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安徽省淮南市2015届高三第一次模拟考试数学理试题(Word版含答案)


安徽省淮南市 2015 届高三第一次模拟考试数学(理科)试卷
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的) .

1.复数 z ?
A. 2i

4 ? 3i 的虚部为 2?i
B. ?2i C. ?2 D. 2

r />2 集合 A ? {x ? N A.8 B. 4

3 ? 1}, B ? {x ? N log 2 ( x ? 1) ? 1}, 则集合 A ? B 的子集个数为 x
C. 3 D. 2

3. 设 A,B 为两个不相等的集合,条件 p: x ? ( A ? B ) , 条件 q: x ? ( A ? B ) ,则 p 是 q的 A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知一个空间几何体的三视图如图所示, 且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上, 则球的表面积是 28 7 49 28 A. B. ? C. D. ? ? ? 3 3 9 9

5. 将函数 y= cosx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向右平移 个单位,所得函数图象的一条对称轴方程是 A. x ? ? B. x ?

?
4

?
2

C. x ?

?
3

D. x ?

?
4

6.已知定义域为 R 的偶函数 y ? f ( x) 满足 f (2 ? x) ? f ( x), 且当 0 ? x ? 1, f ( x) ? sin 则 f (2014) ? f (2015) 的值为 A.1 B.-1
1 3

?
2

x,

C. 2

D.-2

7. 设函数 y ? x 与 y ? ( ) x 的图象的交点为(x0,y0),则 x0 所在的区间是 A. ( ,1)

1 2

1 2 1 1 B. ( , ) 3 2

C. ( , )

1 1 4 3

D. (0, )

1 4

8.

已 知

A,B,C

三 点 共 线 , {a n }为等差数列,且OC ? a 2 OA ? a12 OB , 则

a3 ? a15 ? a11的值为
A. 1 B. -1 C.
1 2

D. ?

9. .对于函数 f ( x), g ( x) 和区间 D ,如果存在 x0 ? D ,使得 | f ( x0 ) ? g ( x0 ) |? 1 ,则称 x0 是
函数 f ( x) 与 g ( x) 在区间 D 上的“亲密点” 。现给出四对函数: ① f ( x) ? x , g ( x) ? 2 x ? 2 ; ② f ( x) ?
2

1 2

x , g ( x) ? x ? 2 ;

③ f ( x) ? e x , g ( x) ? x ? 1 ; ④ f ( x) ? ln x, g ( x) ? x 则在区间 (0, ??) 上存在唯一 “亲密点”的是 .. A. ①③ B.③④
2 2

C. ①④

D.②④

10.已知圆 M: ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 2, 四边形 ABCD 为圆 M 的内接正方形, E、F 分别为 ???? ???? 边 AB、AD 的中点,当正方形 ABCD 绕圆心 M 转动时, ME ? OF 的取值范围是 A. [ ? 5 2 ,5 2 ] B.[ ? 5,5 ] C.[ ? 10 2 ,10 2 ] D.[ ? 10,10 ]

二、填空题: (本大题共 5 小题,5 每小题 5 分,共 25 分) 11.已知f ( x) ? a sin x ? bx 3 ? 6(a, b为常数) , 且f (log 2 3) ? ?2, 则f (log 1 3) ?
2

? y?x ? 12. 已知 z ? 2 x ? y , 其中实数 x, y 满足 ? x ? y ? 2 , 且 z 的最大值是最小值的 2 倍, 则a 的 ? x?a ?
值是 13.已知Δ ABC 三条边 a,b,c 成公比大于 1 的等比数列,则 14. 已知双曲线

sin A ? cos A tan C 的范围 sin B ? cos B tan C

y2 2 ? x 2 ? 1一个焦点 与抛物线 x ? ay ( a >0)的焦点 F 重合, O 为原点, 3

点 P 是抛物线准线上一动点,点 A 在抛物线上,且 AF ? 4 ,则 PA ? PO 的最小值 为 15.设异面直线 a,b 所成角为 ? ,点 P 为空间一点(P 不在直线 a,b 上) ,有以下命题 ①过点 P 存在唯一平面与异面直线 a,b 都平行 ②若 ? ? ③若 ? ?

