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直线中对称问题归类解析


直线中对称问题

直线中的对称问题主要有:点关于点对称;点关于直线对称;直 线关于点对称;直线关于直线对称。下面谈谈各类对称问题的具体求 解方法。 1、点关于点的对称 。 例 1 已知点 A (-2, , 3) 求关于点 P (1, 的对称点 B x 0 , y 0 ) 1) ( 分析:利用点关于点对称的几何特性,直接应用中点坐标公式求 解。 解:设点 A(-

2,3)关于点 P(1,1)的对称点为 B( x 0 , y 0 ) ,
?? 2 + x0 = 1, ? ?x = 4, ? 2 解得 ? 0 所以点 则由中点坐标公式得 ? ? y 0 = ?1 ? 3 + y 0 = 1, ? 2 ?

A 关于点 P (1, 1)

的对称点为 B(4,-1) 。 评注:利用中点坐标公式求解完之后,要返回去验证,以确保答 案的准确性。 2、直线关于点的对称 例 2 求直线 3x ? y ? 4 = 0 关于点 P(2,-1)对称的直线 l 的方程。 分析:由已知条件可得出所求直线与已知直线平行,所以可设所 求直线方程为 3x ? y + b = 0 。 解:由直线 l 与 3x ? y ? 4 = 0 平行,故设直线 l 方程为 3x ? y + b = 0 。
1 由已知可得,点 P 到两条直线距离相等,得 | 6 + 21 ? 4 | = | 6 + 2 + b | . 3 +1 3 +1

解得 b = ?10 ,或 b = ?4 (舍) 。则直线 l 的方程为 3x ? y ? 10 = 0. 评注:充分利用直线关于点对称的特性:对称直线与已知直线平 行且点 P 到两条直线的距离相等。几何图形特性的灵活运用,可为解 题寻找一些简捷途径。此题还可在直线 3x ? y ? 4 = 0 上取两个特殊点, 并分别求其关于点 P(2,-1)的对称点,这两个对称点的连线即为 所求直线。 3、点关于直线的对称 例 3 求点 A(2,2)关于直线 2x ? 4 y + 9 = 0 的对称点坐标。 利用点关于直线对称的性质求解。 解法 1(利用中点转移法) :设点 A(2,2)关于直线 2x ? 4 y + 9 = 0 的对称点为 A′( x 0 , y 0 ) ,则直线 AA′与已知直线垂直,故可设直 线 AA′方程为 4x + 2 y + c = 0 ,把 A(2,2)坐标代入,可求得 c = ?12 。 ∴直线 AA′方程为 2x + y ? 6 = 0 。
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由方程组 ?

?2 x ? 4 y + 9 = 0, 解得 AA′中点 M ? 3 ,3 ? 。 ? ? ?2 ? ?2 x + y ? 6 = 0 x + 2 3 y0 + 2 由中点坐标公式得 0 = , = 3 ,解得 x 0 = 1, y 0 = 4. 2 2 2

∴所求的对称点坐标为(1,4) 。 评注: 解题时, 有时可先通过求中间量, 再利用中间量求解结果。 分析:设 B(a,b)是 A(2,2)关于直线 2x ? 4 y + 9 = 0 的对称点, 则直线 AB 与 l 垂直,线段 AB 中点在直线 2x ? 4 y + 9 = 0 上。 解法 2 (相关点法) 设 B : (a, 是 A b) (2, 关于直线 2x ? 4 y + 9 = 0 2) 的对称点, 根据直线 AB 与 l 垂直, 线段 AB 中点在直线 2x ? 4 y + 9 = 0 上,
?1 b ? 2 ? 2 ? a ? 2 = ?1, 则有 ? ? ?2 ? a + 2 ? 4 ? b + 2 + 9 = 0, ? 2 2 ?

