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湖北省孝感市2012-2013学年度高中三年级第二次统一考试理科数学试卷


湖北省孝感市 2012-2013 学年度高中三年级第二次统一考试
数学试卷(理科)
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,请考生务必将自己的姓名、准考证号填写(涂)在试题卷和答题卡上. 2.考生答题时,选择题请用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请 按照题号顺序在各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答

案无效. 3. 考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 z ? A.第一象限

i 2013 ,则复数 z 在复平面内对应的点位于( 1? i
B.第二象限 C.第三象限

) D.第四象限 ) D.既不充分也不必

2. “ a =1”是“函数 f ?x? ? x ? a 在区间 ?1,??? 上为增函数”的( A.充要条件 要条件 ( A. ) B.必要不充分条件 C.充分不必要条件

3. 设随机变量 ? 服从正态分布 N ? 3, 4? ,若 P ?? ? 2a ? 3? ? P?? ? a? 2? ,则 a 的值为

7 3

B.

5 3

C.5

D.3

4. 在等比数列 ?an ? 中,若 a4 , a8 是方程 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 的两根,则 a6 的值是 ( )
A. ? 3 B. ? 3 C. 3 D. ? 3

? x?0 ? 5. 若 A 为不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变 ?y ? x ? 2 ?
化到 1 时,动直线 x ? y ? a 扫过 A 中的那部分区域的面积为( )

开始 输入 M,N 否

3 A. 4
6. 已知 M ?

7 B. 4

C.1
?
2 0

D.5

M ?N?


?

1

0

1 ? x dx, N ? ? cosxdx , 由如右程序框图输出的
2

S?N
输出 S

S?M

S ?(
A. 1

) B.

?
2

C.

?
4

D. ? 1

结束

第 6 题图

7. 已知 ? , ? , ? 是三个互不重合的平面, l 是一条直线,下列命题中正确命题是( ) A.若 ? ? ? , l ? ? ,则 l // ? C.若 l ? ? , l ∥ ? ,则 ? ? ? B.若 l 上有两个点到 ? 的距离相等,则 l // ? D.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ?
1

8. 有 9 名翻译人员,其中 6 人只能做英语翻译,2 人只能做韩语翻译,另外 1 人既可做英 语翻译也可做韩语翻译. 要从中选 5 人分别接待 5 个外国旅游团,其中两个旅游团需要 韩语翻译,三个旅游团需要英语翻译,则不同的选派方法数为( ) A.900 B.800 C.600 D.500 9. 已知点 P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右支上一动点,M ,N 分别是圆 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 4 和 9 16 2 2 ( x ? 5) ? y ? 1 的动点,则 PM ? PN 的最大值为( )
B.7 C.8 D.9

A.6

10. 定义域为 [ a, b] 的函数 y ? f ( x) 图像的两个端点为 A 、 B , M ( x, y ) 是 f ( x ) 图象上任 意一点, 其中 x ? ?a ? (1 ? ? )b ,x ? [a, b] , 已知向量 ON ? ?OA ? (1 ? ?)OB( O 为 坐标原点).若不等式 MN ? k 恒成立,则称函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上“k 阶线性近似” . 已知函数 y ? x ? A. [0, ??) D. [ ? 2, ??) 二、填空题:本大题共 6 小题,考试共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填 在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11-14 题) 11. (2 ? x )8 展开式中不含 x 4 项的系数的和为 .. . 正视图 侧视图

1 在 [1,2] 上“k 阶线性近似” ,则实数 k 的取值范围为( x 1 3 B. [ , ?? ) C. [ ? 2, ??) 12 2



3 2

12. 一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图和侧视图均是腰长为 6 的等腰直角三角形.则它的体积为 . 13. 二维空间中圆的一维测度(周长) l ? 2?r ,二维测度(面积)

S ? ?r 2 ;三维空间中球的二维测度(表面积) S ? 4?r 2 ,三维测

4 3 3 V 度 (体积) ? ?r . 则由四维空间中 “超球” 的三维测度 V ? 8?r , 3 推测其四维测度 W = .

