,?
3 2

于是 Tn-Sn=Sn(q2-

q-1)=Sn(q+

1 2

) (q-2) ? ,

又 Sn>0 且-1<q<0 或 q>0,? 则当-1<q<- 当-
1 2 1 2

或 q>2 时,Tn-Sn>0,?即 Tn>Sn,?

<q<2 且 q≠0 时,Tn-Sn<0,?即 Tn<Sn,?
1 2

当 q=-

或 q=2 时,Tn-Sn=0, 即 Tn=Sn.

【评析】考查数列基本知识,考查分析问题能力和推理能力,重点考查了分类讨论的思想。 问题 3 由参数的取值引起的分类讨论 例 3. (2005 江苏)已知 a ? R , 函数 f ( x ) ? x x ? a .
2

(Ⅰ)当 a=2 时,求使 f(x)=x 成立的 x 的集合; (Ⅱ)求函数 y=f (x)在区间[1,2]上的最小值. 解: (Ⅰ)由题意, f ( x ) ? x | x ? 2 |
2

2

当 x ? 2 时,由 f ( x ) ? x ( 2 ? x ) ? x ,解得 x ? 0 或 x ? 1 ;
2

当 x ? 2 时,由 f ( x ) ? x ( x ? 2 ) ? x ,解得 x ? 1 ?
2

2

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综上,所求解集为 { 0 ,1,1 ? (Ⅱ)设此最小值为 m
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2}

①当 a ? 1 时,在区间[1,2]上, f ( x ) ? x ? ax ,
3 2

因为 f ' ( x ) ? 3 x ? 2 ax ? 3 x ( x ?
2

2 3

a ) ? 0 , x ? (1, 2 ) ,

则 f ( x ) 是区间[1,2]上的增函数,所以 m ? f (1) ? 1 ? a
2

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②当 1 ? a ? 2 时,在区间[1,2]上, f ( x ) ? x | x ? a |? 0 ,由 f ( a ) ? 0 知
m ? f (a ) ? 0
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③当 a ? 2 时,在区间[1,2]上, f ( x ) ? ax
f ' ( x ) ? 2 ax ? 3 x
2

2

? x

3

? 3x(

2 3

a ? x)

若 a ? 3 ,在区间(1,2)上, f ' ( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 是区间[1,2]上的增函数, 所以 m ? f (1) ? a ? 1 若 2 ? a ? 3 ,则 1 ? 当1 ? x ? 当
2 3 2 3 a ? x ? 2 时, f ' ( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 是区间[ 2 3
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2 3

a ? 2 2 3 a ,2]上的减函数, a ]上的增函数,

a 时, f ' ( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 是区间[1,

因此当 2 ? a ? 3 时, m ? f (1) ? a ? 1 或 m ? f ( 2 ) ? 4 ( a ? 2 ) 当2 ? a ? 当
7 3 7 3 ? a ? 3 时, 4 ( a ? 2 ) ? a ? 1 ,故 m ? f (1) ? a ? 1
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时, 4 ( a ? 2 ) ? a ? 1 ,故 m ? f ( 2 ) ? 4 ( a ? 2 ) ,

?1 ? a ? 0 ? ? 总上所述,所求函数的最小值 m ? ? 4 ( a ? 2 ) ? ? ?a ? 1 ?

a ?1 1? a ? 2 2 ? a ? a ? 7 3 7 3

3

问题 4 由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论
?x ? ?y 4(2006 年广东卷)在约束条件 ? ?y ?y ? ?0 ?0 ? x? s ? 2x ? 4
y



下,

y ? 2x ? 4
x? y ? s

当 3 ? s ? 5 时, z ? 3 x ? 2 y 的最大值的变化范围是( A. [ 6 ,1 5 ] B. [7 ,1 5 ] C. [ 6 , 8 ] D. [ 7 , 8 ]
?x ? y ? s ?x ? 4 ? s ? ? 解:由 ? 交点为 ?y ? 2x ? 4 ? y ? 2s ? 4 A ( 2, 0 ), B ( 4 ? s , 2 s ? 4 ), C (0, s ), C ?(0, 4 ) ,

)
O

x

y
y ? 2x ? 4
x? y ? s

(1)当 3 ? s ? 4 时可行域是四边形 OABC, 此时, 7 ? z ? 8 (2)当 4 ? s ? 5 时可行域是△OA C ? 此时,
z max ? 8

故选 D. 专题小结

x
O

分类讨论是一种重要的数学思想方法,是一种数学解题策略,对于何时需要分类讨论, 则要视具体问题而定,并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。 如果对于某个研究对象,若不对其分类就不能说清楚,则应分类讨论,另外,数学中的一些 结论,公式、方法对于一般情形是正确的,但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况 未必成立。这也是造成分类讨论的原因,因此在解题时,应注意挖掘这些个别情形进行分类 讨论。 【临阵磨枪】

1. 若 A

?

