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2014年福建高考理科数学试题详解


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2014 年福建高考理科数学试题 (word 解析版)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的. 【2014 年福建卷(理 01) 】复数 z=(3﹣2i)i 的共轭复数 等于( A. ﹣2﹣3i B. ﹣2+3i C. 2﹣3i 【答案】C 【解析】∵z=(3﹣2i)i=2+3i,∴ .故选:C D. 2+3i )

【2014 年福建卷(理 02) 】某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( A. 圆柱 B. 圆锥 C. 四面体 D. 三棱柱



【答案】A 【解析】圆柱的正视图为矩形,故选:A 【2014 年福建卷(理 03) 】 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1=2,S3=12,则 a6 等于( A.8 B.10 C.12 D.14 )

【答案】C 【解析】由题意可得 S3=a1+a2+a3=3a2=12,解得 a2=4,∴公差 d=a2﹣a1=4﹣2=2, ∴a6=a1+5d=2+5×2=12,故选:C. 【2014 年福建卷(理 04) 】若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象如图所示,则下列函数 图象正确的是( )

A.

B.

C.

D.

1

【答案】B 【解析】由题意可知图象过(3,1) ,故有 1=loga3,解得 a=3, 选项 A,y=a =3 =
3 ﹣x ﹣x

单调递减,故错误;

选项 B,y=x ,由幂函数的知识可知正确; 3 3 选项 C,y=(﹣x) =﹣x ,其图象应与 B 关于 x 轴对称,故错误; 选项 D,y=loga(﹣x)=log3(﹣x) ,当 x=﹣3 时,y=1, 但图象明显当 x=﹣3 时,y=﹣1,故错误.故选:B.

【2014 年福建卷(理 05) 】阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 S 的值等于 ( )

A. 18

B. 20

C. 21

D. 40

【答案】B 1 2 n 【解析】由程序框图知:算法的功能是求 S=2 +2 +?+2 +1+2+?+n 的值, 1 2 1 2 3 ∵S=2 +2 +1+2=2+4+1+2=9<15,S=2 +2 +2 +1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15. ∴输出 S=20.故选:B

【2014 年福建卷(理 06) 】直线 l:y=kx+1 与圆 O:x +y =1 相交于 A,B 两点,则“k=1” 是“△OAB 的面积为 ”的( A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 ) B. 必要而不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

2

2

【答案】A 2 2 【解析】若直线 l:y=kx+1 与圆 O:x +y =1 相交于 A,B 两点, 则圆心到直线距离 d= ,|AB|=2 ,

2

若 k=1,则|AB|= 立,即充分性成立.

,d=

,则△OAB 的面积为 ×

= 成

若△OAB 的面积为 ,则 S= 解得 k=±1,则 k=1 不成立,即必要性不成立.

= ×2×

=

= ,

故“k=1”是“△OAB 的面积为 ”的充分不必要条件.故选:A

【2014 年福建卷(理 07) 】已知函数 f(x)= A.f(x)是偶函数 C. f(x)是周期函数

,则下列结论正确的是(



B. f(x)是增函数 D. f(x)的值域为[﹣1,+∞)

【答案】D 【解析】由解析式可知当 x≤0 时,f(x)=cosx 为周期函数, 2 当 x>0 时,f(x)=x +1,为二次函数的一部分, 故 f(x)不是单调函数,不是周期函数,也不具备奇偶性, 故可排除 A、B、C,对于 D,当 x≤0 时,函数的值域为[﹣1,1], 当 x>0 时,函数的值域为值域为(1,+∞) , 故函数 f(x)的值域为[﹣1,+∞) ,故正确.故选:D

【2014 年福建卷(理 08) 】在下列向量组中,可以把向量 =(3,2)表示出来的是( A. =(0,0) , =(1,2) B. =(﹣1,2) ,



=(5,﹣2)

C.

=(3,5) ,

=(6,10)

D.

=(2,﹣3) ,

=(﹣2,3)

【答案】B 【解析】 根据 ,

选项 A: (3,2)=λ (0,0)+μ (1,2) ,则 3=μ ,2=2μ ,无解,故选项 A 不能; 选项 B: (3,2)=λ (﹣1,2)+μ (5,﹣2) ,则 3=﹣λ +5μ ,2=2λ ﹣2μ ,解得,λ =2, μ =1,故选项 B 能.