? ?
2

, 则过点 P 且与 a,b 都垂直的直线有且仅有 1 条. , 则过点 P 且与 a,b 都成

? 直线有且仅有 3 条. 3 3 ? ? ? ④若过点 P 且与 a,b 都成 直线有且仅有 4 条,则 ? ? ( , ) . 3 3 2 ? ? ? ⑤若过点 P 且与 a,b 都成 直线有且仅有 2 条,则 ? ? ( , ) . 3 6 3
其中正确命题的序号是_________(请填上所有正确命题的序号)

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题 12 分)

x x x 已知函数f ( x) ? 3 sin cos ? cos 2 4 4 4 2 (Ⅰ)若 f (? ) ? 1 ,求 cos( ? ? ? ) 的值; 3
(Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C , 求 f ( A) 的取值范围。

17. (本小题 12 分)

已知定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数 x、y,恒有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,有 f(x)<0。 (Ⅰ)求证:f(x)为奇函数且在 R 上是减函数; 1 4 (Ⅱ)若 正数x, y满足 ? ? 1, 且f ( x) ? f ( y ) ? f (1 ? m) ? 0恒成立, x y 求 m 的范围。

18. (本小题 12 分) 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC , A1 B ? 平面 ABC,且 AB ? AC ? A1 B ? 2 . (Ⅰ)若 P 为棱 B1C1 的中点,求出二面角 P ? AB ? A1 的 平面角的余弦值. (Ⅱ)证明:平面 ABC 与平面 ACC1 A1 一定不垂直
C1 B1 A1

C B

A

19. (本小题 13 分) 已知椭圆 C 中心在原点 O,对称轴为坐标轴,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率 e ? 过点 A(1, ) 。 (Ⅰ)椭圆 C 的标准方程. (Ⅱ)已知 P、Q 是椭圆 C 上的两点,若 OP ? OQ ,求证:

1 ,且经 2

3 2

1 OP
2

?

1 OQ
2

为定值

(Ⅲ)当

1 OP
2

?

1 OQ
2

为(Ⅱ)所求定值时,试探究 OP ? OQ 是否成立?并说明理由.

20. (本小题 13 分)

1,0)处切线方程为y ? x ? 1 已知函数 f ( x) ? ax ln x ? b(a, b为常数)在(
(Ⅰ)试求 a, b 的值. (Ⅱ)若方程 f ( x) = m 有两不等实数根,求 m 的范围.
/ (Ⅲ) g ( x) ? f ( x), A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )为y ? g ( x)曲线上不同两点 ,

记直线 AB 的斜率为 k,证明:

k ? g ?(

x1 ? x 2 ). 2

21. (本小题 13 分) 已 知 数 列 {a n } 满 足 a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ?

n a n ?1 ( n ? N * ) , 数 列 {bn } 为 等 比 数 列 , 2

a1 ? b1 ? 2, a 2 ? b2
(I)求{

a n }、{ bn }的 通项公式。 cn
}。设 Tn 是数

(II)若对每个正整数 k,在 bk 和 bk ?1 之间插入 a k 个 2,得到一个新数列{ 列{

cn

}的前 n 项和,试求满足 Tm ? 2c m ?1 的所有正整数 m.

安徽省淮南市 2015 届高三第一次模拟考试数学(理科)试卷答案

(Ⅱ)由 2 sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cos C 知 2 sin A cos B ? sin( B ? C ) ? sin A, cos B ?