?x| x

2

? ( p ? 2) x ? 1 ? 0, x ? R

且 ?, A? R C. p ? 2

?

? ? , 则实数中的取值范围是 (



A. p ? ? 2
2

B. p ? ? 2

D. p ? ? 4

2. 函数 f ( x ) ? m x ? ( m ? 3 ) x ? 1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,则实数 m 的取值范围为( A. ? 0 , ? ? ? ) B.

? ? ? , 1?

C.

? 0 , 1?

D. ( 0 , 1 ) )

3. (2006 年江苏卷)圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3 ) 2 (A)x-y=0 (B)x+y=0 4.曲线
x
2

? 1 的切线方程中有一个是(

(C)x=0
x
2

(D)y=0
? 1(5 ? m ? 9 ) 的

10 ? m

?

y

2

6?m

? 1( m ? 6 ) 与曲线

5?m

?

y

2

9?m





(A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 5. (2005 湖北卷)以平行六面体 ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形, 从中随机取出两个三角形,则这两个三角形不共面的概率 p 为 ( )

4

A.

367 385

B.

376 385

C.

192 385

D.

18 385

6. 0 0 6 年 上海卷)如图,平面中两条直线 l 1 和 l 2 相交于点 O,对于平面上任意一点 M, (2 若 p 、 q 分别是 M 到直线 l 1 和 l 2 的距离,则称有序非负实数对( p , q )是点 M 的“距 l1 离坐标” .已知常数 p ≥0, q ≥0,给出下列命题: ①若 p = q =0,则“距离坐标”为(0,0)的点 M( p , q ) 有且仅有 1 个; l2 ②若 pq =0,且 p + q ≠0,则“距离坐标”为 O ( p , q )的点有且仅有 2 个; ③若 pq ≠0,则“距离坐标”为( p , q )的点有且仅有 4 个. 上述命题中,正确命题的个数是 ( ) (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 7. (2006 年全国卷 I)设集合 I ? ?1, 2 , 3, 4 , 5 ? 。选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最 小的数大于 A 中最大的数,则不同的选择方法共有( ) A. 5 0 种 B. 4 9 种 C. 4 8 种 8. (2005 湖北卷)函数 y = e
|ln x |

D. 4 7 种 ( )

- | x - 1 | 的图象大致是

9. (2006 年湖北卷)已知平面区域 D 由以 A ?1, 3 ? 、 B ?5 , 2 ? 、 C ?3 ,1 ? 为顶点的三角形内部和 边界组成.若在区域 D 上有无穷多个点 ? x , y ? 可使目标函数 z ? x ? my 取得最小值,则 m ? ( ) A. ? 2 B. ? 1 C. 1 D. 4 10. (2006 年湖北卷)关于 x 的方程 ? x ? 1 ? ? x ? 1 ? k ? 0 ,给出下列四个命题:
2 2 2

①存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根; ②存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根; ③存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根; ④存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根. 其中假命题的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 11. 若 lo g a
2 3 1 2 ,o s B ? c
5

D. 3

? 1 ,则 a 的取值范围为________________. 5 13
2 ) 的展开式中整理后的常数项为
1 2 ax
2

12. ? A B C 中 , 已 知 s in A ? 13. (2005 湖北卷) ( 14.若函数
f (x) ? 1 3

, 则 cos C ?

. .
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x 2

?

1 x
3

?

( a ? 1) x ?

?

1 4

x?