3

选项 C: (3,2)=λ (3,5)+μ (6,10) ,则 3=3λ +6μ ,2=5λ +10μ ,无解,故选项 C 不能. 选项 D: (3,2)=λ (2,﹣3)+μ (﹣2,3) ,则 3=2λ ﹣2μ ,2=﹣3λ +3μ ,无解,故选 项 D 不能.故选:B

【2014 年福建卷(理 09) 】设 P,Q 分别为圆 x +(y﹣6) =2 和椭圆 Q 两点间的最大距离是( A. 5 B. ) +

2

2

+y =1 上的点,则 P,

2

C. 7+

D. 6

【答案】D 【解析】设椭圆上的点为(x,y) ,则 2 2 ∵圆 x +(y﹣6) =2 的圆心为(0,6) ,半径为 ∴椭圆上的点与圆心的距离为 ∴P,Q 两点间的最大距离是 5 + =6 =

, ≤5 ,

.故选:D

【2014 年福建卷(理 10) 】用 a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球,由加法原理及乘法原 理, 从 1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由 (1+a) (1+b) 的展开式 1+a+b+ab 表示出来,如: “1”表示一个球都不取、 “a”表示取出一个红球,而“ab”则表示把红球和 蓝球都取出来.以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个无 区别的蓝球、5 个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取 法的是( ) 2 3 4 5 5 5 5 2 3 4 5 5 A. (1+a+a +a +a +a ) (1+b ) (1+c) B. (1+a ) (1+b+b +b +b +b ) (1+c) 5 2 3 4 5 5 5 5 2 3 4 5 C. (1+a) (1+b+b +b +b +b ) (1+c ) D. (1+a ) (1+b) (1+c+c +c +c +c ) 【答案】A 【解析】所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法中,与取红球的个数和黑球的个数无关, 而红球篮球是无区别,黑球是有区别的, 2 3 4 5 根据分布计数原理,第一步取红球,红球的取法有(1+a+a +a +a +a ) , 5 第二步取蓝球,有(1+b ) , 5 第三步取黑球,有(1+c) , 2 3 4 5 5 5 所以所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法有(1+a+a +a +a +a ) (1+b ) (1+c) ,

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置

【2014 年福建卷(理 11) 】若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+y 的最小值

为 _________ .

4

【答案】1 【解析】作出不等式对应的平面区域如图,

由 z=3x+y,得 y=﹣3x+z, 平移直线 y=﹣3x+z,由图象可知当直线 y=﹣3x+z,经过点 A(0,1)时,直线 y=﹣3x+z 的 截距最小,此时 z 最小.此时 z 的最小值为 z=0×3+1=1,故答案为:1

【2014 年福建卷 (理 12) 】 在△ABC 中, A=60°, AC=4, BC=2 【答案】 【解析】∵△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2 ∴ ∴△ABC 的面积=

, 则△ABC 的面积等于



,由正弦定理得:



,解得 sinB=1,∴B=90°,C=30°, .故答案为:

【2014 年福建卷(理 13) 】要制作一个容器为 4m ,高为 1m 的无盖长方形容器,已知该容器 的底面造价是每平方米 20 元, 侧面造价是每平方米 10 元, 则该容器的最低总造价是 (单 位:元) 【答案】160 3 【解析】设池底长和宽分别为 a,b,成本为 y,则∵长方形容器的容器为 4m ,高为 1m, 故底面面积 S=ab=4,y=20S+10[2(a+b)]=20(a+b)+80,∵a+b≥2 =4, 故当 a=b=2 时,y 取最小值 160,即该容器的最低总造价是 160 元,故答案为:160

3

【2014 年福建卷(理 14) 】如图,在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一 粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为 _________ .

5

【答案】 【解析】由题意,y=lnx 与 y=e 关于 y=x 对称, ∴阴影部分的面积为 2 (e﹣e )dx=2(ex﹣e )
x x x

=2,
2

∵边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形的面积为 e , ∴落到阴影部分的概率为 .故答案为:

【2014 年福建卷(理 15) 】若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系: ①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4 有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c, d)的个数是 _________ . 【答案】6 【解析】由题意,a=2 时,b=1,c=4,d=3;b=3,c=1,d=4; a=3 时,b=1,c=4,d=2;b=1,c=2,d=4;b=2,c=1,d=4; a=4 时,b=1,c=3,d=2; ∴符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是 6 个. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 【2014 年福建卷(理 16) 】已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣ . (1)若 0<α < ,且 sinα = ,求 f(α )的值;

(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间.

