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浙江省名校新高考研究联盟2013届第一次联考


浙江省名校新高考研究联盟 2013 届第一次联考 第 I 卷(选择题
共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.设全集 U ? R,集合 A = {x x ? 1} , B ? {x x 2 ? 2x ? 3 ? 0} ,则 A I (CU B) ?

A. {x x ? ?1} B. {x x ? 1} C. {x ? 1 ? x ? 1} D. {x 1 ? x ? 3} ( ) ( )

2. ? 为锐角”是“ sin ? ? 0 ”成立的 “ A.充分不必要条件 C.充要条件 3.设复数 z ? A. B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
开始

1 , z 是 z 的共轭复数,则 z ? z ? 1? i
B. i C. ?1 D.1

(

)

S ?0

1? i 2

i?4
S ? S ? i(i ? 1)

?x ? y ? 0 ? 4.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 3x ? 2 y 的最大值是( ?3x ? y ? 4 ? 0 ?

)

i ? i ?1

A.0

B.2

C.5

D.6 ( D.20 ( ) )

i ?1 ? 是 输出 S
结束



5.阅读右面的程序框图,则输出的 S 等于 A.40 B.38 C.32

(第 5 题)

6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.6 B.

16 3

C.

14 3

D.4
2

1 1

7.非零向量 a , b 的夹角为 60 ? ,且 a ? 1 ,则 a ? b 的最小值为( A.

)

正视图
2

侧视图

1 4

B.

1 2

C.

3 2

D.1

8.函数 f (x) = sin(?x ? ? ) ( x ? R) (? ? 0, ? ? 如果 x1 , x2 ? (?

?
2

俯视图 (第 6 题)

) 的部分图像如图所示,
1

y

? ?

, ) ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x1 ? x 2 ) ? 6 3
3 C. 2

(

)
?

1 A. 2

2 B. 2

D.1

? ? O 3 6 (第 8 题)

x

浙江省名校新高考研究联盟 2012 届第一次联考 数学(文科)试题卷

第 1 页 共 8 页

9.已知 P 是椭圆

x2
2

a 则椭圆离心率为

?

y2 b
2

? 1(a ? b ? 0) 上的一动点,且 P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为 ?

(
2 2

1 , 2 )

A.

3 2

B.

C.

1 2

D.

3 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)
?2 x x?0 11.已知 f ( x) ? ? , ? f ( x ? 1) x ? 0
频率/组距 0.072

则 f (?1) =




0.036

12.已知直线 l : y ? 3x ? 2 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 相交于 A, B 两点,则 AB = ▲ .
0.012 0.008 0.004 0

13.某班 50 名学生在一次健康体检中,身高 全部介于 155 cm 与 185 cm 之间.其身高

155 160 165 170 175 180 185 身高(cm)

(第 13 题) ▲ 人.

频率分布直方图如图所示.则该班级中身高在 ?170,185? 之间的学生共有

14.两个袋中各装有编号为 1,2,3,4,5 的 5 个小球,分别从每个袋中摸出一个小球,所得两球 编号数之和小于 5 的概率为 ▲ . 15 . 已 知 等 比 数 列 ?a n ? 的 公比 为 2 , 前 n 项 和 为 S n . 记数 列 {bn } 的 前 n 项 和 为 T n , 且 满足
bn ?
2 S an ,则 n = Tn an ? an ?1





16.若不等式 a(2x 2 ? y 2 ) ? x 2 ? 2 xy 对任意非零实数 x, y 恒成立,则 实数 a 的最小值为 ▲ . 17.如图,将菱形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使得 C 点至 C? , E 点在线段 AC ? 上,若二面角 A ? BD ? E 与二面角
E ? BD ? C ? 的大小分别为 30°和 45°,则

C?
E D A

AE = EC ?

C
▲ .

(第 17 题) B

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.在 ?ABC 中,角 A, B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知 cos B ? ? (Ⅰ)若 a ? 2, b ? 2 3 .求 ?ABC 的面积; (Ⅱ)求 sin A ? sin C 的取值范围.

1 . 2

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第 2 页 共 8 页

19.如图,平面 PAC ? 平面 ABC , ?PAC 是正三角形, ?CAB ? 90? , AB ? 2 AC . (Ⅰ)求证: AB ? PC ; (Ⅱ)求直线 BC 与平面 PAB 所成角的正弦值.

