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广西贵港市2015-2016学年高二数学3月月考试题 文


2016 年春季期高二年级月考(一)数学(文科)试卷
(完卷时间 120 分钟;满分 150 分) 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给的四个答案中有且只有 一个答案是正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上. )
2 1.设集合 M ? x x ? 3x ? 2 ? 0 ,集合 N ?

? x ( ) x ? 4? ,则 M ? N =(

?

?

? ?

A. x x ? ?2

?

?

B. x x ? ?1

?

?

? C. ? x x ? ?2?
C. 5

1 2

?



D. R ) . D. 3 )

2. 已知复数 z 满足 zi ? 2i ? x ( x ? R ) ,若 z 的虚部为 2,则 z ? ( A. 2 B. 2 2
x

3.已知命题 p : “ ?x ? R, e ? x ?1 ? 0 ” ,则 ?p 为 ( A. ?x ? R, ex ? x ?1 ? 0 C. ?x ? R, e x ? x ? 1 ? 0 4.若 2 cos 2? ? sin( A. ?
x

B. ?x ? R, e ? x ?1 ? 0 D. ?x ? R, e x ? x ? 1 ? 0

?
4

? ? ) ,且 ? ? ( , ? ) ,则 sin 2? 的值为(
2

?



7 15 15 B. ? C. 1 D. 8 8 8 5.已知① x ? x ? 1 ,② x ? x ? 2 ,③ x ? x ? 3 , ④ x ? x ? 4 在如右图所 示的程序框图中,如果输入 x ? 10 ,而输出 y ? 4 ,则在空白处可填入
( ) . A.①②③ B.②③ C.③④ D.②③④ 6.已知数列 {an } 是等差数列,且 a7 ? 2a4 ? 6, a3 ? 2 ,则公差 d ? A. 2 2 B.4 C.8 D.16 7.在 2015 年全国青运会火炬传递活动中,有编号为 1,2,3,4,5 的 5 名火炬手.若从中任选 2 人, 则选出的火炬手的编号相连的概率为 ( ) A.

3 10

B.

5 8

C.

7 10

D.

2 5 3 2
2 2

8.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积是( ) A. 1 ? 2 B. 2 C.

1

2? 2 2

D.

1
正视图

1
侧视图

9.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+4y-5=0 与圆 x +y =4 相交于 A ,B 两点,则弦 AB 的长等于 A. 3 3 B. 2 3 C. 3 D.1
俯视图

? 2 ,x ? 2 ? 10 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? x ,若关于 x 的方程 3 ? ?( x ? 1) , x ? 2
f ( x) ? k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是( A. (?1,1) B. (0,1) C. (0,1]
).

D. (?1, 0)

1

11.已知双曲线

x2 y 2 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y ? 8 x 有一个公共的焦点 F ,且两曲线的一个交 a 2 b2

点为 P ,若 PF ? 5 ,则双曲线的离心率为() A. 5 B. 3 C.3 D.2

, ) 的 可 导 函 数 , 且 f ( x) ? xf '( x) 恒 成 立 , 则 不 等 式 12 . 已 知 f ( x) 为 定 义 在 ( 0 ?? 上
1 x 2 f ( ) ? f ( x ) ? 0 的解集为( x
A. (0,1) B. (1,2) ) . C. (1, ??) D. (2, ??)

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置上. ) 13. 已知向量 a ? ( x ? 5, 3), b ? (2, x), 且a ? b , 则 x ?

?

?

?

?

?x ? y ? 2 ? 1 14.已知实数 x, y 满足 ? x ? ,且数列 4 x, z, 2 y 为等差数列,则实数 z 的最大值是 2 ? ? y?x S S 15.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? ?2013,其前 n 项和为 Sn ,若 12 ? 10 ? 2 ,则 S 2013的值等 于 12 10
16.以下命题正确的是: ①把函数 y ? 3sin(2 x ? .

