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【师说】2015高考数学(理)一轮复习课后练习:11.3 复数的概念及运算]


11.3

复数的概念及运算

一、选择题 1.若(x-i)i= y+2i, x、y∈R,则复数 x+y i=( ) A.-2+ i B.2+ i C.1-2i D.1+2i 解析:由题意得,xi+1=y+2i,故 x=2,y=1,即 x+y i=2+ i. 答案:B 1+i 2011 2.i 为虚数单位,则( ) =( ) 1-i A.-

i B.-1 C.i D.1 1+i ?1+i??1+i? 2011 4 ×502+ 3 3 解析:因为 = =i,所以原式= i =i =i =-i. 1-i 2 答案:A 1+ai 3.设 i 是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数 a 为( ) 2-i 1 1 A.2 B.-2 C.- D. 2 2 1+ai ?1+ai??2+i? 2-a+?2a+1?i 解析:方法一: = = 为纯虚数, 2-i ?2-i??2+i? 5 所以 2-a=0,a=2; 1+ai i?a-i? 方法二: = 为纯虚数,所以 a=2. 2-i 2-i 答案:A 2-i 4.复数 z= (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) 2+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2-i ?2-i??2-i? 3 4 解析:z= = = - i,其在复平面内对应的点在第四象限. 2+i 5 5 5 答案:D x 5. 设集合 M={y|y=|cos2 x-sin2 x|, x∈R}, N={x|| |<1, i 为虚数单位, x∈R}, 则 M∩N i 为( ) A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1] x 解析: 对于集合 M, 函数 y=|cos2x|, 其值域为[0,1], 所以 M=[0,1]. 由于| |=|-xi|=|x|, i 故-1<x<1,所以 N=(-1,1),则 M∩N=[0,1). 答案:C 2 2 2 6.已知复数 z1 =x + x +1i、z2 =(x +a)i,对任意 x∈R 均有|z1 |>|z2 |成立,则实数 a 的取值范围为( ) 1 1 A.(-1,- ] B.(-1, ) 2 2 1 1 C.[-1, ) D.(-1, ] 2 2 4 2 2 4 2 2 解析:|z1 |= x +x +1,|z2 |=|x +a|,因为|z1 |>|z2 |,所以有 x +x +1>|x +a|,即(1 1 1 - 2a)x2 + (1 - a2) > 0 恒 成 立 , 当 1 - 2a = 0 即 a = 时 , 1 - > 0 恒 成 立 , 或 2 4

? ?1-2a>0 1 1 ? ?-1<a< . 所以 a 的取值范围是(-1, ].故选 D. 2 2 2 ?Δ=-4? 1-2a??1-a ?<0 ?

答案:D 二、填空题 7.设复数 z 满足 i(z+1)=-3+2i(i 为虚数单位),则 z 的实部是__________. -3+2i 解析:z= -1=1+3i,所以 z 的实部是 1. i 答案:1 1- 3i t 8.设 t 是实数,且 + 是实数,则 t=______________. 2 1- 3i 1- 3i t?1+ 3i? 1- 3i 2+t 3?t-2? t 解析: + = + = + i,当 t=2 时,为实数 1. 2 4 2 4 4 1- 3i 答案:2 9.设 z1 是复数,z2 =z1 - i z 1 (其中 z 1 表示 z1 的共轭复数),已知 z2 的实部是-1,则 z2 的虚部为__________. 解析:设 z1 =a+bi,则 z 1 =a-bi, ∴z2 =z1 -i z 1 =a+bi- i(a-bi)=a-b+(b-a)i; ∵z2 的实部是-1,即 a-b=-1,∴b-a=1,即 z2 的虚部为 1;故填 1. 答案:1 三、解答题 2 a +2a-15 2 10.要使复数 z=a -a-6+ i 为纯虚数,其中的实数 a 是否存在?若存在, a2 -4 求出 a 的值;若不存在,说明理由. 解析:假设 z 为纯虚数,

? ① ? 则有?a +2a-15 ≠0. a -4 ? ?②
2 2

a2 -a-6=0,

)

由①得 a=-2 或 a=3. 当 a=-2 时,②式左端无意义. 当 a=3 时,②式不成立. 故不存在实数 a,使 z 为纯虚数. ?1+i?3 ?a+bi? 11.复数 z= (a,b∈R),且|z|=4,z 对应的点在第一象限,若复数 0,z, 1-i z 对应的点是正三角形的三个顶点,求实数 a,b 的值. ?1+i? · ?1+i? (a+bi) 1-i =2i· i(a+b i)=-2a-2bi. 由|z|=4,得 a2 +b2 =4. ① 解析:z= ∵复数 0,z, z 对应的点构成正三角形, ∴|z- z |=|z|. 把 z=-2a-2bi 代入化简,得 a2 =3b2 ,② 代入①得,|b|=1. 又∵z 对应的点在第一象限,∴a<0,b<0.
2

由①②得?

?a=- 3, ?b=-1,

故所求值为 a=- 3,b=-1. 12.设复数 z 满足 4z+2 z =3 3+i,ω=s inθ-icos θ,求 z 的值和|z-ω|的取值范围. 解析:设 z=a+bi,(a,b∈R),则 z =a-bi. 代入 4z+2 z =3 3+i,得 4(a+bi)+2(a-bi)=3 3+i, 即 6a+2bi=3 3+i.

?a= 23, ∴? 1 ?b=2.
|z-ω|=|

∴z=

3 1 + i. 2 2

3 1 + i-(sinθ-icos θ)| 2 2 3 1 = ? -sinθ?2 +? +cos θ?2 2 2 π = 2-2sin?θ- ?. 6 π ∵-1≤sin(θ- )≤1, 6 π ∴0≤2-2sin(θ- )≤4. 6 ∴0≤|z-ω|≤2.


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