P

A

C

B
(第 19 题)

20.已知等差数列 {a n } 的公差不为零,且 a 3 ? 5 , a1 , a 2 , a5 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 b1 ? 2b2 ? 22 b3 ? L ? 2n?1bn ? an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 T n .

21.已知函数 f ( x) ? e x (ax 2 ? a ? 1) ( a ? R). (Ⅰ)若 a ? ? 1 ,求曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的的切线方程; (Ⅱ)若 f ( x) ?

2 e2

对任意 x ? ?? 2,?1? 恒成立,求实数 a 的取值范围.

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22.抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上纵坐标为 ? p 的点 M 到焦点的距离为 2. (Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)如图, A , B , C 为抛物线上三点,且线段 MA , MB , MC 与 x 轴交点的横坐标依次组成 公差为 1 的等差数列,若 ?AMB 的面积是 ?BMC 面积的 y B A O M (第 22 题) x

1 ,求直线 MB 的方程. 2
C

浙江省名校新高考研究联盟 2013 届第一次联考 数学(文科)答案
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 选项 1 D 2 A 3 D 4 C 5 B 6 A 7 C 8 C 9 B 10 D
2 2

二、填空题(本大题共 7 个小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.2 12. 2 3 13. 22 14.

6 25

15. 3

16.1

17.

部分解析: 8. C 解析:由图知, f ( x) ? sin(2 x ?
f ( x1 ? x 2 ) ? sin 2? 3 ? . 3 2
2 2 y0 y0 x 2 y0 1 ? ? ? ,化简得 02 ? 2 ? 1 ,又 P 在椭圆上,所以 x0 ? a x0 ? a 2 a a

?
3

) , x1 ? x2 ? 2 ?

?
12

?

?
6

,所以

9. B 解析:设 P( x 0 , y 0 ) ,则
x0 a
2

2

?

y0 b

2

2

? 1 ,所以 a 2 ? 2b 2 ,故 e ?

2 . 2

y

10. D 解析: f (x) 的图像如图所示,极大值 f (?1) ?

1 ;记 f ( x) ? s , e 要使得方程有四个零点,则 s 2 ? ts ? 1 ? 0 必有两个零点 1 e

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-1

O

x

1 1 且 0 ? s1 ? , s 2 ? ,又常数项为 1, e e e2 ? 1 1 1 所以 ( ) 2 ? t ? ? 1 ? 0 ,故 t ? ? . e e e 2 S an 1 1 ? a n ,所以 Tn ? S n ,故 n =3. 15.3 解析: bn ? Tn a n ? 2a n 3 3
16.1 解 析 : 因 为 x, y 是 非 零 实 数 , 故 原 不 等 式 可 化 为 a ?
x 2 ? 2 xy 2x 2 ? y 2
2 2

x 2 ? 2 xy 2x 2 ? y 2

恒成立.又

?

x2 ? x2 ? y2 2x 2 ? y 2

? 1 ,所以 a 的最小值为 1.

17.

解析:因为四边形 ABCD 是菱形,所以 ?C ?OE, ?EOA 分别为

C? 平面 DEB 与平面 C ?DB 、平面 DEB 与平面 ABD所成的 E 二面角的平面角,即 ?C ?OE ? 45? , ?EOA ? 30? ; D A EC ? OE 在 ?C ?OE 中, , ? O sin ?C ?OE sin ?OC ?E C (第 17 题) B AE OE 同理 ,易知 ? sin ?AOE sin ?OAE 2 EC ? AE AE sin 30 ? ?OC ?E ? ?OAE ,所以 ? = , 故 = . ? ? ? 2 EC ? sin 45 sin 45 sin 30 三、解答题(本大题共 5 个小题,共 72 分) 18. (本题 14 分)
(1) Q cos B ? ? ,? sin B ?

1 ab sin C ? 3 ??7 分 2 ? 1 ? 1 (2) sin A ? sin C ? sin( ? C) ? sin C ? sin(2C ? ) ? ??11 分 3 2 6 4 ? ? ? 5? Q C ? (0, ) ,? 2C ? ? ( , ) 6 6 6 3 ? 1 1 ??12 分 则 sin A ? sin C ? (0, ] ??14 分 ?sin(2C ? ) ? ( ,1] 6 2 4 19. (本题 14 分) (1) Q AB ? AC ,且平面 PAC ? 平面 ABC ,交线为 AC ; ? AB ? 平面 PAC ??3 分 P
?A ? 6
,C ?