? ) 的图象向右平移 个单位,可得到 y ? 3sin 2 x 的图象; 6 3 ②四边形 ABCD 为长方形, AB ? 2, BC ? 1, O 为 AB 中点,在长方形 ABCD 内随机取一点 P ,取得 ? 的 P 点到 O 的距离大于 1 的概率为 1 ? ; 2
③为了了解 800 名学生对学校某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为 40 的样本,考虑用系 统抽样,则分段的间隔为 40; ④ 已 知 回 归 直 线 的 斜 率 的 估 计 值 为 1.23 , 样 本 点 的 中 心 为 ( 4 , 5 ) ,则回归直线方程为 ? ? 1.23x ? 0.08 . y

?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,满足 (2b ? c) cos A ? a cos C . (1)求角 A 的大小 (2)若 a ?3 ,求 ?ABC 的周长最大值.

2

18.(本小题满分 12 分)长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康,某校为了解 A 、B 两班学 生手机上网的时长,分别从这两个班中随机抽取 5 名同学进行调查,将他们平均每周手机上网的时 长作为样本,绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字) . (1)分别求出图中所给两组样本数据的平均值,并据此估计,哪个班的学生平均上网时间较长; (2)从 A 班的样本数据中随机抽取一个不超过 19 的数据记为 a ,从 B 班的样本数据中随机抽取一个 不超过 21 的数据记为 b ,求 a ? b 的概率.

19.(本小题满分 12 分)如图,平行四边形 ABCD 中, CD ? 1 , ?BCD ? 60 , BD ? CD ,正方 形 ADEF ,且面 ADEF ? 面 ABCD .
O

(1)求证: BD ? 平面 ECD . (2)求 D 点到面 CEB 的距离.

F

E

A B

D C

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 分别为椭圆的左右焦点. (1)求椭圆 C 的方程;

1 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 (0, 3 ) ,离心率为 ,且 F1 、 F2 2 2 a b

(2)过点 M (?4,0) 作斜率为 k (k ? 0) 的直线 l ,交椭圆 C 于 B 、 D 两点, N 为 BD 中点,请说明 存在实数 k ,使得以 F (不要求求出实数 k ) . 1 F2 为直径的圆经过 N 点,

21.(本 小题满分 12 分)已知 a∈R,函数 f(x)=2x -3(a+1)x +6ax (1)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)若|a|>1,求 f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值. 本题有(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时,先用 2B
3

3

2

铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明讲 如图,已知 AB 为圆 O 的一条直径,以端点 B 为圆心的圆交直线 AB 于 CD 两点,交圆 O 于 E , F 两 点,过点 D 作垂直于 AD 的直线,交直线 AF 于 H 点. (1)求证: B, D, H , F 四点共圆; (2)若 AC ? 2, AF ? 2 2 ,求 ?BDF 外接圆的半径.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为: ? 2 ? 4? (cos? ? sin ? ) ? 6 .若以极点 O 为原点,极轴 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系. (1)求圆 C 的参数方程; (2)在直角坐标系中,点 P( x, y ) 是圆 C 上动点,试求 x ? y 的最大值,并求出此时点 P 的直 角坐标.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 m, n 都是实数, m ? 0 , f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 . (1)若 f ( x) ? 2 ,求实数 x 的取值范围; (2)若

m ? n ? m ? n ? m f ( x) 对满足条件的所有 m, n 都成立,求实数 x 的取值范围.

2016 年春季期高二年级月考(一)数学(文科)答案 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)
4

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给的四个答案中有且只有 一个答案是正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1. D 2. B 3. C 4. A 5. D 6. B 7.D 8.A 9.B 10. B 11. D 12.C 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置上. ) 13. 2 14.3 15. ? 2013 16. ①④ . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) (1)解:由 (2b ? c) cos A ? a cos C 及正弦定理,得 (2 sin B ? sin C ) cos A ? sin A cosC ?? 3 分 ? 2 sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cosC , ? 2 sin B cos A ? sin(C ? A) ? sin B ,

? A, B ? ( 0 , ? ) ,? sin B ? 0 ,? cos A ?
(2)解:由(I)得? A ?

1 ? , A ? ???6 分 2 3

?
3

,由正弦定理得

b c a 3 ? ? ? ?2 3 sin B sin C sin A 3 2

所以 b ? 2 3sin B; c ? 2 3sin C , ?ABC 的周长 l ? 3 ? 2 3 sinB? 2 3 sin(B?

?
3

) ??9 分

? 3 ? 2 3 sinB? 2 3(sinBcos

?