俯视图 第 12 题图

14. 欧阳修《卖油翁》中写到: (翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之, 自钱孔入,而钱不湿.可见“行行出状元” ,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直 径为4cm的圆面,中间有边长为1cm的正方形孔,若随机向铜钱上滴一滴油(油滴不出边 界) ,则油滴整体(油滴是直径为0.2cm的球)正好落入孔中的概率是 . (不 作近似计算) (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,如果全选,则按第 15 题作答结 果计分) C D 15.(选修 4-1:几何证明选讲)如图, AB 为圆 O 的直径,弦 AC 、 BD 交于点 P ,若 AB ? 3 , CD ? 1 ,则 sin ?APD ? _____.(不作近似 P A 计算) O 、 第 15 题图
2

B

16.(选修 4-4:坐标系与参数方程)以极坐标系中的点 (1, 标方程是 .

?
2

) 为圆心,1 为半径的圆的极坐

三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本题满分 12 分)已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c,向量

m ? (a ? c, b ? a) , n ? (a ? c, b) ,且 m ? n . (Ⅰ)求角 C 的大小;
2 (Ⅱ)若向量 s ? (0,?1) , t ? (cos A,2 cos

B ) ,试求 s ? t 的取值范围. 2

18.(本题满分 12 分)气象部门提供了某地区历年六月份(30 天)的日最高气温的统计表 如下: 日最高气温 t (℃) 天数

t ? 22 ℃
6

22 ℃ ? t ? 28 ℃
12

28 ℃ ? t ? 32 ℃
Y

t ? 32 ℃
Z

气象部门提供的历史资料显示,六月份的日最高气温不高于 32 ℃的频率为 0.9 . 某水果商根据多年的销售经验,六月份的日最高气温 t(单位:℃)对西瓜的销售影响 如下表: 日最高气温 t(℃) 日销售额 X (千元)

t ? 22 ℃
2

22 ℃ ? t ? 28 ℃
5

28 ℃ ? t ? 32
℃ 6

t ? 32 ℃
8

(Ⅰ)求 Y , Z 的值; (Ⅱ)若把频率看成概率,求六月份西瓜日销售额的期望和方差.

19.(本题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2an ? 2 n?1 .

? an ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; n ? ?2 ? * (Ⅱ)若不等式 2n 2 ? n ? 3 ? (5 ? ? )an 对任意 n ? N 恒成立,求实数 ? 的取值范围.
(Ⅰ)证明:数列 ?

3

F 20. (本题满分 12 分) 如图,AB 为圆 O 的直径, E 、 在圆 O 上,AB // EF , 点 矩形 ABCD 所在的平面与圆 O 所在的平面互相垂直.已知 AB ? 2 , EF ? 1 . (Ⅰ)求证:平面 DAF ? 平面 CBF ;
(Ⅱ)当 AD 的长为何值时,平面 DFC 与平面 CBF 所成的锐二面角的大小为 60? ?
C

D

B

.
A

E

O
F

第 20 题图

x2 y 2 a2 21. 本题满分 13 分) F 是椭圆 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 的左焦点, ( 设 直线 l 方程为 x ? ? , a b c 直线 l 与 x 轴交于 P 点, M 、 N 分别为椭圆的左右顶点,已知 MN ? 2 2 ,且

PM ? 2 MF .
(Ⅰ) 求椭圆的标准方程; (Ⅱ) 过点 P 的直线交椭圆于 A 、 B 两点,求三 角形 ABF 面积的最大值.

22.(本题满分 14 分)设函数 f ( x) ? x ? ( x ? 1) ln(x ? 1) ( x ? ?1 ). (Ⅰ)求 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)试通过研究函数 g ( x ) ?

ln(1 ? x ) ( x ? 0 )的单调性证明:当 n ? m ? 0 时, x

(1 ? n) m ? (1 ? m) n ; (Ⅲ) 证明: n ? 2012 ,且 x1 ,x2 , 3 , xn 均为正实数, x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? 1 当 x ?,
2 x2 x2 x2 x2 1 2012 时, ( 1 ? . ? 3 ? ?? n ) n ? ( ) 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3 1 ? xn 2013 1 1

4

孝感市 2012-2013 学年度高中三年级第二次统一考试
数学(理科)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. A 2. C 3. A 4.C 5.B 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.0 12. 72 13. 2?r 4 6. C 7. C 8. A 9. D 10. D

14.