?

1 2

?

3 2

由三角形正弦定理可得:

2 2 3 1 ? , sin A ? , sin A sin B 2

6

??5 分

S ?ABC ?

??6 分 (2)取 AP 的中点 D ,连接 CD, DB . 则 CD ? PA , Q AB ? 平面 PAC ,? 平面 PAB ? 平面 PAC , 平面 PAB I 平面 PAC = PA , C ? CD ? 平面 PAB ,则 ?CBD 为所求线面角; 由已知不妨设: AC ? 1 ,则 CD ?
3 , AB ? 2, BC ? 5 2

又 Q PC ? 平面 PAC ? AB ? PC

D A B
(第 19 题)

??10 分

??12 分

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? sin ?CBD ?

CD 15 ? , BC 10 15 10

即直线 BC 与平面 PAB 所成角的正弦值为 20. (本题 14 分) (1)解:在等差数列中,设公差为 d (d ? 0) ,

??14 分

2 Q a1a5 ? a2 ,? (a3 ? 2d )(a3 ? 2d ) ? (a3 ? d ) 2 ,

??2 分 ??4 分 ??7 分 ① ② ??10 分

化简得 5d 2 ? 10d ? 0 ,?d ? 2
? a n ? a3 ? (n ? 3)d ? 5 ? (n ? 3)2 ? 2n ? 1

(2)解: b1 ? 2b2 ? 4b3 ? L ? 2

n?1

bn ? an

b1 ? 2b2 ? 4b3 ? L ? 2n?1bn ? 2n bn?1 ? an?1
②-①得: 2 n ? bn?1 ? 2 ,?bn?1 ? 21?n 当 n ? 1 时, b1 ? a1 ? 1
?2 ? bn ? ? ?1,
2? n

,n ? 2 ,n ?1

??12 分 ??14 分

?Tn ? 3 ?
21. (本题 15 分)

1 2
n?2

(Ⅰ)解:当 a ? ? 1 时, f ( x) ? ? x 2 e x , f (1) ? ?e . ??2 分 f ?( x) ? ? x 2 e x ? 2xe x , 因为切点为( 1, ? e ) 则 k ? f ?(1) ? ?3e , , ??4 分 所以在点( 1, ? e )处的曲线的切线方程为: y ? ?3ex ? 2e . ??5 分 2 1 (Ⅱ)解法一:由题意得, f (?2) ? e ?2 (4a ? a ? 1) ? 2 , 即 a ? . ??9 分 5 e (注:凡代入特殊值缩小范围的均给 4 分) x 2 x ??10 分 f ?( x) ? e (ax ? 2ax ? a ? 1) ? e [a( x ? 1) 2 ? 1] ,

1 ,所以 f ?( x) ? 0 恒成立, 5 故 f (x) 在 ?? 2,?1? 上单调递增, ??12 分 2 2 1 要使 f ( x) ? 2 恒成立,则 f (?2) ? e ?2 (4a ? a ? 1) ? 2 ,解得 a ? .??15 分 5 e e x 2 x 2 解法二: f ?( x) ? e (ax ? 2ax ? a ? 1) ? e [a( x ? 1) ? 1] ??7 分 ?( x) ? 0 在 [?2,?1] 上恒成立, (1)当 a ? 0 时, f
因为 a ?

故 f (x) 在 ?? 2,?1? 上单调递增, 2 1 ??10 分 f ( x) min ? f (?2) ? e ?2 (5a ? 1) ? 2 即 a ? . 5 e (2)当 a ? 0 时,令 u( x) ? a( x ? 1) 2 ? 1 ,对称轴 x ? ? 1 , 则 u (x) 在 ?? 2,?1? 上单调递增,又 u (?1) ? 1 ? 0, u (?2) ? (a ? 1) ① 当 a ? 1 ? 0 ,即 ?1 ? a ? 0 时, f ?( x) ? 0 在 ?? 2,?1? 上恒成立, 所以 f (x) 在 ?? 2,?1? 单调递增,

f ( x) min ? f (?2) ? e ?2 (5a ? 1) ?

2 e
2

即a ?

