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【学案导学设计】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修1-1)作业:2.3.1抛物线及其标准方程


§2.3 抛物线 2.3.1 抛物线及其标准方程
课时目标 1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标 及对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程.

1.抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离________的点的轨迹叫做抛物 线,点 F 叫做抛物线的________,直线 l 叫做抛

物线的________. 2.抛物线的标准方程 (1)方程 y2=± 2px,x2=± 2py(p>0)叫做抛物线的________方程. 2 (2)抛物线 y =2px(p>0)的焦点坐标是__________,准线方程是__________,开口方向 ________. (3)抛物线 y2=-2px(p>0)的焦点坐标是____________,准线方程是__________,开口方 向________. (4) 抛物线 x2 = 2py(p>0) 的焦点坐标是 ________ ,准线方程是 __________ ,开口方向 ________. (5) 抛物线 x2 =- 2py(p>0) 的焦点坐标是 ________ ,准线方程是 ________ ,开口方向 ________.

a D.- 2 x2 y2 2.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在双曲线 - =1 上,则抛物线方 4 2 程为( ) A.y2=8x B.y2=4x C.y2=2x D.y2=± 8x p 2 3.抛物线 y =2px(p>0)上一点 M 到焦点的距离是 a(a> ),则点 M 的横坐标是( ) 2 p p A.a+ B.a- 2 2 C.a+p D.a-p 4.过点 M(2,4)作与抛物线 y2=8x 只有一个公共点的直线 l 有( ) A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.3 条 5.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线 段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 6.设抛物线 y2=2x 的焦点为 F,过点 M( 3,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与 S△BCF 抛物线的准线相交于点 C,|BF|=2,则△BCF 与△ACF 的面积之比 等于( ) S△ACF 4 2 4 1 A. B. C. D. 5 3 7 2 1 2 3 4 5 6 题号

一、选择题 1.抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( |a| |a| A. B. C.|a| 4 2

)

答案 二、填空题 7.抛物线 x2+12y=0 的准线方程是__________. 8. 若动点 P 在 y=2x2+1 上, 则点 P 与点 Q(0, -1)连线中点的轨迹方程是__________. 9.已知抛物线 x2=y+1 上一定点 A(-1,0)和两动点 P,Q,当 PA⊥PQ 时,点 Q 的横 坐标的取值范围是______________. 三、解答题 10.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离 等于 5,求抛物线的方程和 m 的值,并写出抛物线的焦点坐标和准线方程.

11.求焦点在 x 轴上且截直线 2x-y+1=0 所得弦长为 15的抛物线的标准方程.

能力提升 12.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切,则 p 的值为( 1 A. B.1 C.2 D.4 2 13.求与圆(x-3)2+y2=9 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程.

)

1.四个标准方程的区分:焦点在一次项字母对应的坐标轴上,开口方向由一次项系数 的符号确定.当系数为正时,开口方向为坐标轴的正方向;系数为负时,开口方向为坐标轴 的负方向. 2.焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程 x2=2py 通常又可以写成 y=ax2,这与以前学习 的二次函数的解析式是完全一致的,但需要注意的是,由方程 y=ax2 来求其焦点和准线时, 必须先化成标准形式.

§ 2.3 抛物线 2.3.1 抛物线及其标准方程 答案
知识梳理 1.相等 焦点 准线 p p 2.(1)标准 (2)( ,0) x=- 向右 2 2 p p (3)(- ,0) x= 向左 2 2 p p (4)(0, ) y=- 向上 2 2 p p (5)(0,- ) y= 向下 2 2 作业设计 |a| |a| 1.B [因为 y2=ax,所以 p= ,即该抛物线的焦点到其准线的距离为 ,故选 B.] 2 2 x2 y2 2.D [由题意知抛物线的焦点为双曲线 - =1 的顶点,即为(-2,0)或(2,0),所以抛 4 2 2 2 物线的方程为 y =8x 或 y =-8x.] p 3.B [由抛物线的定义知:点 M 到焦点的距离 a 等于点 M 到抛物线的准线 x=- 的 2 p 距离,所以点 M 的横坐标即点 M 到 y 轴的距离为 a- .] 2 2 4.C [容易发现点 M(2,4)在抛物线 y =8x 上,这样 l 过 M 点且与 x 轴平行时,或者 l 在 M 点处与抛物线相切时,l 与抛物线有一个公共点,故选 C.] p 5.B [∵y2=2px 的焦点坐标为( ,0), 2 p p ∴过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x- ,即 x=y+ ,将其代入 y2=2px 得 2 2 y1+y2 y2=2py+p2,即 y2-2py-p2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=2p,∴ =p 2 2 =2,∴抛物线的方程为 y =4x,其准线方程为 x=-1.] 6.A [如图所示,设过点 M( 3,0)的直线方程为 y=k(x- 3),代入 y2=2x 并整理, 得 k2x2-(2 3k2+2)x+3k2=0,

