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一种Mecanum 3轮多向运动系统及其几何结构条件


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一种 Mecanum 3 轮多向运动系统及其几何结构条件
王一治
上海大学机械电子工程与自动化学院,上海 (200072)
E-mail:wyz@shu.edu.cn

摘 要:常规 Mecanum 轮用于组成四轮全方位系统,而正交 Mecanum 轮用

于组成三轮全 方位系统,本文利用常规 Mecanum 轮构成一种 3 轮多向运动系统,详细分析了其运动学原 理,给出了构成系统的几何布局结构条件。 关键词:Mecanum 轮;三轮系统;多向运动;结构条件

0

前言
Mecanum 轮的特殊结构特征和特殊的运动学性能决定了 Mecanum 轮不能单独使用,

必须由多个轮子按一定方式构成适当的运动系统才能实现全方位运动。 全方位运动系统是指: 系统能实现平面上的 3 个自由度运动,即能实现车体纵向、横向及绕车体内某固定点旋转 3 个独立的运动自由度。常见的 Mecanum 轮运动系统的结构布局有两种,其一是三轮结构, 其二是四轮结构。 Mecanum 轮就本身结构而言, 而 有两种形式, 其一称为常规 Mecanum 轮, 特点是其外围一圈辊子与轮轴呈一定锐角夹角分布, 这种形式一般构成四轮全方位行走系统
[1,2,3]

。另一种是常规 Mecanum 轮的变形,其外围的辊子与轮轴呈 90o 垂直交叉布置,叫

Mecanum 正交轮, 常用于构成 3 轮全方位行走系统[4,5,6]。 但是全方位运动系统对轮组的布局 和角度都有要求, 并不是任意一种布局结构都能实现系统的全方位运动, 本文采用常规的斜 交 Mecanum 轮构成了一种新结构的多方向的三轮行走系统,能实现绕系统重心的定轴旋转 和三个方向的直线运动,在狭窄地形及及家居环境中具有良好的应用前景。

1 系统结构及其特点
图 1 所示是由常规 Mecanum 轮构成的 3 轮多向行走系统结构示意。系统中三个轮子的 旋转中心分别为 O1 , O2 , O3 ,O1 , O2 , O3 构成等边三角形,三角形的中心为 O 点。三个轮子的着 地辊子的辊子轴线分别与三角形的三个中垂线重合。设三个轮子的旋转速度为 ω1 , ω2 , ω3 ,当 采用不同的轮子旋转速度和方向的组合时,系统就可实现绕 C 点定轴正反向旋转运动,沿
OO1 的正反向运动,沿 OO2 的正反向运动,沿 OO3 的正反向运动。系统共实现 4 个方向的正

反向运动。

2

系统运动分析
因 Mecanum 轮系统速度一般 ≤ 5m / s ,可做如下合理假定: 1)车轮与地面为刚性体。 2)车轮在任何瞬时与地面保持接触。 当系统满足上述两条假定条件时。某瞬时第 i 轮与地面接触作用点表示为 Ei ,根据

2.1 轮与系统的运动关系

Mecanum 轮的结构特点[7],必存在一条直线通过 Ei 点分别与辊子轴及轮轴相交,设其交点 分别为 Ri , Oi ,本文称直线 Oi Ri Ei 为轮 i 与地面的作用法线,如图 5。 定义图 5 中各参数如下:
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r1 , r2 ——轮子、棍子的作用半径。

ji ,ki ——过点 Oi 垂直于 Oi Ri Ei 一对正交单位矢量, ji 方向同轮毂轴线。 gi , hi ——过点 Ri 垂直于 Oi Ri Ei 一对正交单位矢量, hi 方向同辊子轴线。

& θ&i , φi ——i 轮毂及棍子的角速度,方向分别按矢量 ji , hi 右手定则确定。
& & Oi ,Ri ——分别是过 Oi , Ri 点的速度矢量。 vi ——点 Oi 对点 Ri 的相对速度矢量。

α —— ji 与 hi 所夹锐角,定义为辊子偏置角。

图1

Mecanum 三轮多向行走系统结构

图2 Fig.2

Mecanum 轮运动原理

Fig.1 Configuration of motion system with three Mecanum wheels

Motion principle of the Mecanum wheel

根据 Mecanum 轮结构特点,用矢量分析法,据图 2 有: & & O =v +R
i i i

(1)
& & & Ri = ? r2 (θ i ki + φi gi )