解得 a = 1, b = 4. ∴所求对称点的坐标为(1,4) 。 评注:①中点在 2x ? 4 y + 9 = 0 上;②所求点与已知点的连线与 2 x ? 4 y + 9 = 0 垂直。 4、直线关于直线的对称 例 4 求直线 l1 : x ? y ? 2 = 0 关于直线 l 2 : 3x ? y + 3 = 0 对称的直线 l 的方 程。 ,利用“相关点法”求 分析:设所求直线 l 上任一点为 P( x ′, y ′ ) 其对称点坐标,并将其对称点坐标代入直线 l1 方程进行求解。 解:设所求直线 l 上任意一点 P( x ′, y ′ ) P ? l 2 )关于 l 2 的对称点 ( 为 Q( x 1 , y1 ) ,
? x 1 + x ′ y1 + y ′ ? 4 x ′ + 3y ′ ? 9 ? , ?3 ? 2 ? 2 + 3 = 0, ?x 1 = ? ? 5 解得 ? 则? ′ ? y ? y1 = ?1, ? y = 3x ′ + 4 y ′ + 3 . ? 1 ? x ′ ? x1 5 ? ? ? 4 x ′ + 3 y ′ ? 9 3x ′ + 4 y ′ + 3 ? ? 2 = 0 ,解得 7 x ′ + y ′ + 22 = 0 。即直线 5 5 程为 7 x + y + 22 = 0 。

又因为点 Q 在 l1 上运动,则 x 1 ? y1 ? 2 = 0。

l 的方

评注:直线关于直线对称实质是点关于线的对称。此题还可在直 线 l1 上任取一点(非两直线交点)并求其关于直线 l 2 的对称点,则该 对称点与两直线交点的连线便是所求对称直线。 [例 1] 求点 A( ? 1,4 )关于直线 l : 2 x + 3 y ? = 0 的对称点。
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解:设点 A( ? 1,4 )关于 l 的对称点 B( x, y )
4+ y 7 ? ?1+ x ?2 ? 2 + 3 ? 2 ? 2 = 0 ∴ ? ? ? y ? 4 ? ( ? 2 ) = ?1 ? x +1 3 ?

∴ B( ? 3,1 )

[例 2] l1 : 3x ? 2 y + 2 = 0 , l : 2 x ? y = 0 ,求 l1 关于 l 的对称直线 l 2 。 解: ?
?3 x ? 2 y + 2 = 0 ? x = 2 ?? ?2 x ? y = 0 ?y = 4
4 3 5 5

A(0,1)在直线 l1 上,关于 l 对称点 B( x, y ) ∴ B( , ) 由两点式 ∴ l 2 : 17 x ? 6 y ? 10 = 0

例 4 求直线 l1:y=2x+3 关于直线 l:y=x+1 对称的直线 l2 的方程. 解 方法一 由 ? y = 2 x++ 3 ? y=x 1
?

知直线 l1 与 l 的交点坐标为(-2,-1) , ∴设直线 l2 的方程为 y+1=k(x+2), 即 kx-y+2k-1=0. 在直线 l 上任取一点(1,2) , 由题设知点(1,2)到直线 l1、l2 的距离相等, 由点到直线的距离公式得
k ? 2 + 2k ? 1 1 +k
2 2

=

2?2+3 2 2 + (?1) 2



解得 k= 1 (k=2 舍去),
2

∴直线 l2 的方程为 x-2y=0. 方法二 设所求直线上一点 P(x,y), 则在直线 l1 上必存在一点 P1(x0,y0)与点 P 关于直线 l 对称. 由题设:直线 PP1 与直线 l 垂直,且线段 PP1 的中点 P2 ? x + x 0 , y + y 0 ? 在直线 l 上. ? ? ? ?
?
2 2

?

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? y0 ? y ? 1 = ?1 ? ∴ ? x0 ? x ,变形得 ? x0 = y ? 1 , ? ? ? y0 = x + 1 ? y + y 0 = x + x0 + 1 ? 2 2 ?

代入直线 l1:y=2x+3,得 x+1=2×(y-1)+3, 整理得 x-2y=0. 所以所求直线方程为 x-2y=0.

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