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高三上数学(文)开学考试试卷


高三开学考试数学试卷(文)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。
1 .等差数列 ? an ? 中, a4 ? 7, a8 ? 11 ,则 a12 ?

( D.15 ( D. 10 (



A.17

B.18

C.16

? ? ? ? ? ? 2 .设 x ? R ,向量 a ? ( x,1), b ? (1, ?2), 且 a ? b ,则 | a ? b |?
A. 5
3 .设函数



B. 10

C. 2 5

f ( x) ?

2 ? ln x ,则 x
B. x ?



A. x ?

1 为 f ( x) 的极大值点 2

1 为 f ( x) 的极小值点 2

C. x ? 2 为 f ( x) 的极大值点
4.函数 y ? 2sin ?

D. x ? 2 为 f ( x) 的极小值点 ( D. ?1 ? 3 )

??x ? ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为 ? 6 3?

A. 2 ? 3
1

B.0

C.-1

5.函数 f ( x) ? x 2 ? ( ) 的零点个数为
x

1 2

( C.2 D.3 ) D.



A.0
6.若函数

B.1

f ( x) ? sin

A.

? 2

x ?? (? ? ?0, 2? ?) 是偶函数,则 ? ? ( 3 2? 3? B. C. 3 2

5? 3
( )

7 .已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,则 S n ?

A. 2n?1
8 .已知

B. ?

?3? ? ?2?

n?1

C. ?

?2? ? ?3?

n?1

D.

1 2 n?1
( )

? 1 f ( x) ? sin 2 ( x ? ) 若 a ? f (lg 5) , b ? f (lg ) 则 4 5 A. a ? b ? 0 B. a ? b ? 0 C. a ? b ? 1 D. a ? b ? 1
2 x

9 .设函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 3, g ( x) ? 3 ? 2, 集合 M ? {x ? R | f ( g ( x)) ? 0},

N ? {x ? R | g ( x) ? 2}, 则 M ? N 为
A. (1, ??) B. ? 0,1? C. ? ?1,1? D. (??,1)





10.定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x) ,如果对于任意给定的等比数列 ?an ? , ? f (an )?

仍是等比数列,则称 f ( x) 为“保等比数列函数”.现有定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的如 下函数: ① f ( x) ? x ;
2

② f ( x) ? 2 ;
x

③ f ( x) ? | x | ;

④ f ( x) ? ln | x | . ( D.②④ )

则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为 A.①② B.③④ C.①③

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。
11 . 等比数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,公比不为 1,若 a1 ? 1 ,且对任意的 n ? N 都有
*

an? 2 ? an?1 ? 2an ? 0 ,则 S5 ? ________.
12.已知向量

a , b 夹角为 450 ,且| a |=1,| 2a ? b |= 10 ,则| b |=________.

13.曲线 y ? x(3ln x ? 1) 在点(1,1)处的切线方程为________. 14.已知数列 ? an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn

?

n?2 an ,则 ?an ? 的通项公式为________. 3
x

15.已知 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) , g ( x) ? 2 ? 2 .若 ?x ? R, f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ,则

m 的取值范围是________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。 16.(本小题满分 12 分)
已知 {an } 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12, (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 , ak , Sk ? 2 成等比数列,求正整数 k 的值.

17. (本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在 x ? 2 处取得极值为 c ? 16
3

(1)求 a、b 的值; (2)若 c ? 12 ,求 f ( x) 在 [?3,3] 上的最小值.

18. (本小题满分 12 分)
△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c .已知 3cos( B ? C) ?1 ? 6cos Bcos C . (1)求 cos A ; (2)若 b ? 3 ,△ABC 的面积为 2 2 ,求 a, c .

19. (本小题满分 12 分)
设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,数列 ? S n ? 的前 n 项和为 Tn ,满足 Tn ? 2Sn ? n2 , n? N* . (1)求 a1 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式.

20. (本小题满分 13 分)
2 ? 已 知 数 列 ? an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 且 Sn ? 2n ? n, n ? N , 数 列 ?bn ? 满 足

an ? 4 l o2g n ? , n ? N ? . b 3
(1)求 an , bn ;

b (2)求数列 ?an ? n ? 的前 n 项和 Tn .

21. (本小题满分 14 分) 1 3 1? a 2 已知函数 f ( x) ? x ? x ? ax ? a(a ? 0) 3 2
(1)求函数 f (x) 的单调区间; (2)若函数 f (x) 在区间 (?2,0) 内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (3) 当 a ? 1 时 , 设 函 数 f (x) 在 区 间 [t , t ? 3] 上 的 最 大 值 为 M (t ) , 最 小 值 为 m(t ) , 记

g (t ) ? M (t ) ? m(t ) ,求函数 g (t ) 在区间 [?3,?1] 上的最小值.

高三开学考试数学试卷(答案)
一、选择题 DBDAB CBCDC

二、填空题 11、11; 12、 3 2 ; 13、 4 x ? y ? 3 ? 0 ; 14、 an ?

n2 ? n 2 ;

(?4,0)
15、 三、解答题
16. 【解析】(1)设数列 {an } 的公差为 d,由题意知 ?

