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2013清北学堂寒假数学竞赛 集训一几何导学


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2013 寒假集训一几何导学,内容中标有★的部分,是中学数学竞赛大纲中提出要求的内容,需要引起 同学们注意,希望能提前做好预习和学习准备. 一、直线与圆 知识点 解析几何的实质是通过坐标

系把方程与曲线相对应, 使曲线的几何关系在其方程的性质中表现出来. 将 几何问题转化为代数问题来解决,这是解析几何的一个功能;把这种方法用于代数,即通过解析几何将代 数问题转化为几何问题来解决,这是解析几何的另一个功能. 1、直线 (1)直线的斜率 k 与直线的倾斜角 = tan ≠ 90° ,直线的倾斜角的取值范围是 0° ≤<180° 经过两点1 1 ,1 、2 2 ,2 的直线的斜率为 = (2)直线方程的几种形式及其局限性 ①点斜式: ? 0 = ? 0 (斜率 k 存在) ; ②斜截式: = + (斜率存在) ; ③两点式:
y ?1 2 ?1 2 ?1 2 ? 1

1 ≠ 2 .

=

? 1 2 ? 1

1 ≠ 2 ,1 ≠ 2 ;

④截距式: + = 1(直线不过原点,且不平行于坐标轴) ;


⑤一般式: + + = 0(A,B 不全为 0) ; ⑥参数方程 = 0 + cos, = 0 + sin, (t 为参数) .

则 1 ∥ 2 ?

1 2

=
1 2

1 2


1 2

1 2


1 2

1 与2 重合 ? 1 与2 相交 ?

=

=



1 2



1 2



1 ⊥ 2 ? 1 2 + 1 2 = 0(无须2 ,2 ≠ 0这一条件) . ★(4)直线系方程 设 两 相 交 直 线 1 :1 + 1 + 1 = 0 , 2 :2 + 2 + 2 = 0 交 于 P , 则 方 程 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 = 0表示过 P 的直线系方程(不包含2 ) . 由 l1 与 l2 组成的二次曲线方程为(A1x+B1y+C1) (A2x+B2y+C2)=0;与 l1 平行的直线方程为 A1x+B1y+C=0 ( C ? C1 )
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ww w

.q b

①两条不重合的直线1 ,2 均有斜率,斜率分别为1 ,2 ,则1 ∥2 ? 1 = 2 . ②两条直线1 ,2 均有斜率,斜率分别为1 ,2 ,1 与2 相交则? 1 ≠ 2 . ③两条直线1 ,2 均有斜率,斜率分别为1 ,2 ,1 ⊥ 2 ? 1 2 = ?1. 由此可得:1 :1 + 1 + 1 = 0,2 :2 + 2 y + 2 = 0 2 ,2 ,2 ≠ 0 ,

xt .

(3)两条直线的位置关系

cn

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★(5)直线1 到2 的角,直线1 与2 的夹角 设直线1 ,2 的斜率存在,分别为 k1,k2,且1 到2 不垂直 若直线1 ,2 的角为 ,则tan = 若1 与2 的夹角为 ,则tan =
2 ? 1 1+ 2 1



2 ? 1 1+ 2 1

; .

(6)两点 P1(x1, y1)与 P2(x2, y2)间的距离公式:|P1P2|= ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 点 0 ,y0 到直线 + + C = 0的距离 =
0 + 0 + 2 + 2


1 ?2 2 + 2

由此得到平行直线 l: + + 1 = 0,2 : + + 2 = 0的距离 =



2、简单的线性规划 线性规划问题是一类条件最值问题,即在一组线性约束条件下,求一个线性目标函数的最大值与最小值. 3、圆 (1)圆的方程 标准方程 ? 2 + ? 2 = 2 ; 一般方程 2 + 2 + + + = 0 2 + 2 ? 4 > 0 ; 参数方程 = + , = + , 为参数 .

(2)圆的切线方程 过圆 2 + 2 = 2 上的点 0 ,0 的切线方程为0 + 0 = 2 ;过圆 ? 2 + ? 2 = 2 上的点 0 ,0 的切线方程为 0 ? ? + 0 ? ? = 2 . (3)直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种,判断方法有两种:一种是联立直线与圆的方程,根据解的个数判断;另 一种是利用圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断. 相交 相切 相离 两个交点? < ,此时被截得的弦长为2 2 ? 2 . 一个交点? = . 无交点? > .

(4)圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系有五种,常用圆心距 d 和半径1 ,2 之间的关系判断. 相离? > 1 + 2 ; 外切? = 1 + 2 ; 相交? 1 ? 2 < < 1 + 2 ; 内切? = 1 ? 2 ; 内含? < 1 ? 2 ; . (5)对于不同心的两个圆 1 : 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 0,2 : 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 0 . 则 1 + 2 = 0 表 示 共 轴 圆 系.当 ≠ ?1时,表示一个圆; = ?1时,表示两圆1 ,2 的根轴.

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xt .

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典型例题: 例 1: 已知⊙O 是单位圆,正方形 ABCD 的一边 AB 是⊙O 的弦,试确定|OD|的最大值、最小值. 【解】 以单位圆的圆心为原点,AB 的中垂线为 x 轴建立直角坐标系, 设点 A,B 的坐标分别为 A(cos? ,sin? ),B(cos? ,-sin? ) , 由题设|AD|=|AB|= 2sin? ,这里不妨设 A 在 x 轴上方,则 α∈(0,π). 由对称性可设点 D 在点 A 的右侧(否则将整个图形关于 y 轴作对称即可) , 从而点 D 坐标为( cos? +2sin? ,sin? ) , 所以|OD|= (cos? ? 2 sin ? ) 2 ? sin 2 ? ? = 2(sin 2? ? cos 2? ) ? 3 ?

4 sin 2 ? ? 4 sin ? cos? ? 1

?? ? 3 ? 2 2 sin ? 2? ? ? . 4? ?

因为 ? 2 2 ? 2 2 sin ? 2? ? 当? ?

? ?

??

? ? 2 2 ,所以 2 ? 1 ?| OD |? 2 ? 1. 4?

3 7 ? 时, |OD|max = 2 +1;当 ? ? ? 时, |OD|min = 8 8

2 ? 1.

例 2: 当 m 变化且 m≠0 时,求证:圆(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2 的圆心在一条定直线上,并求这一系列 圆的公切线的方程. 【证明】 由?

?a ? 2m ? 1, 消去 m 得 a-2b+1=0. ?b ? m ? 1

故这些圆的圆心在直线 x-2y+1=0 上. 设公切线方程为 y = kx+b ,则由相切有 2|m|=

1? k 2
2

对一切 m≠0 成立.即 (-4k -3)m +2(2k -1)(k +b-1)m+(k +b-1) =0 对一切 m≠0 成立

2

当 k 不存在时直线为 x=1.所以公切线方程 y= ?

例 3:直接法求轨迹方程 按求动点轨迹方程的一般步骤求,其过程是建系设点,列出几何等式,坐标代换,化简整理,主要用 于动点具有的几何条件比较明显时. 已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C: x ? y ? 1 ,动点 M 到圆 C 的切线长与 MQ 的比等于常
2 2

数 ? ?? ? 0? ,求动点 M 的轨迹方程,说明它表示什么曲线.
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ww w
3 7 x ? 和 x=1. 4 4

3 ? k?? , ? ?? 4k ? 3 ? 0, ? 4 所以 ? 即? ?k ? b ? 1 ? 0, ?b ? 7 . ? 4 ?

.q b

xt .

| k (2m ? 1) ? (m ? 1) ? b |



cn

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【解】设 M(x,y) ,直线 MN 切圆 C 于 N, 则有

MN MQ

??,
2 2



MO ? ON MQ
2 2

??,
2 2

x2 ? y2 ?1 ( x ? 2) 2 ? y 2
2

??.
2

整理得 (? ? 1) x ? (? ? 1) y ? 4? x ? (1 ? 4? ) ? 0 ,这就是动点 M 的轨迹方程. 若 ? ? 1 ,方程化为 x ?