1 5

在其定义域内有极值点,则 a 的取值为

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5

15.已知线段 AB 在平面α 外,A、B 两点到平面α 的距离分别为 1 和 3,则线段 AB 的中点 到平面α 的距离为 16. (2006 年安徽卷)多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一 个顶点 A 在平面 ? 内,其余顶点在 ? 的同侧,正方体上与 顶点 A 相邻的三个顶点到 ? 的距离分别为 1, 和 4, 是正 2 P C1 D1 方体的其余四个顶点中的一个,则 P 到平面 ? 的距离可能 A1 B1 是: ①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7 C D 以上结论正确的为 。 (写出所有正确结 B 论的编号) ? A A1 第 16 题图 17. 解 关 于 x 的 不 等 式 : a x 2 ? ( a ? 1) x ? 1 ? 0
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18. 设 k ? R , 问 方 程 ( 8 ? k ) x ? ( k ? 4 ) y
2

2

? ( 8 ? k )( k ? 4 ) 表 示 什 么 曲 线 ?

19. 某车间有 10 名工人,其中 4 人仅会车工,3 人仅会钳工,另外三人车工钳工都会, 现需选出 6 人完成一件工作,需要车工,钳工各 3 人,问有多少种选派方案? 20.(2005 年江西)已知函数 f(x)= 有两个实数根为 x1=3,x2=4. (1)求函数 f(x)的解析式;? (2)设 k>1,解关于 x 的不等式 f(x)< 21.已知{an}是首项为 2,公比为 (1)用 Sn 表示 Sn+1; (2)是否存在自然数 c 和 k,使得 【答案及点拨】 1 D 2 B 3C 点拨:本题主要考查圆的切线的求法,直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离
2

x

2

ax ? b

(a,b 为常数)且方程 f(x)-x+12=0

( k ? 1) x ? k 2? x

.?
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1 2

的等比数列,Sn 为它的前 n 项和

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S k ?1 ? c Sk ? c

? 2 成立

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等于半径直线 ax+by=0 与 ( x ? 1) ? ( y ?

3 ) ? 1相 切 ,则
2

|a?b 3 | 2

? 1 ,由排除法,

选 C,本题也可数形结合,画出他们的图象自然会选 C,用图象法解最省事.

6

4

A

点拨:由

x

2

10 ? m

?

y

2

6?m

? 1( m ? 6 ) 知 该 方 程 表 示 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 , 由

x

2

5?m

?

y

2

9?m

? 1(5 ? m ? 9 ) 知该方程表示焦点在 y 轴上的双曲线,故只能选择答案 A.

5 A 6 D 点拨:如图,平面中两条直线 l 1 和 l 2 相交于点 O,对于平面上任意一点 M,若 p 、 q 分别是 M 到直线 l 1 和 l 2 的距离,则称有序非负实数对( p , q )是点 M 的“距离坐标” .已 知常数 p ≥0, q ≥0,对于下列命题: ①若 p = q =0,则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有 1 个,正确; ②若 pq =0,且 p + q ≠0,则 p 与 q 中有一个为 0,另一个不为 0, “距离坐标” 为( p , q )的点可以在直线 l1 或直线 l2 上,例如(p,q)=(0,1),则点 M 在直线 l2 上, 且到 O 点距离为 1,这样的点有 2 个,命题②正确; ③若 pq ≠0,则 p≠0,q≠0, “距离坐标”为( p , q )的点在两条直线相交而成的 四个区域内,这样的点有且仅有 4 个.正确 上述命题中,正确命题的个数是 3 个,选 D.
l1

M( p , q )

l2
O 7 B 点拨:若集合 A、B 中分别有一个元素,则选法种数 有 C 5 =10 种;若集合 A 中有一个元素,集合 B 中有两个元素,则选法种数有 C 5 =10 种; 若集合 A 中有一个元素,集合 B 中有三个元素,则选法种数有 C 5 =5 种;若集合 A 中有一 个元素,集合 B 中有四个元素,则选法种数有 C 5 =1 种;若集合 A 中有两个元素,集合 B 中有一个元素, 则选法种数有 C 5 =10 种; 若集合 A 中有两个元素, 集合 B 中有两个个元素, 则选法种数有 C 5 =5 种; 若集合 A 中有两个元素, 集合 B 中有三个元素, 则选法种数有 C 5 =1 种;若集合 A 中有三个元素,集合 B 中有一个元素,则选法种数有 C 5 =5 种;若集合 A 中 有三个元素,集合 B 中有两个元素,则选法种数有 C 5 =1 种;若集合 A 中有四个元素,集 合 B 中有一个元素,则选法种数有 C 5 =1 种;总计有 4 9 种 ,选 B. 解法二:集合 A、B 中没有相同的元素,且都不是空集, 从 5 个元素中选出 2 个元素,有 C 5 =10 种选法,小的给 A 集合,大的给 B 集合; 从 5 个元素中选出 3 个元素,有 C 5 =10 种选法,再分成 1、2 两组,较小元素的一组给
7
3 2 5 5 4 4 5 3 5 4 2 3

