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天津市河东区2015届高三一模考试数学理试题


河 东 区 2015 年 高 考 一 模 考 试

数学试卷(理工类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟 .第Ⅰ 卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 6 页. 题 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试 用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试

卷上的无效。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 答 祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ 卷(选择题
注意事项: 线 要

共 40 分)

姓名

1. 每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案标号。 2.本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.

订 不

1.复数 z ?



2?i (i为虚数单位) 在复平面内对应的点所在象限为( 2?i
B.第二象限 C.第三象限

) D.第四象限

A.第一象限 内

学校



线

? x ? 2 y ? 1, ? 2.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为( ? y ? 1 ? 0. ?
A. -3 C.1 B. 0 D.3 )

班级







3.某程序框图如图 1 所示,则输出的结果 S=( A.26 C.120

B.57 D.247 )



4.函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? ln x 在定义域内的零点的个数为( A.0 C.2 5.下列说法正确的是个数为( ) B.1 D.3

① a ? 1 是直线 x ? ay ? 0 与直线 x ? ay ? 0 互相垂直的充要条件 ② 直线 x ?

?
12

是函数 y ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) 的图象的一条对称轴
2 2

③ 已知直线 l : x ? y ? 2 ? 0 与圆 C : ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 2 ,则圆心 C 到直线 l 的距 离是 2 2

④ 若命题 P: “存在 x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ”, 则命题 P 的否定: “任意 x ? R ,x 2 ? x ? 1 ? 0 ” A.1 6.已知双曲线 B.2 C.3 D.4

2

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 3x ,则以它的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆的 a 2 b2
) B.

离心率等于( A.

1 2

2 2

C.

3 2

D.1

7. 在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y). 若对任意 x ? 2 , 不等式 x ? a ? x ? a ? 2 都成立, 则实数 a 的取值范围是( A. ? ? ?1, 7 ? ? C. ? ??,7 ? ? ) B. ??,3? ? D. ??, ?1? ?

?

?

?

?

? ?7, ?? ?

8.若直角坐标系内 A、B 两点满足:(1)点 A、 B 都在 f(x)的图像上;(2)点 A、B 关于原点 对称,则称点对(A,B)是函数 f(x)的一个“姊妹点对”(点对(A,B)与( B,A)可看作一

? x 2 ? 2 x( x ? 0) ? 个“姊妹点对”。已知函数 f(x)= ? 2 ,则 f(x)的“姊妹点对”有( ? x ( x ? 0) ? e
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个



河 东 区 2015 年 高 考 一 模 考 试

数学试卷(理工类)
第Ⅱ 卷(非选择题 共 110 分)
二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡横线上.) 9.一支田径队有男运动员56人,女运动员42人,若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量 为28的样本,则样本中女运动员的人数为 10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 人.

11.如右图 3,AB 是圆 O 的直径,直线 CE 和圆 O 相切于点 C,

AD ? CE 于 D,若 AD=1, ?ABC ? 30 ,则圆 O 的面积
是 . 图3

12.函数 y ? a1? x ? a ? 0,a ? 1? 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线

mx ? ny ? 1 ? 0 ? mn ? 0? 上,则

1 1 ? 的最小值为 m n



13.在极坐标系中,O 为极点,直线 l 过圆 C: ? ? 2 2 cos(? ? 则直线 l 的极坐标方程为 .

?
4

) 的圆心 C,且与直线 OC 垂直,

B C 14. 在 ?A

DC ? 2 BD , AB ? 2 ,AC ? 1 , ?BAC ? 1200 , 中, 则 AD ? BC ? D 是边 BC 上一点,

三 、 解答题:(本大题 6 个题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3(cos2 x ? sin 2 x) ? 2 sin x cos x . (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)设 x ? [ ?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的值域和单调递减区间. 3 3

16. (本小题满分 13 分) 甲,乙,丙三位学生独立地解同一道题,甲做对的概率为

1 ,乙,丙做对的概率分别为 m , n 2

( m > n ),且三位学生是否做对相互独立. 记 ? 为这三位学生中做对该题的人数,其分布列为:

?

0

1

2

3

P

1 4

a

b

1 24

(1)求至少有一位学生做对该题的概率; (2)求 m , n 的值; (3)求 ? 的数学期望.

17. (本小题满分 13 分) 等边三角形 ABC 的边长为 3, 点 D 、E 分别是边 AB 、AC 上的点, 且满足

AD CE 1 ? (如 ? DB EA 2

图 4).将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1 DE 的位置,使二面角 A1 ? DE ? B 成直二面角,连结 A1 B 、

A1C
(如图 5). D

A

A1

E B C B

D E C 图5

图4

(1)求证: A1D ? 平面 BCED ; (2)在线段 BC 上是否存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60 ?若存在,求出 PB 的 长,若不存在,请说明理由.