5 5 ,它表示过点 ( ,0) 和 x 轴垂直的一条直线; 4 4

2?2 2 1 ? 3?2 1 ? 3?2 2?2 2 (x- 2 ) ? y ? 2 若 λ≠1,方程化为 ,它表示以 为圆心, 为半 ( , 0 ) ? ?1 (? ? 1) 2 ?2 ? 1 ?2 ? 1
径的圆. 二、立体几何 知识点: 定理 1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,则直线与平面垂直. 定理 2 两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行. 定理 3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直,则另一条也和这个平面垂直. 定理 4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离,若一条直线与平面平行,则直线上每一点 到平面的距离都相等,这个距离叫做直线与平面的距离. ★定理 5 (三垂线定理) 若 d 为平面 α 的一条斜线, b 为它在平面 α 内的射影, c 为平面 α 内的一条直线, 若 c ? b,则 c ? d.逆定理:若 c ? d,则 c ? b. 定理 6 直线 d 是平面 α 外一条直线,若它与平面内一条直线 b 平行,则它与平面 α 平行 定理 7 若直线 a 与平面 α 平行,平面β 经过直线 a 且与平面 α 交于直线 b,则 a//b. 定理 8 (等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,则两个角相等. 定理 9 定理 10 平面 α 内有两条相交直线 a,b 都与平面 β 平行,则 ? //? .

平面 α 与平面 β 平行,平面 ? ? ? =a,? ? ? =b ,则 a //b .

定理 11 如果一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 定理 12 如果两个平面垂直,过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面内. 定理 13 如果两个平面垂直,过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直. 多面体与旋转体 1、棱柱与棱锥的性质 棱柱与棱锥的性质可以从侧面的性质、平行于底面的截面的性质、几何体诸元素之间相互关系三方面加以 考虑.其中,要重视棱锥中平行于底面的截面所具有的性质,以及正棱锥中的四个直角三角形,它们沟通 了正棱锥中诸元素之间的相互关系. 2、长方体与正方体的性质 (1) 长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. (2) 长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别是 ?,?,? ,则

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cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1

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xt .

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(3) 长方体的一条对角线与过一个顶点的三个面所成的角分别是 ?1 ,?2 ,?3 ,则

sin 2 ?1 ? sin 2 ?2 ? sin 2 ?3 ? 1
(4) 正方体的对角线与不相交的面对角线垂直; (5)正方体过同一条对角线的三个对角面两两所成的小于 900 的二面角都等于 600 . 3、四面体与直四面体的性质 (1) 连接四面体对棱中点的线段交于一点,且这点平分这些线段. (2) 连接四面体对棱中点的线段交于一点 G ,且这点将所在线段分成的比为 3:1, G 称为四面体重心. (3) 四面体的二面角的平分面分对棱所成的比等于形成这个二面角的两个侧面的面积之比. (4) 每个四面体都有内切球,球心 I 是四面体的各个二面角的平分面的交点,此点到各面的距离等于球半 径. 设四面体四个面的面积分别为 S1 、 S2 、 S3 、 S4 ,V 表示它的体积, r 表示内切球的半径, h1 、 h2 、 h3 、 h4 分别表示各顶点到对面所作的高,有

r?

3V 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? S1 ? S 2 ? S3 ? S 4 r h1 h2 h3 h4

(5) 每个四面体都有外接球,球心 O 是各条棱的中垂面的交点,此点到各个顶点的距离等于球半径. (6)直角四面体中,不含直角的面是锐角三角形,其面积 S ? 垂直的三条棱长. (6) 直角四面体六条棱长的和 l 为定值时,直角四面体的体积的最大值为 (8)直角四面体的内切球半径为
r?

1 2 2 a b ? b2 c 2 ? c 2 a 2 ,其中 a , b, c 为互相 2

S1 ? S2 ? S3 ? S4 3V ? a?b?c S

其中 S4 表示锐角三角形的面积, S1 、 S2 、 S3 表示三个直角三角形的面积, S 表示表面积.
1 2 a ? b2 ? c 2 2 (9) 直角四面体的外接球半径为 . (10) 直角四面体的对棱中点连线长相等,且等于外接球半径. R?

? 平行六面体 ?????? 直平行六面体 ???? ? 长方体 ????? ?正 (11) 四棱柱 ??????
底面是平行四边形

ww w
侧棱与底面垂直

.q b

xt .
底面是矩形

cn
底面是正方形

5 2 ?7 3 l . 162

? 正方体 四棱柱 ?????
侧面是正方形

(12) 四面体是立体几何中最基本,也是最重要的几何体,其地位相当于三角形在平面几何中的地位,它 有许多性质,应熟练掌握. 4、折叠与展开的方法 要准确画出原来的图形和折叠或展开后的图形,对照平面图形与立体图形的对应元素的位置关系、大小、 形状,确定哪些是不变量,哪些是变量,不变量是解题的基础. 定理 14 (凸多面体的欧拉定理)设多面体的顶点数为 V,棱数为 E,面数为 F,则 V+F-E=2.
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定理 15 如果球心到平面的距离 d 小于半径 R,那么平面与球相交所得的截面是圆面,圆心与球心的连线 与截面垂直.设截面半径为 r,则 d2+r2=R2.过球心的截面圆周叫做球大圆.经过球面两点的球大圆夹在两 点间劣弧的长度叫两点间球面距离. 定理 16 夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面 的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等. 定理 19 四面体 ABCD 中,记∠BDC=α,∠ADC=β,∠ADB=γ,∠BAC=A,∠ABC=B,∠ACB=C.DH ? 平面 ABC 于 H. (1)射影定理: S△ABD (2)正弦定理:

? cos? =S△ABH ,其中二面角 D—AB—H 为 Ф.

sin ? sin ? sin ? ? ? . sin A sin B sin C

(3)余弦定理: 5、面积

cos? =cos? cos? +sin? sin? cosA. cosA=-cosBcosC +sinBsinCcos? .

(1)柱体侧面积 S侧 ? c ? l ( c 为直截面周长, l 为侧棱或母线长) (2)正棱锥的侧面积 S侧 ? (3) 圆锥的侧面积:

1 c ? h ' ( c 为底面周长, h ' 为斜高) 2
( r 为底面周长, l 为母线长)
1 ? c ? c '? h ' ( c 、 c ' 分别是上、下底面周长, h ' 是斜高) 2

S侧 ? ? rl

(4)正棱台的侧面积公式: S ? (5)圆台的侧面积公式: S ?

(1)半径为 R 的球的体积为 V =

ww w

4 ? R3 ; 3

.q b

(7)面积射影定理 在二面角的一个半平面上的任意多边形的面积 S 与这个二面角的度数 ? 的余弦的乘积,等于这个多边形在 二面角的另一个半平面上射影多边形的面积 S ' ,即 S ' ? S ? cos ? . 6、体积

xt .

(6)球的表面积: S ? 4? R 2 ;

cn
1 Sh ( S 3

1 ? c ? c '? l ( c 、 c ' 分别是上、下底面周长, l 是母线长) 2

(2)若棱柱(或圆柱)的体积为 V ? Sh ( S 为底面积,h 为高) ;若棱锥(或圆锥)的体积为 V ? 为底面面积, h 为高). (3)四面体的体积公式 V ? =

1 DH?SΔABC 3

1 abc 1 ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? 2 cos? cos ? cos ? 6 1 ? aa1 d sin ? (其中 d 是 a1, a 之间的距离, ? 是它们的夹角) 6 2 S?ABD ? S?ACD ? sin? (其中 θ 为二面角 B—AD—C 的平面角). ? 3a
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(4)台体的体积公式: V ?

1 S ? SS ' ? S ' h ( S 、 S ' 分别是上、下底面面积, h 是高) 3

?

?

