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高考一轮文科数学必修5.2 等差数列及其前n项和 课时提升作业(含答案解析)


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课时提升作业(二十九)
等差数列及其前 n 项和 (45 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.(2014· 太原模拟)设{an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和,若 S10=S1

1,则 a1=( A.18 ) B.20 C.22 D.24
[来源:Zxxk.Com]

100 分)

2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36,则 a7+a8+a9 等于( A.63 B.45 C.36 D.27 )

)

3.{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,a7=5,S7=21,则 S10=( A.40 B.35 C.30 D.28

4.(2014·麻城模拟)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4=9,a6=11,则 S9 等于 ( A.180 B.90 C.72 D.100 )

5.一个等差数列{an}的前 12 项的和为 354,前 12 项中偶数项的和 S 偶与前 12 项 中奇数项的和 S 奇之比为 ,则公差 d=( A.5 B.6 C.10 D.12 )

6.(2014·成都模拟)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=9,a6+a4=2,则当 Sn 取 最大值时,n 等于( A.4 B.5 ) C.6 D.7

7.(2014·恩施模拟)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 am-1+am+1∈N*,m≥2),则 m 等于( A.38 B.20 C.10 ) D.9

=0,S2m-1=38(m

8.(2014·延吉模拟)等差数列{an}中, 能值的集合为( A.{1} C. ) B. D.

是一个与 n 无关的常数,则该常数的可

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 9.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a10=1,则 S19= 10.(2013·重庆高考)若 2,a,b,c,9 成等差数列,则 c-a= 11.数列{an}中,a3=2,a7=1 且数列 是等差数列,则 a11= .
[来源:Z.xx.k.Com]

. .

12.(能力挑战题)(2014·鄂州模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和是 Sn=- n2- n, 则使 an<-2010 的最小正整数 n 等于________. 三、解答题(13 题 12 分,14~15 题各 14 分) 13.(2014·通化模拟)已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式. (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. 14.在等差数列{an}中,已知 a1=20,前 n 项 和为 Sn,且 S10=S15. (1)求 Sn.
[来源:学科网 ZXXK]

(2)当 n 为何值时,S n 有最大值?并求出它的最大值. 15.(能力挑战题)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=1(1)设 bn= ,其中 n∈N*.

,求证:数列{bn}是等差数列,并求出{an}的通项公式 an.

(2)设 cn=

,数列{cncn+2}的前 n 项和为 Tn,是否存在正整数 m,使得 Tn<



于 n∈N*恒成立 ,若存在,求出 m 的最小值;若不存在,请说明理由.

答案解析

[来源:学科网]

1. 【解析】 选 B.由 S10=S11 可知 a11=S11-S10=0,所以 a1+(11-1)d=0,即 a1+10×(-2)=0, 解得 a1=20. 2.【思路点拨】利用 S3,S6-S3,S9-S6 也成等差数列求解. 【 解 析 】 选 B. 由 {an} 是 等 差 数 列 , 得 S3,S6-S3,S9-S6 为 等 差 数 列 , 即 2(S6-S3)=S3+(S9-S6),得到 S9-S6=2S6-3S3=45,故选 B. 【误区警示】误认为 Sm,S2m,S3m 成等差数列而导致出错. 3. 【 解 析 】 选 A . 由 S7= S10=10a1+ × =40.
[来源:学科网]

=21, 所 以 a1=1, 又 a7=a1+6d, 所 以 d= , 故

4.【解析】选 B.因为 a4=9,a6=11,故 a4+a6=9+11=2a5,所以 a5=10,故 S9=9a5=9× 10=90. 5.【解析】选 A.由题意可知

解得 又由等差数列的性质,可得 S 偶-S 奇=6d,即 192-162=6d,解得 d=5. 6.【解析】选 B.由 a6+a4=2,得 a5=1>0,又 a1=9,所以 d=-2,故 a6=-1<0, 所以前 5 项和最大. 7.【解析】选 C.在等差数列{an}中,am-1+am+1=2am,所以 2am去). 又 S2m-1= =(2m-1)×am=38.所以 2m-1=19,即 m=10. = 是与 n 无关的常数 m,所以 =0,解得 am=2(am=0 舍

8.【解析】选 B.等差数列 {an}中,设

a1+(n-1)d=ma1+m(2n-1)d 对任意 n 恒成立,即(2md-d)n+(ma1-md+d-a1)=0 对任意 n

恒成立,故

由第一个方程得 d=0 或者 m= .若 d=0,

代入第二个方程可得 m=1(因为 a1≠0);若 m= ,代入第二个方程得 d=a1. 9.【解析】S19= 答案:19 10.【思路点拨】可根据等差数列的性质直接求解. 【解析】因为 2,a,b,c,9 成等差数列,所以公差 d= = ,c-a=2d= . = =19a10=19.