18. (本小题满分 13 分) 已知各项均为正数的数列{an }的前 n 项的和为 Sn ,且对任意的 n∈N? ,都有 2Sn = an +an
2

(1)求数列{an }的通项公式; (2)数列{bn }满足 b1 =1,2bn+1 -bn =0,(n∈N? ). 若 cn =an bn ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 1nx ? ax ?

1? a ? 1(a ? R). x

(1)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x)在点( 2,f (2))处的切线方程; (2)当 a≤

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性. 2

密 封 密 线

20. (本小题满分 14 分) 内 设 F1,F2 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为椭圆上的任意一点,满足 a 2 b2


封 装

PF 1 ? PF 2 ? 8 , ?PF 1 F2 的周长为 12.
(1)求椭圆的方程; (2)求 PF 1 ? PF 2 的最大值和最小值;

订 要 答 线

( 3 )已知点 A?8, 0? , B?2, 0? ,是否存在过点 A 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C,D ,使得

BC ? BD ?若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.



河东区 2014 年高考一模试卷

数 学 答 案(理工类)

一、选择题:本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分。每小题给出的四个选项只有一个符合题目要 求。 题号 1 2 3 4 C ,12. 4 5 A ,13. 6 A 7 C 8 B ,14. ?

答案 D C B 二 、填 空题 :每小题 5 分,共 30 分. 9. 12 ,10.108+3 ? ,11. 4?

? cos? ? ? sin ? ? 2 ? 0

8 3

三 、 解答题:本大题 6 个题,共 80 分 15. 解:(1)解:∵ f ( x) ? sin 2x ? 3 cos 2x

?2 sin( x2 ?

?
3

)

? f ( x) 的最小正周期为 ? .
(2)∵ x ? [ ?

? ?
3 3 ,

] , ??

?
3

? 2x ?

?
3

?? ,

??

3 ? ? s i n2(x ? ) ? 1 . 2 3

? f ( x) 的值域为 [? 3, 2] .
f ( x) 的递减区间为 ?

?? ? ? , ?. ?12 3 ?

16. 解:设“甲做对”为事件 A ,“乙做对”为事件 B ,“丙做对”为事件 C ,由题意知,

P ? A? ?

1 , P ? B ? ? m, P ? C ? ? n . 2

(1)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ ? ? 0 ”是对立的, 所以至少有一位学生做对该题的概率是 1 ? P

??

? 0? ? 1 ?

1 3 ? . 4 4

(2)由题意知 P

??

? 0 ? ? P ABC ?

?

?

1 1 1 ? m ? ?1 ? n ? ? , ? 2 4

P ?? ? 3? ? P ? ABC ? ?

1 1 mn ? , 2 24

整理得

mn ?

1 1 7 1 ,m ? n ? .由 m ? n 解得 m ? , n ? . 3 4 12 12

(3)由题意知 a ? P

??

? 1? ? P ABC ? P ABC ? P ABC

?

?

?

?

?

?

?

1 1 1 11 1 ? m ? ?1 ? n ? ? m ?1 ? n ? ? ?1 ? m ? n ? , ? 2 2 2 24
1 , 4

b ? P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) =

∴ ? 的数学期望为 E? ? 0 ? P(? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? 2P(? ? 2) ? 3P(? ? 3) = 17. 证明:(1)因为等边△ ABC 的边长为 3,且 所以 AD ? 1 , AE ? 2 . 在△ ADE 中, ?DAE ? 60 , 由余弦定理得 DE ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 ? cos60 ? 3 .
2 2

13 . 12

AD CE 1 ? , ? DB EA 2

因为 AD2 ? DE 2 ? AE 2 , 所以 AD ? DE .

BCED . 折叠后有 A1D ? DE .因为二面角 A1 ? DE ? B 是直二面角,所以平面 A 1 DE ? 平面
又平面 A 1 DE 平面 BCED ? DE , A1D ? 平面 A 1 DE , A 1 D ? DE ,

所以 A1D ? 平面 BCED . ( 2)解:由(1)的证明,可知 ED ? DB , A1D ? 平面 BCED . 以 D 为坐标原点,以射线 DB 、 DE 、 DA1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴,建立空间直角 坐标系 D ? xyz 如图. 设 PB ? 2a ? 0 ? 2a ? 3? , 则 BH ? a , PH ? 3a , DH ? 2 ? a . 所以 A 1 ? 0,0,1? , P 2 ? a, 3a, 0 , E 0, 3, 0 . 所以 PA1 ? a ? 2, ? 3a,1 .因为 ED ? 平面 A1 BD ,

A1

z

?

?

?

?

D B x H P

E y C

?

?

所以平面 A1 BD 的一个法向量为 DE ? 0, 3, 0 .因为直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60 , 所以 sin 60 ?

?

?

PA1 DE PA1 DE

????10 分

?
解得 a ?

3a 4a2 ? 4a ? 5 ? 3

?

3 , 2

5 . 4

即 PB ? 2 a ?

5 ,满足 0 ? 2a ? 3 ,符合题意. 2 5 . 2

所以在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60 ,此时 PB ?

