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函数方程和函数模型运用


函数方程和函数模型运用
【高数的由来】
据说在 1669 年,牛顿在剑桥大学升为数学教授。当时学校资金紧张,包括 牛顿大部分教职工薪水已欠数月。为解决此问题,牛顿潜心研究创立了微积分, 将一门名叫“高等数学”的新科目设为全校的必修课,并规定不及格者来年必须 缴费重修直到通过。很快教师们的工资发了下来......

一、知识点回顾

表 1 定 义 域 值 域 指数函数

y ? a ? a ? 0, a ? 1?
x

对数函数

y ? loga x ? a ? 0, a ? 1?
x? ? 0, ???
y?R

x?R

y ? ? 0, ???

图 象

过定点 (0,1) 减函数 增函数 减函数

过定点 (1, 0) 增函数

x ? (??,0)时,y ? (1, ??) (??,0)时,y ? (0,1) x ? (0,1)时,y ? (0, ??) x ? (0,1)时,y ? (??,0) x?
) x x ? (0, ??)时,y ? (0,1)x ? (0, ??)时,y ? (1, ??x ? (1, ??)时,y ? (??,0)? (1, ??)时,y ? (0, ??)

性 质

a?b

a?b

a?b

a?b
1

表2

幂函数 y ? x? (? ? R)

??

p q

? ?0

0 ?? ?1

? ?1

? ?1

p为奇数 q为奇数
奇函数

p为奇数 q为偶数

p为偶数 q为奇数
偶函数

第一象限 性质

减函数

增函数

过定点

(0, 1)

二、专题讲解
题型一 确定函数零点所在的区间 1 【例 1】已知函数 f(x)=x+log2x,问方程 f(x)=0 在区间[ ,4]上有没有实根,为什么? 4 【方法归纳】判断函数 f(x)的零点是否在区间(a,b)内,只需检验两条:①函数 f(x)在区 间(a,b)上是连续不断的;②f(a)· f(b)<0.

1 - 【变式训练】 设函数 y=x3 与 y=( )x 2 的图象的交点为(x0,0), x0 所在的区间是( y 则 2

)
2

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 题型二 判断函数零点的个数 【例 2】判断下列函数的零点个数. (1)f(x)=x2+mx+(m-2); (2)f(x)=x-4+log2x. 【方法归纳】判断函数的零点个数有以下两种方法: (1)方程 f(x)=0 的根的个数即为函数 f(x)的零点个数; (2)函数 f(x)与 x 轴的交点个数即为函数 f(x)的零点个数. 特殊情况下, 还可以将方程 f(x)=0 化为方程 g(x)=h(x), 然后再看函数 y=g(x)与 y=h(x) 的交点个数.

【变式训练】已知函数 f(x)=x|x-4|-5,则当方程 f(x)=a 有三个根时,实数 a 的取值 范围是( ) A.-5<a<-1 B.-5≤a≤-1 C.a<-5 D.a>-1

题型三 利用导数工具研究函数零点问题 【例 3】设函数 f(x)=x3+2x2-4x+2a. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)关于 x 的方程 f(x)=a2 在[-3,2]上有三个相异的实根,求 a 的取值范围. 【方法归纳】研究函数零点问题,可以利用导数研究函数的单调性、极值,并由此画出 函数的草图,数形结合得出不等式组再求解.

3

【变式训练】问 a 为何值时,函数 f(x)=x3-3x+a 有三个零点,二个零点,一个零点?

题型四 运用指数模型求解 【例 4】按复利计算利率的一种储蓄,本金为 a 元,每期利率为 r,设本息和为 y,存 期为 x, 写出本息和 y 随期数 x 的变化函数式. 如果存入本金 10 000 元, 每期利率为 2.25%, 计算 5 期的本息和是多少. 【方法归纳】对于增长率问题,在实际问题中常常用指数函数模型 y=N(1+p)x(其中 N 是基础数,p 为增长率,x 为时间)和幂函数模型 y=a(1+x)n(其中 a 为基础数,x 为增长率, n 为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算和开方运算,要注意用给定的值对应求解.