64 361?

15.

2 2 3

16. ? ? 2 sin ?

三、解答题(共 6 大题,共 75 分) (非参考答案的正确解答酌情给分) 17 . 解 : ( Ⅰ ) 由 题 意 得 m ? n ? (a ? c, b ? a)(a ? c, b) ? a 2 ? c 2 ? b 2 ? ab ? 0 , 即

c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab .
?3 分 由余弦定理得 cosC ?

????

? 0 ? C ? ? ,? C ?
??6 分 (

?
3

a2 ? b2 ? c2 1 ? , 2ab 2
. ???? Ⅱ ) ??????7 分 ∵

B s ? t ? (cos A,2 cos 2 ? 1) ? (cos A, cos B) , 2


s ? t ? cos 2 A ? cos 2 B ? cos 2 A ? cos 2 (
∵ 0? A? ∴

2

2? ? ? ,∴ ? ? 2 A ? 3 6 6 1 2

2? 1 ? ? A) ? ? sin( 2 A ? ) ? 1 . 3 2 6 7? 1 ? ? ,∴ ? ? sin( 2 A ? ) ? 1 . 6 2 6 2 5 ? s?t ? , 4
??????12 分

??9 分



2 5 . ? s?t ? 2 2

18.解: (Ⅰ)由已知得: P(t ? 32?C ) ? 0.9 ,∴ P(t ? 32?C ) ? 1 ? P(t ? 32?C ) ? 0.1 , ∴

Z ? 30 ? 0.1 ? 3
??????5 分



Y ? 30 ? (6 ? 12 ? 3) ? 9 .

(Ⅱ)结合(Ⅰ)有某水果商六月份西瓜销售额 X 的分布列为:

X
P

2 0.2

5 0.4

6 0.3

8 0.1 ?

?8 分

5

∴ 10 分

E( X ) ? 2 ? 0.2 ? 5 ? 0.4 ? 6 ? 0.3 ? 8 ? 0.1 ? 5 ;

??

D( X ) ? (2 ? 5) 2 ? 0.2 ? (5 ? 5) 2 ? 0.4 ? (6 ? 5) 2 ? 0.3 ? (8 ? 5) 2 ? 0.1 ? 3 .
?12 分 19.解: (Ⅰ)当 n ? 1 时,a1 ? S1 ? 2a1 ? 2 2 ,∴ a1 ? 4 ; 2分 当 n ? 2 时, ?

?

??????

? S n ? 2a n ? 2 n?1 ?S n?1 ? 2a n?1 ? 2
n

,两式相减得: an ? 2an?1 ? 2 n ,即

a n a n ?1 a ?a ? ? n ?1 ? 1 ,又 1 ? 2 .∴数列 ? n ? 是以 2 为首项,1 为公差的等差数 n n 2 2 2 ?2 ?
列. ??????4 分



an ? 2 ? (n ? 1) ? 1 ,故 2n
??????6 分
n

an ? (n ? 1)2 n .
(Ⅱ)∵ an ? (n ? 1)2 ? 0 ,∴

2n 2 ? n ? 3 2n ? 3 原问题等价于 5 ? ? ? 对任意 ? (n ? 1)2 n 2n

n ? N * 恒成
立. 分 ??????7

2n ? 3 2(n ? 1) ? 3 2n ? 3 5 ? 2n ? ? n ?1 ,∴ 当 n ? 2 时, ,则 bn ?1 ? bn ? n 2 2 n ?1 2n 2 3 bn?1 ? bn ? 0 ,∴ 当 n ? 3 时,bn?1 ? bn ? 0 ,∴当 n ? 3 时,(bn ) max ? b3 ? . ?? 8
令 bn ? 10 分 ∴ 5?? ? 12 分 20 . 解 : Ⅰ ) 证 明 : ? 平 面 ABCD ? 平 面 ABEF , CB ? AB , 平 面 ABCD ? 平 面 (

3 37 , ?? 故 . 8 8

??????