多面体的体积计算,特别是四面体的体积计算,是竞赛试题中常见的问题,其常用方法有: ①直接法;②换底法;③割补法;④等积变换法;⑤比例法;⑥向量法等. 7、几何体的截面 用平面截几何体,平面在几何体内的部分称为这个几何体的截面,截面问题包括作图和计算两个方面.处 理截面问题一般分为定位、定形、定量三个步骤,其中定位是解决此类问题的关键. 锥体的平行于底面的截面性质:

S1 h12 V1 h13 . ? , ? S h 2 V h3

8、球与多面体的切接问题 设半径为 R 的球上有两点 M 、 N ,它们的纬度差为 ? ,经度差为 ? ,则 MN 的球面距离为

?? ? l ? 2 R arcsin ? cos ? ? sin ? . 2? ?
若多面体有内切球,则内切球的半径 r ,表面积 S ,体积 V 之间有关系式 V ?

1 Sr . 3

一般通过作截面,把立体图形平面化,然后用平面几何的相关知识来解决.多球相切问题由于球多,图形 复杂,难以作图,因此要求解题者具有较强的空间想象能力与分析问题、解决问题的能力. 直线,平面之间的平行与垂直的证明方法 1、 运用定义证明(有时要用反证法) ; 2、 运用平行关系证明; 3、 运用垂直关系证明; 4、 建立空间直角坐标系,运用空间向量证明.

(2)运用三垂线定理或其逆定理; (3)运用“若 a ? 平面 ? , b ? ? ,则 a ? b ”; (4)运用“若 b // c 且 a ? c ,则 a ? b ” ; (5)建立空间直角坐标系,证明 a ? b ? 0 . 空间中的角和距离的计算 1、求异面直线所成的角

? ?

(1) (平移法)过 P 作 a' // a , b' // b ,则 a ' 与 b ' 的夹角就是 a 与 b 的夹角; (2)证明 a ? b (或 a // b ) ,则 a 与 b 的夹角为 900 (或 00 ) ; (3)求 a 与 b 所成的角( ? ?[0, ? ] ) ,再化为异面直线 a 与 b 所成的角( ? ? (0, 2、求直线与平面所成的角 (1) (定义法)若直线 a 在平面 ? 内的射影是直线 b ,则 a 与 b 的夹角就是 a 与 ? 的夹角; (2)证明 a ? ? (或 a // ? ) ,则 a 与 ? 的夹角为 900 (或 00 ) ;
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?

?

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.q b
?
2 ] ).

xt .

(1)运用定义证明直线 a 与 b 所成的角为 900 ;

cn

例如,在证明:直线 a ? 直线 b 时.可以这样考虑

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(3)求 a 与 ? 的法向量 n 所成的角 ? ,则 a 与 ? 所成的角为 900 ? ? 或 ? ? 900 . 3、求二面角 (1) (直接计算)在二面角 ? ? AB ? ? 的半平面 ? 内任取一点 P ? AB ,过 P 作 AB 的垂线, 交 AB 于 C,再过 P 作 ? 的垂线,垂足为 D,连结 CD,则 CD ? AB ,故 ?PCD 为所求的二面角. (2) (面积射影定理)设二面角 ? ? AB ? ? 的大小为 ? ( ? ? 900 ) ,平面 ? 内一个平面图形 F 的面积为 S1 ,F 在 ? 内的射影图形的面积为 S2 ,则 cos ? ? ?

?

?

S2 .(当 ? 为钝角时取“ ? ” ). S1

(3) (异面直线上两点的距离公式): EF 2 ? d 2 ? m2 ? n2 ? 2mn cos? ,其中 ? 是二面角

? ? AB ? ? 的平面角,EA 在半平面 ? 内且 EA ? AB 于点 A,BF 在半平面 ? 内且 FB ?
AB 于 B,而 AB ? d , EA ? m , FB ? n . (4) (三面角的余弦定理) ,三面角 S ? ABC 中, ?BSC ? ? , ?CSA ? ? , ?ASB ? ? ,又二面角

B ? SA ? C ? ? ,则 cos ? ?

cos ? ? cos ? cos ? . sin ? sin ?

(5) (法向量法)平面 ? 的法向量 n1 与平面 ? 的法向量 n2 所成的角为 ? ,则所求的二面角为 4、求两点 A,B 间距离 (1)构造三角形进行计算; (2)导面直线上两点间的距离公式; (3)求 AB . 5、求点到直线的距离 (1)构造三角形进行计算; (2)转化为求两平行红色之间的距离. 6、求点到平面的距离 (1)直接计算从点到平面所引垂线段的长度; (2)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (3) (体积法)转化为求一个棱锥的高 h ?

??

?? ?

??? ?

(4)在平面上取一点 A,求 AP 与平面的法向量 n 的夹角的余弦 cos ? ,则点 P 到平面 的距离为 d ? AP ? cos ? . 7、求异面直线的距离 (1) (定义法)求异面直线公垂线段的长;
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??? ?

??? ?

ww w
3V ,其中 V 为棱锥体积,S 为底面面积, h 为底面上的高. S

.q b

xt .

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? (同类)或 ? ? ? (异类).

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(2) (体积法)转化为求几何体的高; (3) (转化法)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (4) (最值法)构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值; (5) (射影法)如果两异面直线 a, b 在同一平面内的射影分别是一个点 P 和一条直线 l , 则 a 与 b 的距离等于 P 到 l 的距离; (6) (公式法) d 2 ? EF 2 ? m2 ? n2 ? 2mn cos? . 8、求平行的线线,线面,面面之间的距离的方法,通常是转化为求点与线或点与面之间的距离. 解题思想与方法导引 1、空间想象能力; 2、数形结合能力; 3、平几与立几间的相互转化; 4、向量法 ★专题 三垂线法作二面角的平面角的技巧 求二面角的大小是考试中经常出现的问题,而用三垂线法作二面角的平面角是求二面角大小的一个重 要方法,许多同学在解题过程中由于没有有效地利用三垂线定理(或逆定理)做出二面角的平面角,使得 解题受阻. 我们把用三垂线定理(或逆定理)作二面角的平面角的方法称为三垂线法,其作图模型为: 如图 1,在二面角 ? —l— ? 中,过平面 ? 内一点 A 作 AO⊥平面 ? ,垂足为 O,过点 O 作 OB⊥l 于 B (过 A 点作 AB⊥于 B) ,连结 AB(或 OB) ,由三垂线定理(或逆定理)知 AB⊥l(或 OB⊥l) ,则∠ABO 为 二面角. ? —l— ? 的平面角. 作图过程中,做出了两条垂线 AO 与 OB(或 AB) ,后连结 AB 两点(或 OB 两点) ,这一过程可简记为 “两垂一连” ,其中 AO 为“第一垂线” . “第一垂线”能否顺利找到或恰当做出是用三垂线法作二面角的平 面角的关键,在具体解题过程中要注意以下几点:

善于利用图中已有的“第一垂线” 例 1:已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠BCA=90°,AC=BC,A1 在底面 ABC 的射影恰为 AC 的中点 M,又 知 AA1 与底面 ABC 所成的角为 60°. (1)求证:BC⊥平面 AA1CC1; (2)求二面角 B—AA1—C 的大小. 【解析】注意该题的第(1)问,事实上本题已经暗示了 BC 就是我们要寻求的“第一垂线” . 【略解(2) 】A1A 与底面 AB 成的角为 60°,所以∠A1AC=60°,又 M 是 AC 中点,所以△AA1C 是正三角 形,作 CN⊥AA1 于 N,点 N 为 A1A 的中点,连结 BN,由 BC⊥平面 AA1CC1,BN⊥AA1,则∠BNC 为二面

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.q b

xt .

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角 B—AA1—C 的平面角.设 AC=BC=a,正△AA1C 的边长为 a,所以 CN ?

3 a ,在 Rt △BNC 中,tan 2

∠BNC=

2 3 BC a 2 3 ,即∠BNC ? arctan . ? ? NC a 3 3 3 2

借助第三个平面,作“第一垂线” 例 2:如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底边长为 a,侧棱长为 行的平面交上底面一边 A1C1 于点 D. (1)确定点 D 的位置,并证明你的结论; (2)求二面角 A1—AB1—D 的大小.