【变式训练】 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素, 其含量不断减 少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中,其含量 M(单位:太贝 克)与时间 t(单位:年)满足函数关系:M(t)= M 0
2? t 30

,其中 M0 为 t=0 时铯 137 的含量.已

知 t=30 时,铯 137 含量的变化率是-10ln 2(太贝克/年),则 M(60)等于( ) A.5 太贝克 B.75ln 2 太贝克 C.150ln 2 太贝克 D.150 太贝克 题型五 分段函数建模求解 【例 5】根据市场调查,某商品在最近 40 天内的价格 P 与时间 t 的关系用图一中的一 条折线表示,销售量 Q 与时间 t 的关系用图二中的线段表示(t∈N*).

4

(1)分别写出图 1 表示的价格与时间的函数关系 P=f(t),图 2 表示的销售量与时间的函 数关系 Q=g(t); (2)求这种商品的销售额 S(销售量与价格之积)的最大值及此时的时间. 【方法归纳】(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个 不同的关系式构成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解; (2)分段函数每一段自变量变化所遵循的规律不同,在应用时,可以先将其当作几个问 题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起.要注意各段变量的范围,特别是端点 值.

【变式训练】国家税务部门规定个人稿费的纳税办法是:不超过 800 元的不纳税;超过 800 元而不超过 4 000 元的按照超过 800 元部分的 14%纳税; 超过 4 000 元的按全稿费的 11% 纳税.某人出版了一本书,共纳税 550 元,问此人的稿费为多少元?

题型六 函数模型的综合应用 【例 6】某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米.余下工程只需建两端桥
5

墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为 256 万元;距离为 x 米的相邻两墩之 间的桥面工程费用为(2+ x)x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其 他因素.记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 【方法归纳】解决此类实际问题首先要认真审题,设出自变量 x 与因变量 y,选择合适 的函数模型,列出函数关系式,然后利用数学知识解答,最后再回到实际问题中作答.

【变式训练】桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农 业生产形式.某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备购置 一块占地 1 800 平方米的矩形地块,中间挖成三个矩形池塘养鱼,挖出 的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,鱼塘周围的基 围宽均为 2 米, 如图所示, 池塘所占面积为 S 平方米, 其中 a∶b= 1∶ 2. (1)试用 x,y 表示 S; (2)若要使 S 最大,则 x,y 的值各为多少?

6

三、巩固练习
(2011 山东)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x, 则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为( ) A.6 B.7 C.8 D.9

【变式训练】(2011 陕西)函数 f(x)= x-cos x 在[0,+∞)内( ) A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点

四、拓展训练:
(2011 湖南)如图, 长方体物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直方 向做匀速移动,速度为 v(v>0),雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c∈R).E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:(1)P 或 P 的平行 面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S 成正比,比例系 1 1 数为 ;(2)其他面的淋雨量之和,其值为 .记 y 为 E 移动过程中的总 10 2 3 淋雨量.当移动距离 d=100,面积 S= 时, 2 (1)写出 y 的表达式; (2)设 0<v≤10,0<c≤5,试根据 c 的不同取值范围,确定移动速度 v,使总淋雨量 y 最少.

7

当堂过手训练(快练五分钟,稳准建奇功)
一、选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.函数 y ? f (2 x ? 1) 是偶函数,则函数 y ? f (2 x) 的对称轴是 A. x ? 0 B. x ? ?1 C. x ? ( )

1 2

D. x ? ?

1 2
( )

2.已知 0 ? a ? 1, b ? ?1,则函数 y ? a x ? b 的图象不经过 A.第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.函数 y ? ln x ? 2 x ? 6 的零点必定位于区间 A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 4.给出四个命题: (1)当 n ? 0 时, y ? x n 的图象是一条直线; (2)幂函数图象都经过(0,1)(1,1)两点; 、 (3)幂函数图象不可能出现在第四象限;
n (4)幂函数 y ? x 在第一象限为减函数,则 n ? 0 。

( )

其中正确的命题个数是 A.1 B.2
x

( C.3 D.4



5.函数 y ? a 在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3,则 a 的值为 A.

( )

1 2

B.2

C.4

D.