当B ?

?
3

? 2? ? 3 ? 6sin(B? ) ? B ? (0, ) 6 3

? cosBsin ) ? 3 ? 3 3 sinB? 3cosB 3 3

?

时, ?ABC 的周长取得最大值为 9.???12 分

18.(本小题满分 12 分) 解: (1)A 班样本数据的平均值为 (9 ? 11 ? 14 ? 20 ? 31) ? 17 ??????3 分 由此估计 A 班学生每周平均上网时间 17 小时;B 班样本数据的平均值为

1 5

1 (11 ? 12 ? 21 ? 25 ? 26) ? 19 由此估计 B 班学生每周平均上网时间较长. ??6 分 5
(2)A 班的样本数据中不超过 19 的数据 a 有 3 个,分别为:9,11,14, B 班的样本数据中不超过 21 的数据 b 也有 3 个,分 别为:11,12,21, 从 A 班和 B 班的样本数据中各随机抽取一个共有:9 种不同情况, 分别为: (9,11) , (9,12) , (9,21) , (11,11) , (11,12) , (11,21) , (14,11) , (14,12 ) , (14, 21) ,?????9 分 其中 a ? b 的情况有(14,11) , (14,12)两种,故 a ? b 的概率 p ?

2 .??2 分 9

19.(本小题满分 12 分) (1)证明:∵四边形 ADEF 为正方形 ∴ ED ? AD ,又∵平面 ADEF ?
5

平面 ABCD ,平面 ADEF ? 平面 ABCD = AD ,∴ ED ? 平面 ABCD ??3 分∴ ED ? BD 又∵ BD ? CD , ED ? CD ? D ∴ BD ? 平面 ECD ??6 分 (2)解: CD ? 1 , ?BCD ? 60 , BD ? CD , 又∵ 正方形 ADEF
O

∴ CB ? 2 ,CE ? 5 ,BE ? ∴ S?CEB ?

7 ∴ cos ?BCE ?

4?5?7 5 ? 2 ? 2 ? 5 10

F

E

1 95 19 ??8 分 ? 2? 5 ? ? 2 10 2 A 1 3 B Rt? BCD 的面积等于 S?BCD ? ?1? 3 ? ??9 分 2 2 由得(I) ED ? 平面 ABCD ∴点 E 到平面 BCD 的距离为 ED ? 2 ??10 分 1 1 3 1 19 2 57 ? ? ? h [∴ h ? ∴ VD ?CEB ? VE ?CDB ? . .1. 3.2 ? 3 2 19 3 2 3 2 57 即点 D 到平面 CEB 的距离为 . ????12 分 19
20.(本小题满分 12 分) 解: (1)∵椭圆经过点 (0, 3 ) ,离心率为

D C

1 , 2

?c 1 ?a ? 2 ? x2 y2 ? ? ? 1 .??4 分 ∴ ?b ? 3 ,解得 a ? 2, c ? 1, b ? 3 .∴椭圆 C 的方程为 4 3 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?
(2)证明:设 B( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,线段 BD 的中点 N ( x0 , y0 ) .由题意可得直线 l 的方程为:

? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 2 y ? k ( x ? 4) ,且 k ? 0 .联立 ? 4 ,化为 3x ? 4k ( x ? 4) ? 12 ????6 分 3 ? y ? k ( x ? 4) ?

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ?12 ? 0 ,由 ? ? (32k 2 )2 ? 4(3 ? 4k 2 )(64k 2 ?12) ? 0 ,可得 k 2 ?
且 k ? 0 .∴ x1 ? x2 ? ? ∴ xo ?

1 , 4

32k 2 64k 2 ? 12 x . x ? .????8 分 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

12 k x1 ? x2 16k 2 ?? , y0 ? k ( xo ? 4) ? 2 3 ? 4k 2 2 3 ? 4k

F N ? F2 N ,则 kF1N .kF2 N ? ?1, 假设存在实数 k ,使得 F 1 F2 为直径的圆过 N 点,即 1

6

∵ k F1 N

12k 12k 2 2 y y 4k 12k 0 , k F2 N ? ? 0 ? 3 ? 42k ? ? 3 ? 42k ? 2 16k 16k x0 ? 1 1 ? 4k x0 ? 1 ?20k 2 ? 3 ? ?1 ? ?1 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2