2 a ,若经过对角线 AB1 且与对角线 BC1 平 2

xt .

角 A1—AB1—D 的平面角, 在正△A1B1C1 中, 因为 D 是 A1C1 中点, A1B1=a, 所以 B1 F ?

【解析】本题中没有相对于二面角的两个平面的第三个平面可以借助,但是,我们注意到 AB、AC 与平面 ? 所成的角均已给出,只要过 A 作 AO⊥ ? 于 O,就可以同时找到 AB、AC 在平面 ? 内的射影,无疑这样得 到的“第一垂线"AO 有着非常特殊的位置,有利于二面角大小的计算. 作 AO⊥ ? 于 O,OD⊥BC 于 D,连 OB,AD,OC,由三垂线定理得:AD⊥BC,所以∠ADO 是二面角 A —BC—O 的平面角,令 AO=x,在 Rt △AOB 中,∠ABO=30°,所以 AB=2x,在 Rt △AOC 中,∠ACO

ww w

例 3:已知: Rt △ABC 的斜边 BC 在平面 ? 内,AB、AC 分别与平面 ? 成 30°和 45°角,求平面 ? 与 △ABC 所在平面所成二面角的大小.

10 / 25

.q b

在 Rt △DFG,可求得∠DCF=45°. 利用特殊图形的定义、性质作“第一垂线”

cn

【解析】由线面平行的性质定理及三角形中位线性质,易知 D 是 A1C1 中点.二面角 A1—AB1—D 的放置属 于非常规位置的图形,但是,容易发现,平面 A1B1C1 过点 D 且与平面 A1AB1 垂直,这样的平面相对于二面 角的两个平面而言,我们称为第三个平面.过 D 作 DF⊥A1B1,由面面垂直的性质知,DF⊥面 A1AB1,即 DF 为我们要作的“第一垂线” . 【略解 2 】在平面 A1B1C1 内,作 CF⊥A1B1 于 F,连 DC,由三垂线定理可证 AB1⊥DG,∠DGF 就是二面

3 3 a ,DF ? a, 4 4

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=45°,所以 AC ?

2 x ,因为∠BAC=90°,所以 BC ? 6 x ,所以 AD ?

2x ? 2x 6x

?

2 3 x. 3

在 Rt △AOD 中,sin∠ADO ? 二面角. 典型例题:

AO 3 ,所以∠ADO=60°,所以三角形 ABC 与面 ? 成 60°或 120°的 ? AD 2

例 1:若异面直线 a 、 b 所成角为 800 ,且过空间任一点 P 的直线与 a 、 b 所成角都是 500 ,则这样的直线有 且仅有( ). (A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条 【解】将 a 、 b 平移到过 P 点的 a ' 、 b ' ,则所求直线在直线 a ' 、 b ' 所确定的平面上的射影为 a ' 、 b ' 所夹角 的平分线(两种).利用公式 cos? ? cos?1 ? cos?2 可得结果,这样的直线有且仅有 3 条. 故选(C). 例 2:在正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,点 E 、 F 分别是 AA ' 、 CD 中点,设过点 E 、 F 的平面截正方体得 到的截面是 n 边形,则 n 的取值集合是( ). (A) ?3, 4? (B) ?4, 6? (C) ?4,5,6? (D) ?3, 4,5,6?

【解】截面可以是四边形、五边形或六边形.故选(C). 例 3:在正方体的八个顶点中,有四个恰好为正四面体的顶点,则正方体的表面积与正四面体的表面积之比 为( ). (A) 2 (B) 3 (C)
6 2

(D)

6 3

【解】计算出各自的表面积,求得此值为 3 .故选(B).

由 DB / / EC , BD ?

所以 AF ? AE ,即 ?EAC 即为所求二面角的平面角.那么,在 Rt? AEC 中, EC ? AC ,故 ?EAC ? 450 . a (2)设 AB ? a ,则 AA ' ? 2a , BD ? , EC ? a ,于是 S 2

VA? BCDE 2 S 1 ? ? BCDE ? VABC ? A ' B ' C ' 3 S BCC ' B ' 4

VADE ? A ' B ' C ' ? 3. ,故 VA? BDE
6 , 3
A O E B
图1-1

ww w

1 EC ,得 FB ? BC ? AB .则 ?BAF ? ?BFA ? 300 ,于是 ?FAC ? 900 . 2

.q b

例 4:已知正三棱柱 ABC ? A ' B ' C ' , D 、 E 分别是侧棱 BB ' 、 CC ' 上的点.且 EC ? BC ? 2 BD ,过 A 、 D 、 E 作一截面,若 AA ' ? 2 AB , (1) 求截面与底面所成的角; (2) 求截面分三棱柱所成两部分的体积比. 【解】 (1)延长 ED 交 CB 延长线于 F .

xt .

cn

D C

例 5:三棱锥 S ? ABC 的底面三角形中,?ABC 等于 900 ,tan ?CAB ?

侧棱 SA 、 SB 、 SC 对底面所成的角都是 450 ,试求侧面 S AC 与 SBC 所成二面 角 A ? SC ? B 度数.
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【分析】由已知条件,易知顶点 S 在底面射影 O 是 Rt? ABC 外心,因而是 AC 中点,平面 SAC ? 平面 ABC . 【思路一】过 O 点作 OD ? SC ,垂足为 D ;过 D 作 DE ? SC ,交 SB 于 E ,则 ?ODE ? ? 为所求二面角. 【思路二】过 S 在平面 SBC 上作 SP ? SC ,交 CB 延长线于 P ,连 AP , ?ASP ? ? 即为所求二面角,通过 计算,知 ?PAC ? 900 ,从而算得 AP 之长. 【评注】与常规解法相比,这两种二面角作法虽有一些简化,但计算量仍很大,简化得不够, “巧”也不甚 明显. 因此,要在进一步简化上动脑筋,在“求简”中发掘出其中的巧趣来. (1)若将图 1-1 中 DE 延长,交 CB 延长线于 P ,连 OP ,经过计算可以证明 S
OP ? OD ,因此 OP ? 平面 ? SAC ? ,反之,如图 1-2 所示,若过 O 作 OD ? SC

于 D 之后,再过 O 作 OP ? AC ,从而有 OP ? 平面 SAC ,则由三垂线定理知, PD ? SC ,故 ?ODP ? ? ,即为所求角. 这样做的好处是,容易算得 OP 之长,事实上,此时 ?CAB ? ?OPC ,若设 A 2 6 3 1 SA ? SC ? 1 ,则 OD ? , AC ? 2 ,OC ? ,OC : OP ? ,得 OP ? , 2 3 2 2

D C

O P
图1-2

E B

?? ? 60 . (2)在图 1-3 中,考虑先作 PS ? SC ,虽然二面角 ? 容易计算,但计算 AP 颇 不易,如果在平面 ABC 上作 AP ? AC ,连 SP ,则 AP ? 平面 SAC ,由三垂线 定理即知 PS ? SC ,不仅如此,若设 SA ? SC ? 1 ,此时同样有
0

?APC ? ?BAC

AP ? AC ? cot ?BAC ? 2 ?

3 6

? 3

A B

C

?? ? 600 例 6:正三棱柱 ABC ? A ' B ' C ' 底面的边长及高都是 2cm ,过 AB 作一截面,截
面与底面 ABC 成 600 角,则截面面积为____________.

P

图1-3

从而 RM ?
MN ?

2 4 ? 3 ? cm ? sin 600 3

.q b

作 RN ? 平面 ABC 于 N ,则 N 必在 CM 上,且有 ?RMN ? 600 . RN ? sin 600 ? RM

xt .
B' B M

【解】 先作出符合题意的截面 ABQP 如图 1-4, 取 PQ 中点 R ,AB 中点 M , 连 C1 R 延长交 A1 B1 中点, 连 CM ,

cn
Q H A' N A
图1-4

? C1 R ? 3 ?