? B ? (0, ? ),? B ? ? f ( A) ? sin(

?
3

, A ? (0,

A ? 1 ? )? 2 6 2 ? A ? ? 1 A ? ? ? ? ? , ? sin( ? ) ? 1 6 2 6 2 2 2 6 3 ? f ( A) ? (1, ) …………………………………………..12 分 2

2? ) …………………………………9 分 3

1 2

17、 (Ⅰ)证明:令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? 0 ………………..1 分 又 f ( x) ? f (? x) ? f ( x ? x) ? f (0) ? 0

? f ( x) 为奇函数……………………………………..3 分
任取 x1 ? x 2 ,

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x 2 ? x1 ) ? 0 ………………….5 分

即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ∴ f ( x) 为奇函数且在 R 上是减函数????????6 分 (Ⅱ)解:由 f ( x) ? f ( y ) ? ? f (1 ? m) ? f (m ? 1) 又(Ⅰ)得知: f ( x ? y ) ? f (m ? 1) 恒成立

从而 m ? 1 ? x ? y 恒成立………………………..9 分 ∵ x ? y ? ( x ? y )(

1 4 y 4x y 4x ? ) ? 5? ? ? 5?2 ? ?9 x y x y x y

∴ m ? 1 ? 9 ∴ m ? 10 .........................12 分 18. C1 (Ⅰ) 解:以 A 为原点建立空间直角坐标系(如图) ,

A1 P

z

A(0,0,0), B(0,2,0), C (2,0,0), A1 (0,2,2) B1 (0,4,2), C1 (2,2,2), P(1,3,2)
…… 2 分
x C B A

设平面 P ? AB ? A1 的法向量为 n1 ? ? x, y, z ? ,

??

?? ??? ? ? ?n1 ?AP ? 0 则 ? ?? ??? , ? ? ?n1 ?AB ? 0
令 z ?1

即?

?x ? 3y ? 2z ? 0 2y ? 0 ?
??4 分

y

故 n1 ? ? ?2, 0, 1?

??

平面 ABA1 的法向量 n2 =(1,0, 0) ,且二面角平面角为锐角………………..5 分

?? ?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ?n2 2 2 5 则 cos n1 , n2 ? ?? ?? ? ? ?? 5 5 n1 n2
故二面角 P ? AB ? A1 的平面角的余弦值是

2 5 . 5

????7 分

(Ⅱ)证明:假设平面 ABC 与平面 AA1CC1 垂直………………………………8 分 因为 AB ? AC ,平面 ABC 与平面 ACA1C1 交线为 AC 所以 A B ? 平面 ACA1C1 ,AB ? AA1 ……………………………………10 分 又 A1 B ? 平面 ABC, A1 B ? AB 故矛盾,从而假设错误,原命题正确 即平面 ABC 与平面 ACA1C1 一定不垂直………………………..............12 分 注:本题也可运用空间坐标计算平面 ABC 与平面 ACA1C1 法向量不垂直。

x2 y 2 3 19(Ⅰ)解:由题意: 设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 (a>b>0),把点 A(1, ) 代入椭圆方程, a b 2
把离心率 e ?

1 用 a, c 表示及 a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a ? 2, b ? 3 , 2

故椭圆方程;

x2 y2 ? ? 1 ……………………………………..4 分 4 3
1 OP
2

?

1 OQ
2

?

(Ⅱ)证明:①若 P、Q 分别为长轴和短轴的端点,则 ②若 P、Q 都不为长轴和短轴的端点, 设 OP: y ? kx; 那么 OQ:

7 12

...................5 分

y??

1 x.P ( xP , yP ), Q ( xQ , yQ ) k

? x2 y 2 ?1 ? ? , 3 ?4 12 12k 2 2 2 x ? , y ? ? y ? kx P P 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 联立方程 ? 解得

? x2 y 2 ? ?1 ? ?4 3 ? 12k 2 12 2 2 ? y??1x xQ ? 2 , yQ ? 2 ; k ,解得 ? 3k ? 4 3k ? 4 ...............................7 分 同理联立方程 ?
7k 2 ? 7 7 ? 2 12k ? 12 12

?

1 OP
2

?

1 OQ
2

?

1 12 12k 2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
? 1 OQ
2

?

1 12k 2 12 ? 2 2 3k ? 4 3k ? 4

?

