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2015年数学普通高等学校招生全国统一考试


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。 1、已知集合 P A. [0,1)

? {x x 2 ? 2 x ? 0}, Q ? {x 1 ? x ? 2} ,则 (?R P) ? Q ?
B.

/>




(0, 2]

C.

(1, 2)
32 3 cm 3

D.

[1, 2]


2、某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( A. 8cm
3

B.

12cm3

C.

D.

40 3 cm 3


3、已知 {an } 是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn ,若 a3 , a4 , a8 成等比数列,则( A. a1d C.

? 0, dS n ? 0

B. D. 且

a1d ? 0, dSn ? 0 a1d ? 0, dSn ? 0
f (n) ? n 的否定形式是(
B. D. )

a1d ? 0, dSn ? 0
*

4、命题“ ?n ? N A. C.

, f (n) ? N *

?n ? N * , f (n) ? N * 且 f (n) ? n

?n ? N * , f (n) ? N * 或 f (n) ? n

?n0 ? N * , f (n0 ) ? N * 且 f (n0 ) ? n0

?n0 ? N * , f (n0 ) ? N * 或 f (n0 ) ? n0

5、如图,设抛物线 抛物线上,点 C 在

y 2 ? 4x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A, B, C ,其中点 A, B 在
y 轴上,则 ?BCF 与 ?ACF 的面积之比是(


A.

BF ? 1 AF ? 1 BF ? 1 AF ? 1
D.

B.

BF ? 1 AF ? 1 BF ? 1 AF ? 1
2 2 2

2

C.

6.设 A, B 是有限集,定义 d ( A, B) ? card ( A ? B) ? card ( A ? B) ,其中 card ( A) 表示有限集 A 中 的元素个数, 命题①:对任意有限集 A, B , “ 命题②:对任意有限集

A ? B ”是“ d ( A, B) ? 0 ”的充分必要条件;

A, B, C , d ( A, C ) ? d ( A, B) ? d ( B, C ) ,
C. 命题①成立, 命题②不成立 D. 命题①不成立,

A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 命题②成立

7、存在函数 A.

f ( x) 满足,对任意 x ? R 都有(

) D.

f (sin 2 x) ? sin x B. f (sin 2x) ? x2 ? x C. f ( x2 ?1) ? x ?1
?ABC , D


f ( x2 ? 2x) ? x ?1

8、如图,已知

AB

的 中 点 , 沿 直 线 CD 将

?ACD 折 成 ?A? CD , 所 成 二 面 角

A? ? CD ? B 的平面角为 ? ,则( ) A. ?A?DB ? ? B. ?A?DB ? ? C. ?A?CB ? ? D. ?A?CB ? ?
二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。

x2 ? y 2 ? 1的焦距是 9、双曲线 2

,渐近线方程是



10、已知函数

2 ? ? x ? ? 1, x ? 1 ,则 f ( f (?3)) ? f ( x) ? ? 2 ?lg( x 2 ? 1), x ? 1 ?



f ( x) 的最小值是



11、函数

f ( x) ? sin 2 x ? sin x cos x ? 1的最小正周期是
a

,单调递减区间是



12、若 a ? log2 3 ,则 2 13、如图,三棱锥 是

? 2? a ?



A ? BCD 中, AB ? AC ? BD ? CD ? 3, AD ? BC ? 2 ,点 M , N 分别
. 的最小值是 .

AD, BC 的中点,则异面直线 AN , CM 所成的角的余弦值是
2

14、若实数 x, y 满足 x

? y 2 ? 1,则 2x ? y ? 2 ? 6 ? x ? 3y
? ? ?

15 、已知 e1 , e2 是空间单位向量, e1 ? e 2

? ? ? ? ? 1 5 ,若空间向量 b 满足 b ? e1 ? 2, b ? e 2 ? ,且对于任意 2 2 ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ???? ? x, y ? R , b ? ( xe1 ? ye2 ) ? b ? ( x0 e1 ? y0 e2 ) ? 1( x0 , y0? R) ,则 x0 ? , y0 ? ,

? ?

? b?



三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、 (本题满分 14 分) 在 ? ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A= (I) (II) 求 tanC 的值; 若 ? ABC 的面积为 7,求 b 的值。

? 2 2 1 c2 . ,b ? a = 2 4

17、 (本题满分 15 分) 如图,在三棱柱 ?? C - ?1?1C1 中, ? BAC= 90 ,AB=AC=2, A 1 A=4, A 1 在底面 ABC 的射影为 BC
o.

的中点,D 为 B1C1 的中点.

(I) (II)

? 平面 证明: A 1D

A1B C1



求二面角 A 1 -BD- B 1 的平面角的余弦值.

18、 (本题满分 15 分) 已知函数 f(x)= x +ax+b(a,b ? R),记 M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值。
2

(I) (II)

证明:当|a| ? 2 时,M(a,b) ? 2; 当 a,b 满足 M(a,b) ? 2,求|a|+|b|的最大值.

19、 (本题满分 15 分)

已知椭圆 (I) (II)

1 x2 ? y 2 ? 1上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 2 2

对称.

求实数 m 的取值范围; 求 ? AOB 面积的最大值(O 为坐标原点) .

20、 (本题满分 15 分) 已知数列

?an ? 满足 a1 = 2 且 an ?1 = an - an2 (n? N * )
an ? 2 (n ? N * ) ; an ?1
,证明

1

(I)

证明:1 ?

(II)

设数列

?a ? 的前 n 项和为 S
2 n

n

S 1 1 * ? n? (n ? N ). 2(n ? 2) n 2(n ? 1)


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