2 3 3? ? cm ? 3 3

ww w

2 2 ? 3 ? cm ? ? RH 0 tan 60 3

R P

C'

C

于是由 PQ : A1B1 ? C1R : C1H ,得
2? 3 1? 2? 4 16 3 ? 2 ? cm ? ? S 3? 3 ? cm 2 ? ?2 ? ?? 截面ABQP ? 2? 3? 3 9 3 3

PQ ?

模拟真题: 题 1:一个凸多面体有 32 个面,每个面或是三角形或是五边形,对于 V 个顶点每个顶点均有 T 个三角形面 和 P 个五边形面相交,求 100P+10T+V.
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【解】 因 F=32, 所以 32-E+V=2, 所以 E=V+30.因为 T+P 个面相交于每个顶点, 每个顶点出发有 T+P 条棱, 所以 2E=V(T+P). 由此得 V(T+P)=2(V+30) ,即 V(T+P-2)=60. 由于每个三角形面有三条棱,故三角 形面有

VT VP ?T P ? 个, 类似地, 五边形有 个, 又因为每个面或者是三角形或者是五边形, 所以 V ? ? ? =32, 3 5 ?3 5?

由此可得 3T+5P=16,它的唯一正整数解为 T=P=2,代入 V(T+P-2)=60 得 V=30,所以 100P+10T+V=250. 题 2: 如图, 正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,E 是 AC 中点. (1) 求证:AB1 //平面 BEC1 ;(2) 若A B ?2 ,A A 求点 A 到平面 BEC1 的距离; (Ⅲ)当 A1 A 为何值时,二面角 E—BC1—C 的正弦值为 10 ?
AB
5
1

?2 ,

【解】 (1)连接 B1C 交 BC1 于点 F ,连接 EF . 在 ?AB1C 中,因为 E , F 分别为 AC, B1C 中点,则 EF // AB1 . 因为 AB1 ? 平面 BEC1 , EF ? 平面 BEC1 ,则 AB1 // 平面 BEC1 . (2)由题知点 A 到平面 BEC1 的距离即点 C 到平面 BEC1 的距离,

? ABC ? A1B1C1 是正三棱柱,? BE ? 平面 ACC1 A1 ,

B A E C H C1

B1 A1

BE ? 平面 BEC1 ,?平面 BEC1 ? 平面 ACC1 A1 ,
过点 C 作 CH ? C1 E 于点 H ,则 CH ? 平面 BEC1 ,

G

? CH 即点 C 到平面 BEC1 的距离.
在 Rt △ CEC 1 中, CE = 1 , CC 1 ?

2 , C 1 E ? 3 ,由面积相等可得 CH =

?点 A 到平面 BEC1 的距离为

6 . 3

切为 2 .则异面直线 DM 与 AN 所成角的余弦为(

1 1 1 1 (A)? ???????? B)? ????????C)? ???????? D)? 3 6 8 12

分析:本题有许多条件,可以用“求解法” ,即假设题中的一部分要素为已知,利用这些条件来确定其余的 要素.本题中可假设底面边长为已知(不妨设为 2) ,利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素,如正四棱 锥的高等.然后我们用两种方法,一种是建立坐标系,另一种是平移其 中一条线段与另一条在一起.

ww w

13 / 25

题 3: (2011 华约)在正四棱锥 P-ABCD 中,M、N 分别为 PA、PB 的中点,且侧面与底面所成二面角的正

.q b

xt .

cn
6 . 3

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z P

M

D O

N

C y B

A x

【解法一】如图,设底面边长为 2,则由侧面与底面所成二面角的正切为 2 得高为 2 .如图建立坐标系, 则A (1, -1, 0) , B (1, 1, 0) , C (-1, 1, 0) , D (-1, -1, 0) , P (0, 0, 2 ) , 则M( , ? ,

1 1 2 11 2 ) , ( N , , ) 2 2 2 22 2 ???? ? ???? ???? ? 3 1 2 ???? DM ? AN 1 1 3 2 DM ? ( , ? , ), AN ? (? , , ) .设所成的角为 θ,则 cos ? ? ???? ? ???? ? . 2 2 2 2 2 2 DM AN 6



【解法二】如图,设底面边长为 2,则由侧面与底面所成二面角的正切为 2 得高为 2 .平移 DM 与 AN 在

cn

一起.即 M 移到 N,D 移到 CD 的中点 Q.于是 QN = DM = AN.而 PA = PB = AB = 2,所以 QN = AN =

3,

三、空间直角坐标系与立体几何的向量方法 知识点 定义 1 如同平面向量一样,把既有大小又有方向的量叫做向量.

空间向量的表示与平面向量的表示完全一样,用 a,b,c 等表示,也可用 , ,等表示. 定义 2 向量的方向是从始点 A 指向终点 B 的方向;其大小是线段 AB 的长,与平面向量一样,称为向 量的长度(或模) ,记为 . 定义 3 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. 类似平面向量,空间向量的运算满足如下运算规律: (1)加法交换律 + = + ; (2)加法结合律 + + = + + ; (3)数乘分配律 λ ± = ± ; (4)乘法结合律 ? = ? (其中 ∈ ) ; (5)乘法交换律 ? = ? ; (6)乘法分配律 + = ? + ? . 定义 4 平行于同一平面的向量,称为共面向量.和平面向量的情况一样,如果表示空间向量的有向线段 所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量.若向量 a 与 b 平行,记为 a∥b.

ww w
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.q b

xt .

而 AQ =

5 ,容易算出等腰Δ AQN 的顶角 cos ?ANQ ? .

1 6

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同样规定零向量与任何向量都共线. 定理 1 (共面向量定理) 设 ? , 则对任何向量 P, P 与 , 共面的充要条件是存在惟一的一对实数λ,μ, 使得 = + . 推论 1 若 , , 是不共面的三个向量, 且 + + 3 = 0 (其中,, ∈ ) , 则 = = = 0. 推论 2 向量 , , 共面的充要条件为存在三个不全为零的实数,,,使得 + + = 0. 推论 3 空间中一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在惟一的有序实数对 x,y,使 = + , (*) ,其中, (*)式叫做平面 MAB 的向量表达式. 定理 2(空间向量基本定理)如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间中任一向量 P,存在惟一的一组有 序实数组 x,y,z,使 = + + . 定义 5 已给两个非零向量 a , b ,在空间中任取一点 O ,经平行移动后使它们的始点均为 O .并令 = , = , 则∠AOB 称为向量 a 与 b 的夹角, 并用 = , 表示 a 与 b 之间的夹角, 是无向角, 0≤ ≤ . 定义 6 已知两个空间向量 a , b ,则 cos , 称为向量 a , b 的数量积,记为 ? ,即 ? = cos , . 定义 7 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方向,如果中指指向 z 轴 的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. 定义 8 向量 a 在坐标轴的投影 x,y,z 叫做向量 a 的坐标,记为 = ,, .
?
?

在空间直角坐标系中, 分别把 Ox、 Oy、 Oz 三轴上的单位向量成为坐标向量, 记作 i 、j 、 向量 ? ? ( x, y , z ) k, 与坐标向量 i 、 j 、 k 间的夹角的余弦称为向量的方向余弦,对于方向余弦有:
?
?

?

?

?

cos? ?

x

?
cos ? ?

?

?

x x2 ? y2 ? z2 y x ? y2 ? z2
2

?
cos ? ? z

?

?

?