4k 12k 4 2 2 2 ? ? ?1 ,化为 80k ? 40k ? 3 ? 0 ,设 t ? k ,则 80t ? 40t ? 3 ? 0 2 2 1 ? 4k ?20k ? 3

∴关于 t 的方程存在正解,这样实数 k 存在.即存在实数 k ,使以 F 1 F2 为直径的圆过 N 点.12 分 21.(本小题满分 12 分) 解 (1)当 a ? 1 时, f ?( x) ? 6x 2 ? 12x ? 6 ,所以 f ?(2) ? 6 .又因为 f(2)=4,所以切线方程 为 y ? 6 x ? 8 . ???4 分 (2)记 g (a ) 为 f(x)在闭区间 [ 0 , 2 | a | ] 上的最小值.

f ?( x) ? 6x 2 ? 6(a ? 1) x ? 6a ? 6( x ? 1)(x ? a) .令 f ?( x) ? 0 ,得到 x1 ? 1 , x2 ? a .
当 a ? 1 时,

2 比较 f (0) ? 0 和 f (a) ? a (3 ? a) 的大小可得 g (a) ? ?

? 0, 1 ? a ? 3 ?????8 分 2 ?a (3 ? a), a ? 3

当 a ? ?1 时

得 g (a) ? 3a ? 1 .综上所述,f(x)在闭区间 [ 0 , 2 | a | ] 上的最小值为

? 3a ? 1, a ? ?1 ? g (a ) ? ? 0, 1 ? a ? 3 ????12 分 ?a 2 (3 ? a ), a ? 3 ?
本题有(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明讲
7





:(1)

? AB





O











? BF ? FH , DH ? BD ,? B, D, H , F 四点共圆 ???4 分
解 : (2)

AH 与 圆 B 相 切 于 点 F , 由 切 割 线 定 理 得

AF 2 ? AC ? AD , 即 2 2 ? 2? AD , 解 得 AD ? 4 , 所 以

?

?

2

BD?

DH AD 1 ? ?1,又 ?AFB ~ ?ADH ,则 ,得 DH ? 2 ,7 分 ? A D? A C ? ?1, B F? B D BF AF 2

连接 BH ,由(1)知 BH 为 ?BDF 的外接圆直径, BH ? 故 ?BDF 的外接圆半径为

BD2 ? DH 2 ? 3 ,

3 .??????????10 分 2

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (1)因为 ? 2 ? 4? (cos? ? sin ? ) ? 6 ,所以 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 6 , 所以 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 , 所以所求的圆 C 的参数方程为 ? 即 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 为圆 C 的普通方程.????4 分 ( ? 为参数) .?????6 分

? ? x ? 2 ? 2 cos ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

(2)由(1)可得, x ? y ? 4 ? 2(sin ? ? cos ? ) ? 4 ? 2sin(? ? 当 ? ?

?
4

)

?7 分

?
4

时,即点 P 的直角坐标为 (3,3) 时, ?9 分

x ? y 取到最大值为 6.?10 分

(24) (本小题满分 10 分)选修 4- 5:不等式选讲

?3 ? 2 x, x ? 1 ?3 ? 2 x ? 2 ? x ? 2 1 5 ? 解:(1) f ( x) ? ?1,1 ? x ? 2 由 f ( x) ? 2 得 ? 或? ,解得 x ? 或 x ? . 2 2 ?x ? 1 ?2 x ? 3 ? 2 ?2 x ? 3, x ? 2 ?
故所求实数 x 的取值范围为 ( ?? , ) ? ( ,?? ) .??5 分 (2)由 m ? n ? m ? n ? m f ( x) 且 m ? 0 得

1 2

5 2

m?n ? m?n m

? f ( x) ,

又∵

m?n ? m?n m

?

m?n?m?n m

? 2 ,?? 7 分

∴ f ( x) ? 2 ,∵ f ( x) ? 2 的解集为

1 5 1 5 1 5 ( ?? , ) ? ( ,?? ) ,∴ f ( x) ? 2 的解集为 [ , ] ,∴所求实数 x 的取值范围为 [ , ] .??10 分 2 2 2 2 2 2

8


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