(2)
& vi = ?θi (r1 ? r2 )ki

(3) 由(1)(2)(3)式得:
& & & Oi = ?r1θi ki ? r2φi gi

(4) 在(4)式两边同乘辊子轴线单位矢量 hi : 因: gi ? hi = 0, ki ? hi = sin α 有 : (5) (5)式即 Mecanum 轮转速与轮毂轴上 Oi 点之间的速度变换关系。说明当 Mecanum 轮
& 轴心上的行走速度矢量与轮子旋转速度 θi ,轮毂作用半径 ri ,辊子偏置角 α 相关,且它的方
Oi ? hi = ? r1θi sin α

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向与轮轴有固定的夹角 α 。

2.2

系统运动学关系
设三轮布局结构采用等边三角形,但各个驱动轮的轮轴方向还有各种各样的安装方式,

也会构成许多种不同运动特点的系统,但其运动学上还是存在优劣差别的,需要具体分析。 设某 3 轮系统中的 3 轮之间的关系是任意的,如图 3 所示。 O1 , O2 , O3 分别代表 3 个轮 轴中心, O1 , O2 , O3 分别表示 3 个轮的运动速度矢量。设 C 点是系统做定点旋转的旋转中心。 建立如图所示的笛卡尔坐标系,取 x 轴通过 O1 点, z 轴垂直于轮轴形成的公共平面。

图3 Fig.3

3 轮系统运动学关系

Motion relations of the three Mecanum wheeled system

令:
C = ?Cx C y ω z ? ; C 点广义速度。 ? ? Oi = ?Ox Oy ? , i = 1, 2,3 ; Oi 点的速度矢量。 ? ?
T T

据图 3,可得 3 轮等边三角形布局系统实现全方位运动的运动学条件是: 1)仅沿 x 轴运动时的运动学条件
? ? ωz = 0 ? 3 ? ?C y = ∑ Oyi = 0 i =1 ? 3 ? ?Cx = ∑ Oxi ≠ 0 i =1 ?

(6) 2)仅沿 y 轴运动时的运动学条件

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? ? ωz = 0 ? 3 ? ? Cx = ∑ Oxi = 0 i =1 ? 3 ? C y = ∑ Oyi ≠ 0 ? i =1 ?

(7) 3)仅绕 C 点旋转时的运动学条件
? ? ωz ≠ 0 ? 3 ? 3 ? ∑ Oyi = ω z ∑ xi i =1 ? i =1 n ?3 ∑ Oxi = ?ωz ∑ yi ? i =1 ? i =1

(8) (6) (8) (7) 式就是系统实现 x, y 方向移动及绕 z 轴旋转的 3 自由度运动的运动学条件。

3 系统布局结构的几何条件
3.1 系统运行性能对布局结构形式的要求
(1)制造经济性对结构的要求 对于一个实际的 Mecanum 轮运动系统,为了使制造经济合理,一般使系统中所有 Mecanum 轮的结构相同,即所有轮的几何尺寸及结构参数尽量相同。本系统中所有 3 个轮 的结构完全相同,几何参数,运动参数也相同也相同。 (2) 负载与行走稳定性对结构的要求 三轮运动系统作为机器人或其它行走系统的移动部分和基础部件, 要求不仅有一定的负 载能力, 而且必须满足静态和动态下的运动稳定性要求。 而三轮支撑行走系统的三个轮总能 构成三角形的支撑几何结构, 只要整个系统的重心在三角形内部, 则系统就能满足静态稳定 性要求。但对运动中的系统而言,满足静态稳定性条件,却不一定能满足动态稳定性要求。 综合而言,系统必须有一定的静态稳定裕量。静态稳定裕量是指:系统重心在地面上的投影 点到三个轮的支撑点构成的三角形三个边距离中的最小值。 由三角形几何学知, 当三角形的 面积相等时, 等边三角形的重心到三个边的距离相等且且最小距离最大化。 因此对三轮运动 系统采用等边三角形布局结构时系统的静态稳定裕量最大, 且全方位运动系统要求能实现平 面上三个方向的自由度运动, 各个方向的静态稳定裕量相等, 也就是系统在各个方向的运动 稳定性比较均衡, 这样的系统更具更有实际应用价值。 因而从系统负载及运动稳定性方面考 虑,本文提出的三轮 Mecanum 全方位运动系统的几何结构布局采用等边三角形布局。 设 Oi 点在坐标系 C ? xyz 中的坐标为 ( xi , yi ), i = 1, 2,3 。因系统做平面运动,根据图 2 有下 列运动学约束关系:
?Oxi = C x + yiω z ? ? ?Oyi = C y ? xiω z ?