解: (1)∵0<α <

,且 sinα =

,∴cosα =

, ×( + )﹣ = . sin (2x+ ) ,

∴f(α )=cosα (sinα +cosα )﹣ ,=
2

(2) f (x) =cosx (sinx+cosx) ﹣ . =sinxcosx+cos x﹣ = sin2x+ cos2x= ∴T= =π ,由 2kπ ﹣ ≤2x+ ≤2kπ + ,kπ + ,k∈Z,得 kπ ﹣ ],k∈Z

≤x≤kπ +

,k∈Z,

∴f(x)的单调递增区间为[kπ ﹣

6

【2014 年福建卷(理 07) 】在平面四边形 ABCD 中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD,将△ABD 沿 BD 折起,使得平面 ABD⊥平面 BCD,如图. (1)求证:AB⊥CD; (2)若 M 为 AD 中点,求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值.

(1)证明:∵平面 ABD⊥平面 BCD,平面 ABD∩平面 BCD=BD,AB? 平面 ABD,AB⊥BD, ∴AB⊥平面 BCD,又 CD? 平面 BCD,∴AB⊥CD.

(2)解:建立如图所示的空间直角坐标系. ∵AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD, ∴B(0,0,0) ,C(1,1,0) ,A(0,0,1) ,D(0,1,0) ,M ∴ =(0,1,﹣1) , =(1,1,0) , = . .

设平面 BCM 的法向量 =(x,y,z) ,则



令 y=﹣1,则 x=1,z=1.∴ =(1,﹣1,1) . 设直线 AD 与平面 MBC 所成角为θ . 则 sinθ =|cos |= = =

7

【2014 年福建卷(理 18) 】为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行 奖励,规定:每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球,球上所 标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元,求: ①顾客所获的奖励额为 60 元的概率; ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; (2)商场对奖励总额的预算是 60000 元,并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成, 或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成. 为了使顾客得到的奖励总额尽可 能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡, 请对袋中的 4 个球的面值给出一个合 适的设计,并说明理由. 解: (1)设顾客所获取的奖励额为 X, ①依题意,得 P(X=60)= ,即顾客所获得奖励额为 60 元的概率为 ,

②依题意得 X 得所有可能取值为 20,60,P(X=60)= ,P(X=20)= 即 X 的分布列为 X P 60 20



所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为 E(X)=20× +60× =40

(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为 60 元,所以先寻找期望为 60 元的可能方 案. 对于面值由 10 元和 50 元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为 60 元是 面值之和的最大值,所以数学期望不可能为 60 元, 如果选择(50,50,50,10)的方案,因为 60 元是面值之和的最小值,所以数学期望也不 可能为 60 元, 因此可能的方案是(10,10,50,50)记为方案 1, 对于面值由 20 元和 40 元的组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40, 20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40) ,记为方案 2, 以下是对这两个方案的分析:

8

对于方案 1,即方案(10,10,50,50)设顾客所获取的奖励额为 X1,则 X1 的分布列为 X1 60 20 100 P

X1 的数学期望为 E(X1)= X1 的方差 D(X1)=

. = ,

对于方案 2,即方案(20,20,40,40)设顾客所获取的奖励额为 X2,则 X2 的分布列为 X2 40 20 80 P

X2 的数学期望为 E(X2)= X2 的方差 D(X2)=差 D(X1)

=60,

=



由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求, 但方案 2 奖励额的方差比方案 1 小, 所以应 该选择方案 2.

【2014 年福建卷(理 19) 】已知双曲线 E:



=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为

l1:y=2x,l2:y=﹣2x. (1)求双曲线 E 的离心率; (2)如图,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2 于 A,B 两点(A,B 分别在第一、第 四象限) ,且△OAB 的面积恒为 8,试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲 线 E?若存在,求出双曲线 E 的方程,若不存在,说明理由.

9

解: (1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y=﹣2x,所以 =2.

所以

=2.故 c=

a,从而双曲线 E 的离心率 e= =



(2)由(1)知,双曲线 E 的方程为



=1.设直线 l 与 x 轴相交于点 C,

当 l⊥x 轴时,若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=8,

所以 |OC|?|AB|=8,

因此 a?4a=8,解得 a=2,此时双曲线 E 的方程为



=1.

以下证明: 当直线 l 不与 x 轴垂直时, 双曲线双曲线 E 的方程为 设直线 l 的方程为 y=kx+m,依题意,得 k>2 或 k<﹣2; 则 C(﹣ ,0) ,记 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由 得 y1= ,同理得 y2=



=1 也满足条件.