1 ,不合题意,舍去 5

??12 分
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②当 a ? ? 1 时, f ( x) ? e x (ax 2 ? a ? 1) ? 0 , 不合题意,舍去 1 综上所述: a ? 5 p 22. (本题 15 分):(Ⅰ)解:设 M ( x0 ,? p) , 则 (? p) 2 ? 2 px0 , x0 ? , 2 p 由抛物线定义,得 x0 ? (? ) ? 2 所以 p ? 2, x 0 ? 1 . 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线方程为 y 2 ? 4 x , M (1,?2) . 设 A(
2 2 y 2 y1 y , y1 ) , B ( 2 , y 2 ) , C ( 3 , y 3 ) ( y1 , y 2 , y 3 均大于零) 4 4 4 , MB , MC 与 x 轴交点的横坐标依次为 x1 , x 2 , x3 . MA

??14 分 ??15 分

??5 分

??6 分

(1)当 MB ? x 轴时,直线 MB 的方程为 x ? 1 ,则 x1 ? 0 ,不合题意,舍去. ??7 分 (2) MB 与 x 轴不垂直时,

k MB ?

y2 ? 2 y2 ?1 4
2

?

4 y2 ? 2 ,

设直线 MB 的方程为 y ? 2 ?

4 ( x ? 1) ,即 4 x ? ( y 2 ? 2) y ? 2 y 2 ? 0 , y2 ? 2

令 y ? 0 得 2 x 2 ? y 2 ,同理 2 x1 ? y1 ,2 x3 ? y 3 , 因为 x1 , x 2 , x3 依次组成公差为 1 的等差数列, 所以 y1 , y 2 , y 3 组成公差为 2 的等差数列. 设点 A 到直线 MB 的距离为 d A ,点 C 到直线 MB 的距离为 d C , 因为 S ?BMC ? 2S ?AMB ,所以 d C =2 d A , 所以
y 3 2 ? ( y 2 ? 2) y 3 ? 2 y 2 16 ? ( y 2 ? 2) 2 ?2 y1 2 ? ( y 2 ? 2) y1 ? 2 y 2 16 ? ( y 2 ? 2) 2

??10 分 ??12 分

??14 分

得 y 2 ? 4 ? 2 y 2 ,即 y 2 ? 4 ? 2 y 2 ,所以 y 2 ? 4 , 所以直线 MB 的方程为: 2 x ? y ? 4 ? 0
2

??15 分

解法二: (Ⅰ)同上. (Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线方程为 y ? 4 x , M (1,?2) . 由题意,设 MA, MB, MC 与 x 轴交点的横坐标依次为 t ? 1, t , t ? 1 设 A( x1 , y1 ) , C ( x 2 , y 2 ) ( y1 , y 2 均大于零) . ??6 分 (1)当 MB ? x 轴时,直线 MB 的方程为 x ? 1 ,则 x1 ? 0 ,不合题意,舍去. ??7 分 2 (2) MB 与 x 轴不垂直时, k MB ? t ?1 2 设直线 MB 的方程为 y ? 2 ? ( x ? 1) ,即 2 x ? (t ? 1) y ? 2t ? 0 , t ?1 同理直线 MA 的方程为 2 x ? (t ? 2) y ? 2(t ? 1) ? 0 ,
? y 2 ? 4x 由? ?2 x ? (t ? 2) y ? 2(t ? 1) ? 0

得 y 2 ? 2(t ? 2) y ? 4t ? 4 ? 0

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? ? x ? (t ? 1) 则 ?2 y1 ? ?4t ? 4, 所以 ? 1 , ??12 分 ? y1 ? 2t ? 2 ? 2 ? ? x ? (t ? 1) 同理 ? 2 , 设点 A 到直线 MB 的距离为 d A , C 到直线 MB 的距离为 d C , 点 ? y 2 ? 2t ? 2 ? 为 S ?BMC ? 2S ?AMB ,所以 d C =2 d A ,
2



所以

2(t ? 1) 2 ? (t ? 1)(2t ? 2) ? 2t 4 ? (t ? 1) 2

?2

2(t ? 1) 2 ? (t ? 1)(2t ? 2) ? 2t 4 ? (t ? 1) 2

??14 分

化简得 2t ? 4 ? 2 2t ,即 t ? 2 , 所以直线 MB 的方程为: 2 x ? y ? 4 ? 0 ??15 分

浙江省名校新高考研究联盟 2012 届第一次联考 数学(文科)试题卷

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