?

x2 ? y2 ? z 2

cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1

两个向量相等就是它们的对应坐标相等.分别与 x 轴、y 轴、z 轴同向的单位向量 i,j,k 叫做单位正交 基底(常常表示为 ,, ) ,向量 i,j,k 又都叫坐标向量.有: = 1,0,0 , = 0,1,0 , = 0,0,1 . 当 = ,, 时, = + + . 向量的直角坐标运算 设 = 1 ,2 ,3 , = 1 ,2 ,3 ,则 (1) + = 1 + 1 ,2 + 2 ,3 + 3 ; (2) ? = 1 ? 1 ,2 ? 2 ,3 ? 3 ; (3) ? = 1 1 ,2 2 ,3 3 ;
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ww w

.q b

z

xt .

y

?

cn

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(4) ∥ ? 1 = 1 ,2 = 2 ,3 = 3 ,若1 2 3 ≠ 0时, ∥ ? (5)当 a,b 为两个非零向量时,a⊥b? ? = 0;

a1 1

=

2 2

=

3 3



(6)已知点 1 ,1 ,1 ,B 2 ,2 ,2 ,则 = ? = 2 ? 1 ,2 ? 1 ,2 ? 1 ; (7)设1 1 ,1 ,1 ,P2 2 ,2 ,2 是不同的两点,若1 = 2 ∈ 且 λ ≠ ?1 ,则 P 点的坐标为
1 + 2 1+



1 +2 1+



1 +2 1+

,其中,称 P 点是分有向线段1 2 为此值 的点;
?

(8)如果向量 = 1 ,2 ,3 , 1 ,2 ,3 ,那么cos , = (9) 已知点 1 ,1 ,1 , 2 ,2 ,2 , 则 = ? =

=

1 1 + 2 2 + 3 3
2 + 2 + 2 1 2 3 2 + 2 + 2 1 2 3



2 ? 1

2

+ 2 ? 1

2

+ 2 ? 1 2 .

定义 9 向量的外积,又称为叉积、矢性积,向量的外积还是一个向量.给定向量 a 及 b,外积 a× b 用 sin ? 来定义,其中 是两向量的夹角,k 是一个垂直于 a 与 b 所确定的平面的单位向量,a,b 与 k 哪图所示成右手直角坐标系,且 = 1.

设 = , = , 则 由 和 组 成 的 平 行 四 边 形 的 面 积 为 = × = ? ,即 = 公式 2 点到平面的距离公式 已知平面 和平面外一点 P, 在平面 上任取一点 A, 过 A 作与平面 垂直的向量 n,称 n 为平面的法向量,如图 设 = ,则 =
? ×




16 / 25

ww w

关于外积的运算性质,有 × = ? × , × = 0, × + = × + × , × × = ? ? ? , × × = ? ? ? . 矢性积的因子次序不能变动,且乘法次序也不能变动. × 在几何上代表由 a 与 b 为邻边的平行四边形的面积,所以利用向量积来解决有关面积的问题是 一种很有效的方法. 下面由向量的各种运算推导一些公式. 公式 1 点到直线的距离公式 如图,已知直线 l 与直线外一点 P,在直线 l 上任取两点 A,B,

.q b

xt .

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若取 n 为单位法向量,则 = ? . 当和 n 在平面的同侧时,可把右边的绝对值号去掉. 公式 3 直线与平面的夹角公式 已知一平面 和与它不平行的直线 l 交于 A 点, 在 l 上任取一向量, 平面 的法向量为 n, 则cosθ = 设直线 l 与平面 的夹角为 ,如图,则 当cos > 0 时, = ? arccos
2 ? ?





当cos < 0 时, = arccos

?

? .
2

公式 4 两个平面的夹角公式 如图,已知两个平面1 和2 ,其法向量分别为 和 ,则1 和 间 的夹角的余弦为 ? arccos
? 1 2 ? 2

, 于 是 两 个 平 面 的 夹 角 为 arccos

?





公式 5 两条异面直线之间的距离公式 如图, 已知两直线1 ,2 , 在1 上任取两点 P, Q, 在2 上任取两点 M, N, 设,,分别为,,, 则由,,组成的平行六面体的体积 V = ,, = × . 所以 =
,, ×



【证明】设 OA ? a, OB ? b, OC ? c , 则 OD ?

????

??? ? 1? 1 1 1 ? 1 OE ? ?a ? c ? (a ? b) ? ? c ? a ? b. 3? 2 2 6 ? 3
又 CD ?

??? ?

1 (a ? b) ? c , 2

所以 OE ? CD ? ?

??? ? ??? ?

1 1 ? ?1 1 ?1 ? a ? c ? b??? a ? b ? c ? 3 6 ? ?2 2 ?2 ?

?

1 2 1 2 1 2 1 1 a ? b ? c ? a ?b ? a ?c 4 12 3 3 3 1 2 2 2 ? a· (b-c). (因为|a| =|b| =|c| ) 3

又因为 AB=AC,OB=OC,所以 OA 为 BC 的中垂线. 所以 a· (b-c)=0. 所以 OE ? CD.
17 / 25

ww w

.q b

1 (a ? b ) , 2

xt .

??? ?

??? ?

????

cn

典型例题: 例 1:已知△ABC 内接于⊙O,AB=AC,D 为 AB 中点,E 为△ACD 重心. 求证:OE ? CD

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例 2:四面体 C ? ABD 中,平面 ABC 垂直平面 ABD , AB ? AC ? AD, ?BAC ? ?BAD ? 120 ,求二
?

面角 C ? AD ? B 的正切值. 【解】以 A 为原点,以 AB 为 OY 坐标轴,以 AB 为单位长度,建立直角坐标系,则
? ? ? ? ? 1 3 3 3 3 1 3 3 CA ? (0,? , ) AD ? ( ,? ,0) CD ? ( ,0,? ) BA ? (0,?1,0) , BD ? ( ,? ,0) 2 2 , 2 2 2 2 , 2 2 ,

设平面 ABC 的法向量为 m ,平面 ABD 的法向量为 n ,由两向量垂直内积为零得

?

?

?? ? ?m? CA ? 0 ?? ? ? ?m? AD ? 0

所以 m ? (

?

3 3 ,1, ) 3 3

?? ? ? n? BA ? 0 ?? ? ? ? n? BD ? 0
? ?

所以 n ? (0,0,1)

?

向量 m, n 的夹角为 ? , ? 的补角 ? 是所求二面角 C ? AD ? B 的平面角

cos? ? ? cos? ?

m? n
?

? ? ?

??

m?n
? tan ? ? ? 1 2

5 5

知识点:

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.

1、外心:三角形中垂线的交点,三角形外接圆的圆心,简称外心. (1)外心坐标公式:设 O 为△ABC 的外心,则

(2)外心到三角形各顶点距离相等; (3)设 O 为△ABC 的外心,则 ?BOC ? 2?A 或 ?BOC ? 360 ? ? 2?A ; (4) R ?

abc ; 4S?

(5)锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和. (6)角平分线定理:三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.如△ABC 中,AD 平分∠BAC,则 BD ? AB ; (外角平分线定理) .
DC AC

角平分线长: ta

?

2 2bc A bcp ( p ? a ) ? cos (其中 p 为周长一半) . b?c b?c 2
18 / 25

ww w

? x sin 2 A ? xB sin 2 B ? xC sin 2C y A sin 2 A ? yB sin 2 B ? yC sin 2C ? O? A , ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2C sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2C ? ?

.q b

xt .

四、三角形的心

cn

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2、重心:三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心. (1)设 G 为△ABC 的重心,连结 AG 并延长交 BC 于 D,则 D 为 BC 的中点,且 AG : GD ? 2 :1 ; (2)重心坐标公式:设 G 为△ABC 的重心,则 G ( (3)设 G 为△ABC 的重心,则 S ?ABG ? S ?BCG

x A ? xB ? xC y A ? yB ? yC , ) 3 3 1 ? S ?ACG ? S ?ABC ; 3

(4)设 G 为△ABC 的重心,过 G 作 DE∥BC 交 AB 于 D,交 AC 于 E,过 G 作 PF∥AC 交 AB 于 P,交 BC 于 F,过 G 作 HK∥AB 交 AC 于 K,交 BC 于 H,则

DE FP KH 2 DE FP KH ? ? ? ; ? ? ?2; BC CA AB 3 BC CA AB (5)设 G 为△ABC 的重心,则 ① BC 2 ? 3GA2 ? CA2 ? 3GB 2 ? AB 2 ? 3GC 2 ; 1 ② GA 2 ? GB 2 ? GC 2 ? ( AB 2 ? BC 2 ? CA 2 ) ; 3 2 2 2 ③ PA ? PB ? PC ? GA2 ? GB 2 ? GC 2 ? 3PG 2 (P 为△ABC 内任意一点) ; 2 2 2 ④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心,即 GA ? GB ? GC 最小; ⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心; 反之亦然 (即满足上述条件之一, 则 G 为△ABC 的重心) . (6)中线定理(巴布斯定理) :设△ABC 的边 BC 的中点为 P,则有 AB 2 ? AC 2 ? 2( AP 2 ? BP 2 ) ;
中线长: ma ?