,由 S△OAB= |OC|?|y1﹣y2|得:

|﹣ |?|



|=8,即 m =4|4﹣k |=4(k ﹣4) .因为 4﹣k <0,

2

2

2

2

所以△=4k m +4(4﹣k ) (m +16)=﹣16(4k ﹣m ﹣16) ,又因为 m =4(k ﹣4) , 所以△=0,即直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点. 因此,存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 ﹣ =1

2 2

2

2

2

2

2

2

【2014 年福建卷(理 20) 】已知函数 f(x)=e ﹣ax(a 为常数)的图象与 y 轴交于点 A,曲 线 y=f(x)在点 A 处的切线斜率为﹣1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; 2 x (2)证明:当 x>0 时,x <e ; x (3)证明:对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x<ce .

x

10

解: (1)由 f(x)=e ﹣ax 得 f′(x)=e ﹣a.又 f′(0)=1﹣a=﹣1,∴a=2, ∴f(x)=e ﹣2x,f′(x)=e ﹣2. 由 f′(x)=0 得 x=ln2, 当 x<ln2 时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x>ln2 时,f′(x)>0,f(x)单调递增; ∴当 x=ln2 时,f(x)有极小值为 f(ln2)=e ﹣2ln2=2﹣ln4. f(x)无极大值.
ln2 x x

x

x

(2)令 g(x)=e ﹣x ,则 g′(x)=e ﹣2x, 由(1)得,g′(x)=f(x)≥f(ln2)=e ﹣2ln2=2﹣ln4>0,即 g′(x)>0, ∴当 x>0 时,g(x)>g(0)>0,即 x <e ;
2 x ln2

x

2

x

(3)对任意给定的正数 c,总存在 x0= >0.当 x∈(x0,+∞)时, 由(2)得 e >x > x,即 x<ce . ∴对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x<ce
x x 2 x

在 21-23 题中考生任选 2 题作答,满分 7 分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时, 先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中. 选修 4-2:矩阵与变换 【2014 年福建卷(理 21) 】已知矩阵 A 的逆矩阵 A =(
﹣1

) .

(1)求矩阵 A; ﹣1 (2)求矩阵 A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.
﹣1

解: (1)设 A=

,则由 AA =E 得

=



解得 a= ,b=﹣ ,c=﹣ ,d= ,所以 A=



(2)矩阵 A 的特征多项式为 f(λ )=
2

﹣1

=(λ ﹣2) ﹣1,

2

令 f(λ )=(λ ﹣2) ﹣1=0,可求得特征值为λ 1=1,λ 2=3, 11

设λ 1=1 对应的一个特征向量为α = 得 x=﹣y,可令 x=1,则 y=﹣1,

,则由λ 1α =Mα ,得 x+y=0

所以矩阵 M 的一个特征值λ 1=1 对应的一个特征向量为 同理可得矩阵 M 的一个特征值λ 2=3 对应的一个特征向量为



五、选修 4-4:极坐标与参数方程 【2014 年福建卷(理 22) 】已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,圆 C 的参数

方程为

(θ 为常数) .

(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围.

解: (1)直线 l 的参数方程为

,消去 t 可得 2x﹣y﹣2a=0;

圆 C 的参数方程为

,两式平方相加可得 x +y =16;

2

2

(2)圆心 C(0,0) ,半径 r=4. 由点到直线的距离公式可得圆心 C(0,0)到直线 L 的距离 d= ∵直线 L 与圆 C 有公共点,∴d≤4,即 ≤4,解得﹣2 . ≤a≤2

六、选修 4-5:不等式选讲 【2014 年福建卷(理 23) 】已知定义在 R 上的函数 f(x)=|x+1|+|x﹣2|的最小值为 a. (1)求 a 的值; 2 2 2 (2)若 p,q,r 为正实数,且 p+q+r=a,求证:p +q +r ≥3. ( 1)解:∵|x+1|+|x﹣2|≥|(x+1)﹣(x﹣2)|=3,当且仅当﹣1≤x≤2 时,等号成立, ∴f(x)的最小值为 3,即 a=3; (2)证明:由(1)知,p+q+r=3,又 p,q,r 为正实数, 2 2 2 2 2 2 2 ∴由柯西不等式得, (p +q +r ) (1 +1 +1 )≥(p×1+q×1+r×1) 2 2 =(p+q+r) =3 =9, 2 2 2 即 p +q +r ≥3 12


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