答案: 11.【解析】由已知可得 得 a11= . 答 案: 【加固训练】项数大于 3 的等差数列 {an} 中 , 各项均不为零 , 公差为 1, 且 + + =1,则其通项公式为 + + + +2a1-3=0, =1,
[来源:学科网 ZXXK]

= ,

= ,于是得

=2×

-

=2× - = ,解

.

【解析】因为 所以 +

=1.

所以 - =2,所以

解得 a1 =1 或 a1=-3(舍).所以 an=1+(n-1)×1=n. 答案:an=n(n∈N*) 12.【解析】设等差数列{an}的公差为 d,因为前 n 项和是 Sn=- n2- n=- n2又因为 Sn=na1+ d= n2+ n,所以 解得 d=-1,a1=2,所以 n,

an=2+(n-1)(-1)=3-n,由 3-n<-2010,可得 n>2013,故最小正整数 n 为 2014. 答案:2014

13.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为 d, 则 an=a1+(n-1)d. 由 a1=1,a3=-3 可得 1+2d=-3,解得 d=-2. 从而 an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知 an=3-2n, 所以 Sn= =2n-n2,
[来源:学。科。网]

由 Sk=-35 可得 2k-k2=-35, 即 k2-2k-35=0,解得 k=7 或 k=-5. 又 k∈N*,故 k=7. 【加固训练】(2013·大纲版全国卷)等差数列 且 S1,S2,S4 成等比数列,求 【解析】设{an}的公差为 d, 由 S3= ,得 3a2= ,故 a2=0 或 a2=3. = S1S4. 的通项公式. 的前 n 项和为 Sn.已知 S3= ,

由 S1,S2,S4 成等比数列得

又 S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d. 故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d). 若 a2=0,则 d2=-2d2,解得 d=0,此时 Sn=0,不符合题意. 若 a2=3,则(6-d)2=(3-d)(12+2d),解得 d=0 或 d=2. 因此{an}的通项公式为 an=3 或 an=2n-1. 14.【解析】(1)设数列{an}的公差为 d. 因为 a1=20,S10=S 15, 所以 10×20+ d=15×20+ d.
[来源:学科网]

解得 d=- , 所以 Sn=n×20+ × =- n2+ n. + .

(2)由(1) 中 Sn,配方得 Sn=因为 n∈N*,而 =1 2.5, 所以 n=12 或 n=13 时,Sn 有最大值. 最大值为 S12=S13=130.

【一题多解】本题第(2)问还可用下面两种解法: 方法一:由(1)知 d=- ,所以 an=20+(n-1)× =- n+ .

令 an≥0 解得 n≤13,即当 n≤12 时,an>0,a13 =0,n≥14 时 an<0,所以当 n=12 或 n=13 时 Sn 取得最大值,且最大值为 S12=S13=12×20+ 方法二:由(1)知 d=- <0. 又由 S10=S15 得 a11+a12+a13+a14+a15=0, 从而 5a13=0,即 a13=0, 所以当 n=12 或 n=13 时,Sn 有最大值,且最大值为 S12=S13=130. 【方法技巧】求等差数列前 n 项和最值的常用方法 (1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,或者利用性质求其正负转折项, 便可求得和的最值. (2)公差不为零的等差数列的前 n 项和 Sn=An2+Bn(A,B 为常数)为二次函数,利用 二次函数的性质求最值. 15.【解析】(1)bn+1-bn= = = =2,所以数列 得 an= . × =130.

{bn}是等差数列,a1=1,b1=2,因此 bn=2+(n-1)×2=2n,由 bn= (2)cn= ,cncn+2= =2 ,
[来源:Z_xx_k.Com]

所以 Tn=2 依题意要使 Tn<

<3, 对于 n∈N*恒成立,只需 ≥3,解得 m≥3 或 m≤-4,又

因为 m 为正整数,所以存在符合题意的 m,m 的最小值为 3. 【加固训练】数列{an}满足 an=3an-1+3n-1(n∈N*,n≥2),已知 a3=95. (1)求 a1,a2. (2)是否存在一个实数 t,使得 bn= (an+t)(n∈N*),且{bn}为等差数列?若存在,则 求出 t 的值;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)n=2 时,a2=3a1+32-1. n=3 时,a3=3a2+33- 1=95,所以 a2=23, 所以 23=3a 1+8,所以 a1=5. (2)当 n≥2 时, bn-bn-1= (an+t)= (an+t-3an-1-3t) = (3n-1-2t)=1, (an-1+t)
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

要使{bn}为等差数列,则必须使 1+2t=0, 所以 t=- , 即存在 t=- ,使{bn}为等差数列.

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