2b 2 ? 2c 2 ? a 2 . 2

3、垂心:三角形三条高的交战,称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形,给 我们解题提供了极大的便利.

高线长: ha

?

2 a

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ?

4、内心:三角形角平分线的交点,三角形内切圆的圆心,简称为内心. (1)内心坐标公式:若 I 为△ABC 的内心,则有 I (

(2)设 I 为△ABC 的内心,则 I 到△ABC 三边的距离相等,反之亦然; (3)设 I 为△ABC 的内心,则

?BIC ? 90? ?

1 1 1 ?A, ?AIC ? 90? ? ?B, ?AIB ? 90? ? ?C ; 2 2 2
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ww w

(2)三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的 2 倍; (3)垂心 H 关于△ABC 的三边的对称点,均在△ABC 的外接圆上; (4)△ABC 的垂心为 H,则△ABC,△ABH,△BCH,△ACH 的外接圆是等圆; (5)设 O,H 分别为△ABC 的外心和垂心,则 ?BAO ? ?HAC , ?CBO ? ?ABH , ?BCO ? ?HCA . (6)由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形,给我们解题提供了极大的便利. (7)垂线定理: AB ? CD ? AC 2 ? AD 2 ? BC 2 ? BD 2 .

axA ? bxB ? cxC ay A ? byB ? cyC , ); a?b?c a?b?c

.q b

bc sin A ? c sin B ? b sin C . a

xt .

b c a b c ? a ? ? cos A xA ? cos B xB ? cos C xC cos A y A ? cos B yB ? cos C yC ? H? , ? a b c a b c ? ? ? ? ? ? cos A cos B cos C cos A cos B cos C ? ?

cn

(1)垂心坐标公式:设 H 为△ABC 的垂心,则有

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(4)三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等;反之,若 ?A 平分线 交△ABC 外接圆于点 K,I 为线段 AK 上的点且满足 KI=KB,则 I 为△ABC 的内心; (5)设 I 为△ABC 的内心, BC ? a, AC ? b, AB ? c, ?A 平分线交 BC 于 D,交△ABC 外接圆于点 K,则 AI AK IK b ? c ; ? ? ? ID KI KD a (6) 设 I 为△ABC 的内心,BC ? a, AC ? b, AB ? c, I 在 BC , AC , AB 上的射影分别为 D , E , F , 内切圆半径为 r , 令 p ? (a ? b ? c) ,则

1 2 ① S ?ABC ? pr ; ② AE ? AF ? p ? a; BD ? BF ? p ? b; CE ? CD ? p ? c ; ③ abcr ? p ? AI ? BI ? CI .

★5、旁心:三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点,是旁切圆的圆心,称为旁心. 旁心常常与内心联系在一起,旁心还与三角形的半周长关系密切. 设△ABC 的三边 BC ? a, AC ? b, AB ? c, 令 p ? 为 I A, I B , I C ,其半径分别记为 r A , rB , rC . (1) ?BI A C ? 90 ? ? (2) ?I AI B I C ?

1 (a ? b ? c) ,分别与 BC , AC , AB 外侧相切的旁切圆圆心记 2

1 1 ?A, ?BI B C ? ?BI C C ? ?A, (对于顶角 B,C 也有类似的式子) ; 2 2

1 (?A ? ?C ) ; 2

(3)设 AI A 的连线交△ABC 的外接圆于 D,则 DI A ? DB ? DC (对于 BI B , CI C 有同样的结论) ; (4)△ABC 是△IAIBIC 的垂足三角形,且△IAIBIC 的外接圆半径 R' 等于△ABC 的直径为 2R. 6、众心共圆 这有两种情况: (1)同一点却是不同三角形的不同的心; (2)同一图形出现了同一三角形的几个心. 典型例题: 例 1:设在圆内接凸六边形 ABCDFE 中,AB=BC,CD=DE,EF=FA.试证: (1)AD,BE,CF 三条对角线交于一点; (2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF. (1991,国家教委数学试验班招生试题) 【分析】连接 AC,CE,EA,由已知可证 AD,CF,EB 是△ACE 的三条内角平分线,I 为△ACE 的内心.从 而有 ID=CD=DE, IF=EF=FA, IB=AB=BC. .. 再由△BDF,易证 BP,DQ,FS 是它的三条高,I 是它的垂心,利用 Erdos 不等式有: BI+DI+FI≥2· (IP+IQ+IS). A 不难证明 IE=2IP,IA=2IQ,IC=2IS. F ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC. B Q ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA I P E =2(BI+DI+FI) S ≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI) C =AD+BE+CF. D I 就是一点两心. 例 2:△ABC 的外心为 O,AB=AC,D 是 AB 中点,E 是△ACD 的重心.证明 OE 丄 CD.

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xt .

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(加拿大数学奥林匹克训练题) 【分析】设 AM 为高亦为中线,取 AC 中点 F,E 必在 DF 上且 DE:EF=2:1.设 CD 交 AM 于 G,G 必为△ABC 重心. 连 GE,MF,MF 交 DC 于 K.易证: DG:GK=

1 1 1 DC:( ? )DC=2:1. 3 2 3
D

A E G

∴DG:GK=DE:EF ? GE∥MF.

F

O K ∵OD 丄 AB,MF∥AB, B C ∴OD 丄 MF ? OD 丄 GE.但 OG 丄 DE ? G 又是△ODE 之垂心. 易证 OE 丄 CD. 例 3: △ABC 中∠C=30°, O 是外心, I 是内心, 边 AC 上的 D 点与边 BC 上的 E 点使得 AD=BE=AB.求证: OI 丄 DE,OI=DE. (1988,中国数学奥林匹克集训题) 【分析】辅助线如图所示,作∠DAO 平分线交 BC 于 K. 易证△AID≌△AIB≌△EIB, ∠AID=∠AIB=∠EIB. D 利用内心张角公式,有 A C 30 °

∠AIB=90°+

1 ∠C=105°, 2

I B

F

O E

K

∴∠DIE=360°-105°×3=45°. ∵∠AKB=30°+

∴AK∥IE. 由等腰△AOD 可知 DO 丄 AK, ∴DO 丄 IE,即 DF 是△DIE 的一条高. 同理 EO 是△DIE 之垂心,OI 丄 DE. 由∠DIE=∠IDO,易知 OI=DE. 例 4:锐角△ABC 中,O,G,H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为 d 外,重心到三边距 离和为 d 重,垂心到三边距离和为 d 垂. A 求证:1·d 垂+2·d 外=3·d 重. 【分析】这里用三角法.设△ABC 外接圆 H3 G3 O2 半径为 1,三个内角记为 A,B, O3 G2 C. 易知 d 外=OO1+OO2+OO3 H2 O G I =cosA+cosB+cosC, B C O1 G 1 H 1 ∴2d 外=2(cosA+cosB+cosC). ① ∵AH1=sinB· AB=sinB· (2sinC)=2sinB· sinC,

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.q b

1 ∠DAO 2 1 =30°+ (∠BAC-∠BAO) 2 1 =30°+ (∠BAC-60°) 2 1 = ∠BAC=∠BAI=∠BEI. 2

xt .