? 2a1 ? 2d ? 8 ? 2a1 ? 4d ? 12

解得 a1 ? 2, d ? 2 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n (2)由(1)可得 Sn ?

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) 2 2

因 a1 , ak , Sk ? 2 成等比数列,所以 a 2 k ? a1S k ? 2 从而 (2k ) ? 2(k ? 2)(k ? 3)
2

,即 k 2 ? 5k ? 6 ? 0

解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去), 因此 k ? 6 . 17.【解析】:(1 因 f ( x) ? ax ? bx ? c 故 f ?( x) ? 3ax ? b
3 2

由于 f ( x) 在点 x ? 2 处取得极值 故有 ?

12a ? b ? 0 ? f ?(2) ? 0 ? 即? , ? f (2) ? c ? 16 ?8a ? 2b ? c ? c ? 16 ?12a ? b ? 0 ? a ?1 解得 ? ? 4 a ? b ? ?8 ?b ? ?12
3 2

化简得 ?

(2) f ( x) ? x ? 12 x ? 12, f '( x) ? 3x ? 12

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2, x2 ? 2 当 x ? (??, ?2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x) 在 ? ?3, ?2 ? 上为增函数; 当 x ? (?2, 2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x) 在 (?2, 2) 上为减函数 当 x ? (2, ??) 时 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 ? 2, 3? 上为增函数. 此时 f (?3) ? 21, f (2) ? ?4 , 因此 f ( x) 在 [?3,3] 的最小值为 f (2) ? ?4

18.【解析】(1)

3(cos B cos C ? sin B sin C ) ? 1 ? 6 cos B cos C 3cos B cos C ? 3sin B sin C ? ?1 3cos( B ? C ) ? ?1 cos(? ? A) ? ? 1 3
则 cos A ?

1 . 3

(2) 由(1)得 sin A ?

2 2 1 ,由面积 S ? bc sin A 可得 c ? 2 , 3 2

再根据余弦定理 cos A ? 解得 a ? 3 所以 a ? 3, c ? 2 .

b 2 ? c 2 ? a 2 13 ? a 2 1 ? ? 2bc 12 3

19.解析:(1)当 n ? 1 时, T1 ? 2S1 ? 12 ,而 T1 ? S1 ? a1 ,所以 a1 ? 2a1 ? 12 ,解得 a1 ? 1 .

(2)在 Tn ? 2Sn ? n2 中用 n ? 1 代 n 的位置,有

Tn ?1 ? 2Sn ?1 ? ? n ? 1? ,
2

两式相减,可得 Sn ? 2an ? 2n ? 1 ( n ? 2 ), 所以 Sn ?1 ? 2an ?1 ? 2 ? n ? 1? ? 1 , 两式相减,可得 an ? 2an ? 2an?1 ? 2 ,

即 an ? 2an?1 ? 2 ( n ? 3 ),即 an ? 2 ? 2 ? an ?1 ? 2 ? , 所以数列 ?an ? 2? 是一个首项为 a2 ? 2 ,公比为 2 的等比数列. 在式子 Tn ? 2Sn ? n2 中,令 n ? 2 ,有 T2 ? 2S2 ? 22 , 即 a1 ? ? a1 ? a2 ? ? 2 ? a1 ? a2 ? ? 22 ,所以 a2 ? 4 , 于是 an ? 2 ? ? a2 ? 2 ? ? 2n ? 2 ? 6 ? 2n ? 2 ? 3 ? 2n ?1 , 所以 an ? 3 ? 2n?1 ? 2 ( n ? 2 ),当 n ? 1 时, a1 ? 1 ,也满足该式子, 所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 3 ? 2n?1 ? 2 .

20.(1)

由 Sn= 2n ? n ,得
2

当 n=1 时, a1 ? S1 ? 3 ; 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 2n ? n ? ? 2( n ? 1) ? (n ? 1) ? ? 4n ? 1 ,n∈N﹡. ? ?
2 2

由 an ? 4log 2 bn ? 3 ,得 bn ? 2 (2)由(1)知 anbn ? (4n ? 1) ? 2
2

n ?1

,n∈N﹡. ,n∈N﹡
n ?1

n ?1

所以 Tn ? 3 ? 7 ? 2 ? 11? 2 ? ... ? ? 4n ? 1? ? 2

,

2Tn ? 3 ? 2 ? 7 ? 22 ? 11? 23 ? ... ? ? 4n ? 1? ? 2n , 2Tn ? Tn ? ? 4n ? 1? ? 2n ? [3 ? 4(2 ? 22 ? ... ? 2n ?1 )]

? (4n ? 5)2n ? 5
Tn ? (4n ? 5)2n ? 5 ,n∈N﹡.

2 21.解:(1) f ?( x) ? x ? (1 ? a) x ? a ? ( x ? 1)( x ? a) ,由 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? a ? 0


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