2 3k2+2 则 x1+x2= . k2 因为|BF|=2,所以|BB′|=2. 1 3 不妨设 x2=2- = 是方程的一个根, 2 2

3 , 3 ? - 3?2 ?2 ? 所以 x1=2. 1 |BC|· d S△BCF 2 |BC| |BB′| = = = |AC| |AA′| S△ACF 1 |AC|· d 2 2 4 = = .] 1 5 2+ 2 7.y=3 解析 抛物线 x2+12y=0,即 x2=-12y,故其准线方程是 y=3. 8.y=4x2 9.(-∞,-3]∪[1,+∞) 2 解析 由题意知,设 P(x1,x2 1-1),Q(x2,x2-1), → → 又 A(-1,0),PA⊥PQ,-*6]=(-x,-2-y),PB· PQ=0, 2 2 2 即(-1-x1,1-x1)· (x2-x1,x2-x1)=0, 2 也就是(-1-x1)· (x2-x1)+(1-x2 (x2 1)· 2-x1)=0. 1 1 ∵x1≠x2,且 x1≠-1,∴上式化简得 x2= -x = +(1-x1)-1, 1-x1 1 1-x1 由基本不等式可得 x2≥1 或 x2≤-3. 10.解 设抛物线方程为 y2=-2px (p>0), p - ,0?,由题意, 则焦点 F? ? 2 ? 可得 k2= m =6p, ? ? 得? 2 ? p?2 ? m +?3-2? =5, ?
2

?p=4, ?p=4, 解得? 或? ?m=2 6, ?m=-2 6.
故所求的抛物线方程为 y2=-8x,m=± 2 6. 抛物线的焦点坐标为(-2,0),准线方程为 x=2. 11.解 设所求抛物线方程为 y2=ax (a≠0). ① 直线方程变形为 y=2x+1, ② 设抛物线截直线所得弦为 AB. ②代入①,整理得 4x2+(4-a)x+1=0, a-4?2 1 则|AB|= ?1+22??? -4× ?= 15. 4? ?? 4 ? 解得 a=12 或 a=-4. ∴所求抛物线方程为 y2=12x 或 y2=-4x. 12.C [本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系. p 方法一 由抛物线的标准方程得准线方程为 x=- . 2 2 2 ∵准线与圆相切,圆的方程为(x-3) +y =16, p ∴3+ =4,∴p=2. 2 方法二 作图可知,抛物线 y2=2px (p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切于点(-1,0), p 所以- =-1,p=2.] 2 13.解 设定圆圆心 M(3,0),半径 r=3,动圆圆心 P(x,y),半径为 R,则由已知得下

列等式

? ?|PM|=R+3 ? , ?|x|=R ?

∴|PM|=|x|+3. 当 x>0 时,上式几何意义为点 P 到定点 M 的距离与它到直线 x=-3 的距离相等, ∴点 P 轨迹为抛物线,焦点 M(3,0),准线 x=-3, ∴p=6,抛物线方程为 y2=12x.

当 x<0 时,|PM|=3-x, 动点 P 到定点 M 的距离等于动点 P 到直线 x=3 的距离,点 P 轨迹为 x 轴负半轴, 当 x=0 时,不符合题意,舍去. ∴所求轨迹方程为 y2=12x (x>0)或 y=0 (x<0).


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