A 集合,较大元素的一组的给 B 集合,共有 2× 10=20 种方法; 从 5 个元素中选出 4 个元素,有 C 5 =5 种选法,再分成 1、3;2、2;3、1 两组,较小 元素的一组给 A 集合,较大元素的一组的给 B 集合,共有 3× 5=15 种方法; 从 5 个元素中选出 5 个元素,有 C 5 =1 种选法,再分成 1、4;2、3;3、2;4、1 两组, 较小元素的一组给 A 集合,较大元素的一组的给 B 集合,共有 4× 1=4 种方法; 总计为 10+20+15+4=49 种方法.选 B. 8 D 点拨: y ? e
?x ? x ?1 ? 1 ? ? | x ? 1 |=? 1 ? ?1? x ?x x ? 1, 0 ? x ? 1,
5 4

|ln x |

选(D)

9 C 点拨:依题意,令 z=0,可得直线 x+my=0 的斜率为-

1 m

,结合可行域可知当直线

x+my=0 与直线 AC 平行时, 线段 AC 上的任意一点都可使目标函数 z=x+my 取得最小值, 而直线 AC 的斜率为-1,所以 m=1,选 C

10 B 点 拨 : 据 题 意 可 令 x ? 1 ? t ( t ? 0 ) ① , 则 方 程 化 为 t ? t ? k ? 0 ② , 作 出 函 数
2

2

y ? x ? 1 的图象,结合函数的图象可知: (1)当 t=0 或 t>1 时方程①有 2 个不等的根; (2)
2

当 0<t<1 时方程①有 4 个根; (3)当 t=1 时,方程①有 3 个根。 故当 t=0 时,代入方程②,解得 k=0 此时方程②有两个不等根 t=0 或 t=1,故此时原方程 有 5 个根;当方程②有两个不等正根时,即 0 ? k ?
1 4
2 故相应的满足方程 x ? 1 ? t 的解有 8 个,即原方程的解有 8 个;当 k ?

此时方程②有两根且均小于 1 大于 0,
1 4

时,方程②有两

个相等正根 t=

1 2

,相应的原方程的解有 4 个;故选 B。

11 0 ? a ?

2 3

或a ? 1

12

12 ? 5 3 26
63 2 2
k

13

点拨: T k ? 1 ? C 5 2 2 (
k
r ?r 5? k ? r

x 2

?

1 x

)

5?k

,其中 k 满足 0≤k≤5.k∈N, (

x 2

?

1 x

)

5?k

的通项公式

为 Tr ? C 5 ? k x x
? C 5?k x
r 5?2r ?k

2

? (5? k ? r )

,

2

k ?r ?5

,其中 0≤r≤5-k,r∈N,令 5-2r-k=0,邵 k+2r=5,解得 k=1,r=2;k=3,r=1;k=5,r=0

8

1

当 k=1,r=2 时 , 得 展 开 式 中 项 为 C 5 C 4 2 2 2
C5C2 2 2 ? 2
3 1 ?1

1

2

?2

?

15 2 2

; 当 k=3,r=1 时 , 得 展 开 式 中 项 为
2 ? 4

? 2 0 2 ; 当 k=5,r=0 时 得 展 开 式 中 项 为 C 5 4
5

2 ,综上

(

x 2

?

1 x

?

2 ) 的展开式中整理后的常数项为
5

15 2

2

? 20

2 ?4

2 ?

63 2 2

14

?2? 2

5

? a ?