1
综合①②可知

OP

2

7 为定值 12 ..........................................................9 分

1
(Ⅲ) 解: 对于 C 上的任意两点 P、 Q,当
2 xP ?

OP

2

?

1 OQ
2

?

7 12

时,设

OP : y ? k1 x, OQ : y ? k2 x,

易得

2 1 1 7 12k12 12k2 12 12 2 2 2 ? ? , y ? ; x ? , y ? , 2 2 P Q Q 2 2 12 OQ 4k12 ? 3 4k12 ? 3 4k 2 ?3 4k 2 ? 3 由 OP 得

2 4k12 ? 3 4k2 ?3 7 ? ? , 2 2 12k1 ? 12 12k2 ? 12 12
2 2 2 2 8k12 k2 ? 7 k12 ? 7 k2 ? 6 ? 7(k12 k2 ? k12 ? k2 ? 1),



亦即

k1k2 ? ?1,

………………..12 分

1
所以当

OP

2

?

1 OQ
2

7 为定值 12 时, OP ? OQ 不一定成立………………………..13 分

(Ⅲ)证明:由 g ( x) ? 1 ? ln x , y1 ? 1 ? ln x1 , 从而 k ?

ln x 2 ? ln x1 ln x 2 ? ln x1 2 , 即证: ? x 2 ? x1 x 2 ? x1 x1 ? x 2 2( x 2 ? x1 ) x 2 ? x1

即证: ln x 2 ? ln x1 ?

x2 ?1 x2 x1 x 2(t ? 1) ?2 即证: ln ,令 t ? 2 ? (1,??), 即证: ln t ? ????????10 分 x2 x1 x1 t ?1 ?1 x1
令 ? (t ) ? lnt ?
'

2(t ? 1) (t ? 1) t ?1

1 (t ? 1) ? (t ? 1) 1 4 (t ? 1) 2 ? 4t (t ? 1) 2 ? (t ) ? ? 2 ? ? ? ? ?0 t t (t ? 1) 2 t (t ? 1) t (t ? 1) (t ? 1) 2
∴ ? (t )在(1,??)单增, ? (t ) ? ? (1) ? 0 从而 ln t ?

2(t ? 1) ∴原式得证?????????????.13 分 t ?1

21、解(Ⅰ)由 a1 ? a 2 ? ... ? a n ?

a1 ? a 2 ? ... ? a n ?1
①-②得: a n ? ∴

n n ?1 a n ?1 ? a n , na n ?1 ? (n ? 1)a n 2 2

n a n ?1 ??①得 2 n ?1 ? a n ??② 2

[

(n ? 2) ??????2 分

a n ?1 n ? 1 a 1 ? (n ? 2), 又当 a1 ? a 2 , a 2 ? 4 , 2 ? 2 也满足 an n a1 2



a n ?1 n ? 1 a a a 2 3 n ? (n ? N ? ) ,从而 2 ? 3 ...... n ? ? ...... ? n ???.4 分 an n a1 a 2 a n ?1 1 2 n ?1

即 a n ? 2n, b1 ? 2, b2 ? a1 ? 4, bn ? 2 n ??????6 分

从而

cm ?1 必是数列 {b } 中的某一项 b ,则 n k ?1
a11 a2 ak

? 2 ? b2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 2 ? b3 ? ? ? bk ? 2 ? 2? ?? ? 2 Tm ? b1 ? 2 ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
= 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 k ? 2(a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a k )

? 2(2k ? 1) ? 2 ?

(2 ? 2k )k ? 2k ?1 ? 2k 2 ? 2k ? 2 2 ,...................................................11 分

又 2c m ?1 ? 2bk ?1 ? 2 ? 2 k ?1 所以 2
2 k ?1

? 1 ? k 2 ? k ? k (k ? 1) ,因为 2k ? 1(k ? N ? ) 为奇数,

而 k ? k ? k (k ? 1) 为偶数,所以上式无解. 即当 m ? 3 时,

Tm ? 2cm ?1 .综上所述,满足题意得正数仅有 m ? 2 .....................13 分


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