(9) 由(8)(9)式有系统定轴旋转的条件:

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? ? ? ωz ≠ 0 3 ? ? ω z ∑ yi = 0 ? i =1 3 ? ?ω z ∑ xi = 0 ? i =1 ?

(10) 即满足下式:
? ?O1 + O2 + O3 = 0 ? ? O = O2 = O3 ? 1

(11) 由(10)、(11)式可得 3 轮定轴旋转的条件是: O1 , O2 , O3 的方向必然与 ?O1O2 O3 的 3 条中 垂线夹角相同且不等于直角, 也就是说: 系统绕重心 C 点定轴旋转时三个轮的速度大小必须 相等,且方向相同。 显而易见, 满足上述绕重心旋转的几何条件的系统, 必能实现沿轮支撑三角形的任一中 垂线的直线运动。 总之系统能实现三个方向的直线运动和一个绕中心的定轴旋转运动。 但仍 不能称为严格意义上的三自由度运动。

4 系统的运动学原理
下面具体分析 3 个常规 Mecanum 轮构成的以等边三角形布局结构形式下的运动学原理。 轮转速用 ω1 , ω2 , ω3 表示,俯视图上的方向箭头表示轮子上表面的旋转方向,实例中 3 个轮子 的辊子轴向与 3 条中垂线重合, 这样的布局方式, 其系统行走效率较辊子轴线与中垂线有夹 角者高。系统中心处运动方向用 C 点的速度箭头表示。沿四个方向的运动,系统运动学原理 如图 4 所示,图中未标明旋转速度的轮子的速度为零,即轮不旋转。

5 结论
(1) (2) (3) 利用 3 个完全相同的常规 Mecanum 轮子可组成一种可实现 3 个方向的直线运动和一 实现上述运动的几何机构条件是:三个轮子的旋转中心位于等边三角形的三个顶点 系统能实现的运动指:沿系统结构三角形的三个中垂线的正反方向直线运动及绕系统 个绕系统中心定轴旋转的运动系统,且系统具有较好的动态稳定性。 上,且辊子轴线方向与三角形的三条中垂线具有相同的夹角,夹角值要求是零度或锐角。 中心的定点旋转运动。

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图4

系统运动原理

Fig.4 Motion Principle of the system

参考文献
[1] Jefri Efendi Mohd Salih, Mohamed Rizon, et al. Designing Omni-Directional Mobile Robot with Mecanum Wheel[J]. American Journal of Applied Sciences, 2006,3(5): 1831-1835. [2] Fiegel, O., A. Badve and G. Bright, et al., Improved mecanum wheel design for omnidirectional robots[C]// Proc. Australasian Conf. Robotics and Automation, Auckland, 2002: 117-121. [3] Peter Xu. Mechatronics Design of a Mecanum Wheeled Mobile Robot[C]//Cutting Edge Robotics, Germany, July 2005:61-74. [4] Jorge Angeles, 宋伟刚 译. 机器人机械系统原理理论、方法和算法[M]. 北京, 机械工业出版社,2004: 292-318. [5] Guy Campion, Georges Bastin, et al., Structural Properties and Classification of Kinematics and Dynamic Models of wheeled Mobile Robots[C]// IEEE transactions on robotics and automation. 1996,12(1)1: 47-62 [6] 闫国荣, 张海兵. 一种新型轮式全方位移动机构.哈尔滨工业大学学报[J],2001,33(6):854-857. [7] 王一治,常德功. Mecanum 轮结构特征及运动误差[J].中国科技论文在线,2008:200801-312 http://www.paper.edu.cn/paper.php?serial_number=200801-312

An omnidirectional Motion system with Three Mecanum wheels And its configuration conditions
Wang Yizhi
School of Mechanical and Electronics Engineering and Automation,Shanghai University, Shanghai (200072) Abstract The traditional Mecanum wheel is used to make the four wheels motion system and orthogonal wheels to three wheels motion system. An Omnidirectional motion system with three traditional Mecanum wheels is presented, then its motion characteristic is analyzed and the configuration conditions are given. Keywords:Mecanum wheel;Three wheels wheeled system;Omnidirectional motion;configuration conditions

作者简介:王一治(1966-),男,博士生,高级工程师. 研究领域:机器人技术与应用。

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