?2? 2
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5

或 a=1

点拨

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即 f(x)=(a–1)x2+ax–
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1 4

=0 有解

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当 a–1=0 时,满足 15 1 或 2 16

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当 a–1≠0 时,只需Δ =a2–(a–1)>0

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点拨:分线段 AB 两端点在平面同侧和异侧两种情况解决

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①③④⑤

点拨:如图,B、D、A1 到平面 ? 的距离分别为 1、2、4,则 D、A1 的中点
5 2

到平面 ? 的距离为 3,所以 D1 到平面 ? 的距离为 6;B、A1 的中点到平面 ? 的距离为 以 B1 到平面 ? 的距离为 5;则 D、B 的中点到平面 ? 的距离为 3;C、A1 的中点到平面 ? 的距离为 中的一点,所以选①③④⑤。
7 2 3 2

,所

,所以 C 到平面 ? 的距离为

,所以 C1 到平面 ? 的距离为 7;而 P 为 C、C1、B1、D1

17. 分析:这是一个含参数 a 的不等式,一定是二次不等式吗?不一定,故首先对二次项 系数 a 分类: (1)a≠0(2)a=0,对于(2) ,不等式易解;对于(1) ,又需再次分类:a>0 或 a<0,因为这两种情形下,不等式解集形式是不同的;不等式的解是在两根之外,还是在 两根之间。而确定这一点之后,又会遇到 1 与 论。故而解题时,需要作三级分类. 解: ( 1 ) 当 a ? 0 时 , 原 不 等 式 化 为 ? x ? 1 ? 0 ? x ? 1
( 2 ) 当 a ? 0 时 , 原 不 等 式 化 为 a ( x ? 1)( x ? ① 若 a ? 0 , 则 原 不 等 式 化 为 ( x ? 1)( x ? ? 1 a ? 0 ? 1 a 1 a ( i) 当 a ? 1时 , 1 a ? 1, 不 等 式 解 为 1 a ? x ?1 ?1 1 a ? 不等式解为x ? 1 a ) ? 0 或x ? 1 1 a ) ? 0 ) ? 0
1 a

谁大谁小的问题,因而又需作一次分类讨

② 若 a ? 0 , 则 原 不 等 式 化 为 ( x ? 1)( x ?

9

( ii ) 当 a ? 1 时 ,

1 a

? 1, 不 等 式 解 为 x ? ? 1 a ? 1, 不 等 式 解 为 1 ? x ? 1 a

( iii ) 当 0 ? a ? 1 时 ,

综上所述,得原不等式的解集为
1 ? ? 当 a ? 0时 , 解 集 为 ? x x ? 或 x ? 1 ? ; 当 a ? 0 时 , 解 集 为 ? x | x ? 1? ; a ? ? 1? ? 当 0 ? a ? 1时 , 解 集 为 ? x 1 ? x ? ? ; 当 a ? 1时 , 解 集 为 ? ; a? ?
? 1 ? 当 a ? 1时 , 解 集 为 ? x ? x ? 1? 。 ? a ?

18. 分析: 容 易 想 到 把 方 程 变 形 为

x

2

k ? 4

?

y

2

8? k

? 1, 但 这 种 变 形 需 要 k ? 4 , 且

k ? 8 , 而 且 k ? 4 与 8 ? k的 正 负 会 引 起 曲 线 类 型 的 不 同 , 因 此 对 k ? ( ?? , ? ? ) 要 进 行 分 类 : k ? ( ? ? , 4 ) , k ? 4 , k ? ( 4 , 8 ) , k ? 8 , k ? (8 , ? ? ) , 又 注 意 到 k ? 4 ? 8 ? k ? 0 与 k ? 4 ? 8 ? k ( k ? 4 ? 0 且 8 ? k ? 0) 表 示 的 曲 线 是 不 一 样 的 , 因 此 还 应 有 一 个 “ 分 界 点 ” , 即 k ? 6 , 故 恰 当 的 分 类 为 ( ? ? , 4 ) , 4 , (4 , 6) , 6 , ( 6, 8) , 8, ( 8, ? ?)

解: (1)当 k=4 时,方程变为 4x =0,即 x=0,表示直线; (2)当 k=8 时,方程变为 4y =0,即 y=0,表示直线;
( 3) 当 k ? 4 且 k ? 8 时 , 原 方 程 变 为 x
2

2

2

k ? 4

?

y

2

8? k

? 1

(i)当 k<4 时,方程表示双曲线; (ii)当 4<k<6 时,方程表示椭圆; (iii)当 k=6 时,方程表示圆; (iv)当 6<k<8 时,方程表示椭圆; (v)当 k>8 时,方程表示双曲线。 19. 分析:如果先考虑钳工,因有 6 人会钳工,故有 C6 种选法,但此时不清楚选出的钳工 中有几个是车钳工都会的,因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工,因此在选车工时, 就无法确定是从 7 人中选,还是从六人、五人或四人中选。同样,如果先考虑车工也会遇到 同样的问题。因此需对全能工人进行分类: (1)选出的 6 人中不含全能工人; (2)选出的 6 人中含有一名全能工人; (3)选出的 6 人中含 2 名全能工人; (4)选出的 6 人中含有 3 名全能工人。
3