1 4
( )

6.设 f (x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? log2 x, 则当 x ? 0 时, f (x) ? A. ? log2 x B. log2 (? x) C. log2 x D. ? log2 (? x)

2 7.若方程 2( m ? 1 ) x +4 mx ? 3m ? 2 ? 0 的两根同号,则 m 的取值范围为 ( )

A. ? 2 ? m ? ?1 C. m ? ?1 或 m ?

B. ? 2 ? m ? ?1 或

2 3

2 ? m ?1 3 2 D. ? 2 ? m ? ?1 或 ? m ? 1 3

8 . 已 知 f (x) 是 周 期 为 2 的 奇 函 数 , 当 0 ? x ? 1 时 , f ( x) ? lg x. 设
8

6 3 5 a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f ( ), 则 5 2 2 A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? b ? a
9.已知 0 ? x ? y ? a ? 1 ,则有 A. loga ( xy) ? 0 B. 0 ? loga ( xy) ? 1

( ) D. c ? a ? b ( )

C.1< loga ( xy) ? 0

D. loga ( xy) ? 2 ( )

10.已知 0 ? a ? 1 , loga m ? loga n ? 0, 则 A. 1 ? n ? m B. 1 ? m ? n C. m ? n ? 1 D. n ? m ? 1

11.设 f ( x ) ? lg

2? x ? x? ?2? , 则 f ? ? ? f ? ? 的定义域为 2? x ?2? ? x?
B. (?4,?1) ? (1,4) C.( ? 2,?1) ? (1,2)

( ) D.( ? 4,?2) ? (2,4)

A.( ? 4,0) ? (0,4) 12.已知 f ( x) ? ?

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围是( ) ? loga x, x ? 1
1 3
C. ? , ?

A.(0,1) B.(0, )

?1 1 ? ?7 3 ?

D. ? ,1?

?1 ? ?7 ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中横线上。 13.若函数 y ? loga (kx2 ? 4kx ? 3) 的定义域是 R,则 k 的取值范围是 .

14. 函数 f ( x) ? 2ax ? 2a ? 1, x ? [?1,1], 若 f (x) 的值有正有负, 则实数 a 的取值范围为 . 15.光线透过一块玻璃板,其强度要减弱 有这样的玻璃板 16.给出下列命题:
x ①函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 与函数 y ? loga a x (a ? 0, a ? 1) 的定义域相同;

1 1 ,要使光线的强度减弱到原来的 以下,至少 3 10

, ) 块。 (参考数据: lg 2 ? 0.3010 lg 3 ? 0.4771

②函数 y ? x 与 y ? 3 的值域相同;
3
x

③函数 y ?

1 1 (1 ? 2 x ) 2 ? x 与函数 y ? 均是奇函数; 2 2 ?1 x ? 2x

2 ④函数 y ? ( x ? 1) 与 y ? 2 x ? 1 在 R? 上都是增函数。

其中正确命题的序号是



9

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分)

ex a ? 是 R 上的偶函数。 设 a ? 0 , f ( x) ? a ex
⑴求 a 的值; ⑵证明: f (x) 在 ?0,??? 上是增函数。

18. (本小题满分 12 分) 记函数 f ( x) ?

2?

x?3 的定义域为 A, g ( x) ? lg[(x ? a ? 1)(2a ? x)](a ? 1) 的定义 x ?1

域为 B。 ⑴求 A; ⑵若 B ? A ,求实数 a 的取值范围。

19. (本小题满分 12 分) 绿缘商店每月按出厂价每瓶 3 元购进一种饮料。 根据以前的统计数据, 若零售价定为每
10

瓶 4 元,每月可售出 400 瓶;若每瓶售价每降低 0.05 元,则可多销售 40 瓶,在每月的进 货量当月销售完的前提下, 请你给该商店设计一个方案: 销售价应定为多少元和从工厂购进 多少瓶时,才可获得最大的利润?

20. (本小题满分 14 分) 已知方程 x ? ax ? 2 ? 0 ,分别在下列条件下,求实数 a 的取值范围。
2

⑴方程的两根都小于 ? 1 ; ⑵方程的两个根都在区间 (?2,0) 内; ⑶方程的两个根,一个根大于 ? 1 ,一个根小于 ? 1 。

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 1), g ( x) ? loga (1 ? x)(其中a ? 0, 且a ? 1) ⑴求函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域; ⑵判断函数 f ( x) ? g ( x) 的奇偶性,并予以证明; ⑶求使 f ( x) ? g ( x) <0 成立的 x 的集合。

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22. (本小题满分 12 分) 函数 f (x) 对任意 a, b ? R 都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? 1, 并且当 x ? 0 时 f ( x) ? 1 。 求证:函数 f (x) 是 R 上的增函数。

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