2 18. 解:(1)当 n=1 时,由 2a1 =2S1 = a1 ? a1 ,a1 >0,得 a1 =1 2 2 当 n≥2 时,由 2an =2Sn -2Sn-1 =( an +an )-( an ?1 ? an?1 )

得(an +an-1 )(an -an-1 -1)=0 因为 an +an-1 >0,所以 an -an-1 =1 故 an =1+(n-1)×1=n (2)由 b1 =1,

1 1 bn ?1 1 ? ,得 bn = ( ) n ?1 ,则 cn =n ( ) n ?1 2 2 bn 2

因为 Tn = 1 ? 2( ) ? 3( ) ? ??? ? n( )
1 2

1 2

1 2

1 2

n ?1



1 1 1 1 1 Tn ? ? 2( ) 2 ? ??? ? ( n ? 1)( ) n ?1 ? n( ) n 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 n ?1 1 n Tn ? 1 ? ? ( ) ? ??? ? ( ) ? n( ) 得 2 2 2 2 2 1 n =2-(n+2) ( ) 2 1 n ?1 所以 Tn =4-(n+2) ( ) 2 2 时,f ( x) ? ln x ? x ? ? 1, x ? (0,?? ), 19. 解:(1) 当 a ? ?1 x
所以 所以

x2 ? x ? 2 , x ? ( 0?? , ) f ' ( x) ? x2

? 1, 因此, f(2)


2,f (2))处的切线斜率为 1 , . 曲线 y ? f ( x)在点(



f (2) ? ln 2 ? 2,

所以曲线

y ? f ( x)在点(2,f (2))处的切线方程为 y ? (ln 2 ? 2) ? x ? 2,

即x ? y ? ln 2 ? 0.
(2)因为

f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1, x
x ? (0,??) ,

所以

ax2 ? x ? 1 ? a 1 a ?1 f ' ( x) ? ? a ? 2 ? ? x x x2



g ( x) ? ax2 ? x ? 1 ? a, x ? (0,??),

(1)当 a ? 0 时, h( x) ? ?x ? 1, x ? (0, ??) 所以,当 x ? (0,1)时, h( x) ? 0, 此时f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减; 当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0,函数f(x)单调递 (2)当 a ? 0时,由f?(x)=0
2 即 ax ? x ? 1 ? a ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ?

1 ?1 a

①当 a ?

1 时, x1 ? x2 , h( x) ? 0 恒成立, 2

此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在(0,+∞)上单调递减; ②当 0 ? a ?

1 1 时, ? 1 ? 1 ? 0 2 a

x ? (0,1) 时, h( x) ? 0, 此时f ?( x) ? 0,函数f ( x) 单调递减;

x ? (1,

1 ? 1) 时, h( x) ? 0, 此时f ?( x) ? 0,函数f ( x) 单调递增; a

1 x ? ( ? 1, ??)时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; a 1 ③当 a ? 0 时,由于 ? 1 ? 0 a
x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增。
综上所述:

当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在(0,1)上单调递减; 函数 f ( x ) 在(1,+∞)上单调递增;

1 时,函数 f ( x ) 在(0,+∞)上单调递减; 2 1 当 0 ? a ? 时,函数 f ( x ) 在(0,1)上单调递减; 2 1 函数 f ( x ) 在 (1, ? 1) 上单调递增; a 1 函数 f ( x)在( ? 1, ??) 上单调递减, a
当a ? 20. 解:(1)由题意得: 2a ? 8, 2a ? 2c ? 12 ,所以 a ? 4, c ? 2, b2 ? 12 ,

所以椭圆方程为:

x2 y 2 ? ? 1; 16 12
1 2 x ?8, 4

2 2 (2)因为 F 1 (?2,0), F2 (2,0) ,设 P(x,y)则 PF 1 ? PF2 = x ? y ? 4 =
2

因为 0 ? x ? 16 ,所以 8 ? PF 1 ? PF 2 ? 12 ,所以最大值为 12,最小值为 8; (3)当直线斜率不存在时,直线与椭圆无交点;所以假设直线斜率为 k,

? y ? k ( x ? 8) ? 则 l : y ? k ( x ? 8) ,联立 ? x 2 y 2 得, (4k 3 ? 3) x2 ? 64k 2 x ? 16(16k 2 ? 3) ? 0 , ?1 ? ? ?16 12
由⊿>0 得, ?

1 1 ?k? ; 2 2

设交点 C( x1 , y 1 ), D( x2 , y2 ), CD 中点 M ( x0 , y0 ) , 因为 x1 ? x2 ?

64k 2 32k 2 ?24k x ? ,所以 0 , y0 ? k ( x0 ? 8) ? , 2 2 4k 2 ? 3 4k ? 3 4k ? 3 ?24k 2 ?24k K K ? ? ?1 , ,所以 BM 24k 2 ? 6 24k 2 ? 6

因为 BC ? BD ,所以 BM ? CD ,因为 K BM ? 方程无解,所以不存在直线使结论成立。


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