10

解: C 4 ? C 3 ? C 4 ? C 3 ? C 3 ? C 4 ? C 3 ? C 3 ? C 3 ? C 3 ? C 4 ? C 3 ? C 4 ? C 3 ? C 3 ? C 4 ? P3
3 3 3 1 2 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 2

2

? C 3 ? C 4 ? C 3 ? C 4 ? C 3 ? C 3 ? C 3 ?4 ? 3 0 9
3 3 2 1 2 2 1 2

或 : C 3 ? C 7 ? C 3 ? C 3 ? C 6 ? C 3 ? C 3 ? C5 ? C 3 ? C 4 ? 309
3 3 1 2 3 2 1 3 3 3

20. 【解】 (1)将 x1=3,x2=4 分别代入
9 3a ? b 16 4a ? b

x

2

ax ? b

-x+12=0 得?

=-9,?解方程得 =-8,
x
2

a=-1, b=2.

∴f(x)=

-x(x≠2) .?

2 ( k ? 1) x ? k x?2
2

(2)不等式 f(x)<





x

2

2? x

-x<

( k ? 1) x ? k 2? x

,即

( x ? 1)( x ? k ) 2? x

>0 ?

∴(x-2) (x-1) (x-k)>0 ? ①当 1<k<2 时,解集为(1,k)∪(2,+∞) ;? ②当 k=2 时,不等式为(x-2)2(x-1)>0 解集为(1,2)∪(2,+∞) ;? ③当 k>2 时,解集为(1,2)∪(k,+∞) .? 【评析】 本题主要考查分式不等式,含参不等式的解法等基础知识,考查分类整合思 想的运用能力。 21. 分析: 本题主要考查等比数列、 不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力 解 决本题依据不等式的分析法转化,放缩、解简单的分式不等式;数列的基本性质;并灵活运 用分类讨论的思想 即对双参数 k,c 轮流分类讨论,从而获得答案
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(1)由 Sn=4(1–
1 2
n ?1

1 2n

) ,得
*

S n ? 1 ? 4 (1 ?

)?

1 2

S n ? 2 ,(n∈N )

(2)要使

S k ?1 ? c Sk ? c
1 2
k

c?(
? 2 ,只要

S k ? 2) 2 ? 0 c ? Sk

3

因为 S k ? 4 (1 ?

)? 4

11

所以 S k ? ( S k ? 2 ) ? 2 ?
2

3

1 2

S k ? 0 ,(k∈N )

*

故只要

3 2

Sk–2<c<Sk, (k∈N*) ①
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因为 Sk+1>Sk,(k∈N*) 所以
3 2

Sk–2≥

3 2

S1–2=1

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又 Sk<4,故要使①成立,c 只能取 2 或 3 当 c=2 时,因为 S1=2,所以当 k=1 时,c<Sk 不成立,从而①不成立
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当 k≥2 时,因为
3 2

3 2

S2 ? 2 ?

5 2

? c ,由 Sk<Sk+1(k∈N )得

*

Sk–2<

3 2

Sk+1–2
3 2

故当 k≥2 时,

Sk–2>c,从而①不成立

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当 c=3 时,因为 S1=2,S2=3, 所以当 k=1,k=2 时,c<Sk 不成立,从而①不成立? 因为
3 2 S3 ? 2 ? 13 4 3 2 ? c ,又 3 2

Sk–2<

3 2

Sk+1–2
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所以当 k≥3 时,

Sk–2>c,从而①成立
S k ?1 ? c Sk ? c

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综上所述,不存在自然数 c,k,使

? 2 成立

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【挑战自我】 (2005 广东卷) 在平面直角坐标系中, 已知矩形 ABCD 的 长为2,宽为1, AB 、 AD 边分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上,
A 点与坐标原点重合(如图5所示) .将矩形折叠,使 A 点落 在线段 DC 上. (Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为 k ,试写出折痕所在直线的方 程; (Ⅱ)求折痕的长的最大值.