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同样可得 BH2· CH3. ∴3d 重=△ABC 三条高的和 =2· (sinB· sinC+sinC· sinA+sinA· sinB) ∴



BH =2, sin ?BCH

∴HH1=cosC· BH=2· cosB· cosC. 同样可得 HH2,HH3. ∴d 垂=HH1+HH2+HH3 =2(cosB· cosC+cosC· cosA+cosA· cosB) ③ 欲证结论,观察①、②、③, 须证(cosB· cosC+cosC· cosA+cosA· cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB· sinC+sinC· sinA+sinA· sinB.即 可. 模拟真题: 题 1:在△ABC 中,O 为外心,I 为内心,AB<AC,AB<BC,D 和 E 分别是边 AC、BC 上的点,且满足 AD=AB=BE,求证:IO⊥DE.
2 2 2 2 【分析一】连结 OD、OE、ID 和 IE,要证 IO ? DE ,只需证 ID ? IE ? OD ? OE .

【证明一】设 BC=a,CA=b,AB=c,△ABC 的外接圆半径为 R,则 CD=b-c,CE=a-c. 在△OAC 和△OBC 中,由斯德瓦特定量,得

OD 2 ? R 2 ? c(b ? c) , OE 2 ? R 2 ? c(a ? c)
∴ OD ? OE ? c(a ? b)
2 2

A H B I O E D C

BH ?
2

∴ ID ? IE ? BI ? AI ? BH ? AH ? [ (c ? a ? b)] ? [ (b ? c ? a )]
2 2 2 2 2 2

?

1 ? 2c ? 2( a ? b ) ? c ( a ? b ) 4

评述:在任意四边形 ABCD 中,若对边平方和相等,则对角线互相垂直.此题正是应用这个结论而得证 的,IDOE 构成一个凹四边形,对角线为 IO 和 DE. 【分析二】由于 AB=AD 可得 AI⊥BD,延长 AI 交外接圆于 M,连结 OM,则 OM⊥BC,故可发现△IOM 和 △DEB 的对应边互相垂直.故只需证这两个三角形相似即可. A 【证明二】连结 AI 并延长交△ABC 的外接圆于点 M,连结 OM、BD. 则有 OM⊥BC,IM⊥BD I O D ∴∠AMO=∠DBC 要证△ MIO ∽△ BDE ,则需证

MI BD ? MO BE

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2 2 2 2 于是得 ID ? IE ? OD ? OE ,故 IO ? DE

.q b

1 2

xt .
1 2

1 1 ( a ? c ? b) , AH ? (b ? c ? a ) 2 2

cn
2

连结 AI 和 BI,则△ADI≌△ABI≌△EBI ∴ID=BI,IE=AI 作 IH⊥AB 于 H,则由内心的性质,知

B M
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E

C

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又由内心的性质得 MI ? MB ,故只需证 故只需证△ BAD ∽△ MOB .

MB BD ? MO BA

OB AD ? ? 1 , ?BAD ? ?BOM ,故△ BAD ∽△ MOB 得证. MO BA ∴△ MIO ∽△ BDE ∴ IO ? DE
因为 【评述】如果两相似三角形有两组对边互相垂直,则第三组对边也垂直.当两线段无公共点时,我们常 用此法来证两线段垂直. 题 2:如图,△ABC 中,O 为外心,三条高 AD、BE、CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交于点 M,FD 和 AC 交于点 N,求证: (1)OB⊥DF,OC⊥DE; (2)OH⊥MN (2001 年全国高中数学联赛加试题一) A 【证明】 (1)∵A、C、D、F 四点共圆, ∴ ?BDF ? ?BAC , 又∵ ?OBC ?

1 (180? ? ?BOC ) ? 90? ? ?BAC , 2
M

O F H B D

E C N

∴ OB ? DF 同理 OC ? DE (2)思路分析:要证 OH⊥MN,只须证明 MH ? NH
2 2

? MO 2 ? NO 2

(*)

而要证(*)式只须用题设条件中的垂直和证(1)中的垂直,可得到类似的等式,将这些等式组合即 可得(*).
2 2 2 2 【证法一】∵ CF ? MA ,∴ MC ? MH ? AC ? AH 2 2 2 2 ∵ BE ? NA ,∴ NB ? NH ? AB ? AH 2 2 2 2 ∵ DA ? BC ,∴ BD ? CD ? BA ? AC 2 2 2 2 ∵ OB ? DF ,∴ BN ? BD ? ON ? OD 2 2 2 2 ∵ OC ? DE ,∴ CM ? CD ? OM ? OD



② ③ ④ ⑤

NH 2 ? MH 2 ? ON 2 ? OM 2

∴ OH ? MN 【分析二】要证 OH ? MN ,又有 BH ? AN , OB ? FN ,故可作 AG // MN ,交 NF 延长线于点 G . 故只需证 A △ BOH ∽△ NGA 即可. 【证法二】过点 A 作 AG∥MN,交 NF 延长线于点 G. ∵ ?FDB ? ?BAE ? ?EDC ? ?BDM ∴ BD 为 ?MDF 的内角平分线 ∴
G O F H E B C D N

FA FD BF AE AF ? BF ? ? ? ? , MA DM MB MA AB
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①-②+③+④-⑤,得

.q b
M

xt .

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AB ? AF 2 AF ? BF , MF ? MA ? AF ? AF ? BF AF ? BF MF 2 BF FN ? ? ∴ (∵ AG // MN ) MA AB NG ∵ ?DFC ? ?DAE ∴△ FNC ∽△ AND AD AN ? 有 FC FN AN 2 BF ? AD ? ? 2 sin B ? cot B ? 2 cos B 于是 NG AB ? FC BH BC BC ? ? ? 2 BD , 而 sin ?BCF sin ?BHC sin ?BAC BH BH AN ? 2 sin ?BCF ? 2 cos B ,从而 ? 则 BO BO NG
∴ MA ? 又 ?OBH ? ?ABC ? ?ABO ? ?CBE ? ?ABC ? (

?
2

? ?ACB ) ? (

?
2

? ?ACB )

? ?ACB ? ?BAC 则 ?ANG ? ?ACB ? ?NDC ? ?ACB ? ?BAC ? ?OBH 故△ BOH ∽△ NGA
∵ OB ? FN , BH ? AN ,∴ OH ? AG ,则 OH ? MN 题 3:在直角三角形中,求证:r+ra+rb+rc=2p. 式中 r,ra,rb,rc 分别表示内切圆半径及与 a,b,c 相切的旁切圆半径, p 表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》 ) 【证明】设 Rt△ABC 中,c 为斜边,先来证明一个特性: p(p-c)=(p-a) (p-b).

∴p(p-c)=(p-a) (p-b). 观察图形,可得 ra=AF-AC=p-b, rb=BG-BC=p-a, rc=CK=p. 而 r=

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1 1 ∵p(p-c)= (a+b+c)· (a+b-c) 2 2 1 = [(a+b)2-c2] 4 1 = ab; 2 1 1 (p-a) (p-b)= (-a+b+c)· (a-b+c) 2 2 1 1 = [c2-(a-b)2]= ab. 4 2

xt .
O3 O

rc

.q b

B O1

1 (a+b-c) 2

=p-c.

cn
K A O2

rb

r E

ra

C

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∴r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p. 由①及图形易证. 题 4:M 是△ABC 边 AB 上的任意一点.r1,r2,r 分别是△AMC,△BMC,△ABC 内切圆的半径,q1,q2,q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明: (IMO-12) 【分析】对任意△A′B′C′,由正弦定理可知 OD=OA′· sin

r1 r r · 2 = . q1 q 2 q

A' 2

亦即有

r1 r A ?CMA ?CNB B tg tg · 2 = tg tg 2 2 2 2 q1 q 2
= tg

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.q b

A B r tg = . 2 2 q

xt .

cn

B' A' 2 =A′B′· · sin 2 sin ?A' O' B' A' B' sin ? sin 2 2 , =A′B′· A'? B' sin 2 A' B' cos cos 2 2 . O′E= A′B′· A'? B' sin 2 OD A' B ' ? tg tg . ∴ O'E 2 2 sin

C' O A'
..

E O'

D

. B '


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