y
D C

O

(A) 图5

B x

解: (Ⅰ)( i ) 当 k ? 0 时,此时 A 点与 D 点重合, 折痕所在的 直线方程 y ?
1 2



( ii ) 当 k ? 0 时,设 A 点落在线段 DC 上的点 A ? ( x 0 ,1) ,
( 0 ? x 0 ? 2 ) ,则直线 O A ? 的斜率 k 0 A ? ?
1 x0



∵ 折痕所在直线垂直平分

O A ?,
12

∴ k O A ? ? k ? ? 1 ,∴

1 x0

? k ? ? 1 ,∴ x 0 ? ? k

又∵折痕所在的直线与 O A ? 的交点坐标(线段 O A ? 的中点) 为 M (?
k , 1 ), 2 2

∴折痕所在的直线方程 y ?

1 2

? k(x ?

k 2

) ,即 y ? k x ?
k
2

k

2

?

1 2



2 ? 1 2

由( i ) ( ii )得折痕所在的直线方程为: y ? k x ?

(? 2 ? k ? 0)
2

2

(Ⅱ)折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为 E ( 0 ,

k

?1 2

) , F (?

k

2

?1

, 0)

2k

由(Ⅰ)知, k ? ? x 0 ,∵ 0 ? x 0 ? 2 ,∴ ? 2 ? k ? 0 , 设折痕长度为 d,所在直线的倾斜角为 ? , ( i ) 当 k ? 0 时,此时 A 点与 D 点重合, 折痕的长为 2 ; ( ii )当 ? 2 ? k ? 0 时, 设a ? ?
k
2

?1

,b ?

k

2

?1 2


3,

2k

0 ? a ? AB ? 2 时,l 与线段 AB 相交,此时 ? 2 ? k ? ? 2 ? a ? AB ? 2 时,l 与线段 BC 相交,此时 ? 2 ?
3 ? k ? 0,

0 ? b ? 1 时,l 与线段 AD 相交,此时 ? 1 ? k ? 0 , b ? 1 时,l 与线段 DC 相交,此时 ? 2 ? k ? ? 1 ,

∴将 k 所在的分为3个子区间: ①当 ? 2 ? k ? ? 1 时,折痕所在的直线 l 与线段 DC、AB 相交,
1 | sin ? | 1 |k | 1? k
5 2
2

折痕的长 d ?

?

?

1? k |k |

2

?

1 k
2

?1,



? d ?

2 ,

②当 ? 1 ? k ? ? 2 ?

3 时,折痕所在的直线 l 与线段 AD、AB 相交,

13

折痕的长

d ?

(?

1? k 2k

2

)2 ? (
1 2k 3

1? k 2

2

)2 ?

k

4

?

3k 4

2

?

1 4k
2

?

3 4

4
4

令 g ? ( x ) ? 0 ,即 k 3 ? 即 ( k 2 ? 1) 2 ( k 2 ?
1 2

3k 2

?

? 0 ,即 2 k 6 ? 3 k

?1? 0,

) ? 0,

∵ ? 1 ? k ? ?2 ?

3 ,∴解得 ?

2 2

? k ? ?2 ?

3

令 g ? ( x ) ? 0 , 解得

?1? k ? ?

2 2



故当 ? 1 ? k ? ?

2 2

时, g ( x ) 是减函数,当 ?

2 2

? k ? ?2 ?

3 时, g ( x ) 是增函数,

∵ g ( ? 1) ? 2 , g ( ? 2 ? ∴ g ( ? 1) ? g ( ? 2 ?

3 ) ? 4 (8 ? 4 3 ) ,

3) ,

∴当 k ? ? 2 ?

3 时, g ( ? 2 ?

3 ) ? 4 (8 ? 4 3 ) ,

d ?

g (?2 ?

3 ) ? 2 8 ? 4 3 ? 2( 6 ?

2),

∴当 ? 1 ? k ? ? 2 ? ③当 ? 2 ?

3 时, d ? 2 ( 6 ?

2) ,

3 ? k ? 0 时,折痕所在的直线 l 与线段 AD、BC 相交,

折痕的长 d ?

2 | cos ? |

?

2 1 1? k
2

? 2 1? k

2





2 ? l ? 2 8 ? 4 3 ,即 2 ? l ? 2 ( 6 ?

2),

综上所述得,当 k ? ? 2 ?

3 时,折痕的长有最大值,为 2 ( 6 ?

2) .

14


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