ABEF = AB ,∴ CB ? 平面 ABEF .? AF ? 平面 ABEF ,∴ AF ? CB ,又

6

? AB 为圆 O 的直径, AF ? BF , AF ? 平面 CBF . AF ? 平面 DAF ? ∴ ∴
∴平面 DAF ? 平面 CBF .



??? ?5 分 (Ⅱ)设 EF 中点为 G ,以 O 为坐标原点, OA 、 OG 、 AD 方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴方向建立空间直角坐标系(如图).设

AD ? t (t ? 0) ,则点 D 的坐标为 (1, 0, t ) , C (?1, 0, t ) ,
又 A(1, 0, 0), B(?1, 0, 0), F ( ,

z

C

1 3 , 0) , 2 2
????7 分

D

B

??? ? ??? ? 1 3 ? CD ? (2, 0, 0), FD ? ( , ? , t) 2 2

.
x A

E

O
F

G

y

设 平 面 D F C的 法 向 量 为 n1 ? ( x, y, z) , 则

?2 x ? 0 , ?? ??? ? ?? ??? ? ? n1 ? C D0 , n1 ? FD ? 0 . 即 ? 3 ? y ? tz ? 0. ?? ? 2
x ? 0, y ? 2t ? n1 ? (0, 2t, 3) .

令 z?

3 , 解 得

??????9 分

由 ( I ) 可 知 AF ? 平 面 C B F, 取 平 面 CBF 的 一 个 法 向 量 为

?? ??? ? ? 1 3 n2 ? AF ? (? , , 0) . 2 2

? cos60? ?
DFC 与 60 ? .

n1 ? n2 n1 ? n2
平 面

,即

1 3t 6 6 ? , 解得 t ? ,即 AD ? 时,平面 2 2 4 4 4t ? 3 ?1
所 成 的 锐 二 面 ??????12 分 角 的 大 小 为

CBF

(其它解答酌情给分) 21.解: (Ⅰ)∵ MN ? 2 2 ,∴ a ?

2 ,又∵ PM ? 2 MF ,∴ e ?

2 ,∴ c ? 1 , 2

b2 ? a2 ? c2 ? 1 , ∴ 椭 圆 的 标 准 方 程 为 x2 ? y2 ? 1 ??????4 分 2 (Ⅱ)由题知: F (?1,0) , P(?2,0) ,设 l AB : y ? k ( x ? 2) ( k ? 0 ) A( x1 , y1 ) , , B( x2 , y2 ) ,


? x2 ? ? y2 ? 1 ? 2 ? y ? k ( x ? 2) ?
7





(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 ,

??????6 分

2 故 ? ? (8k 2 ) 2 ? 4(1 ? 2k 2 )(8k 2 ? 2) ? 8(1 ? 2k 2 ) ? 0 ,∴ 0 ? k ?

1 . 2

且 x1 ? x 2 ? ?

8k 2 8k 2 ? 2 , x1 x 2 ? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2

∴ AB ? 1 ? k 点

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 1 ? k 2
到 直 线

8(1 ? 2k 2 ) . (1 ? 2k 2 ) 2
的 距 离 :

F

AB

d?

k 1? k 2
∴ S ?ABF



??????8 分

k 1 8(1 ? 2k 2 ) ? 2k 4 ? k 2 2 ? ? ? 1? k ? ? 2 2 (1 ? 2k 2 ) 2 4k 4 ? 4k 2 ? 1 1? k 2
1 1 6k 2 ? 1 ? ? 4 2 2 4k ? 4k 2 ? 1
?????

? 2 ?
?10 分

2 令 t ? 6k 2 ? 1 ? (1,4) ,则 k ?

t ?1 , 6
1 4 t? ?4 t

∴ S ?ABF ?

2 ?

1 9 t 1 9 ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2 t ? 4t ? 4 2 2

? 2 ?
当且仅当 t ?

1 9 1 2 ? ? ? 2 2 4?4 4

4 6 时,即 t ? 2 , k ? ? 时,取等号. t 6 ∴ 三 角形 ABF 面积的最大值为
2 . 4
??????13 分 ??1 分

22.解: (Ⅰ)由 f ( x) ? x ? ( x ? 1) ln(x ? 1) ,有 f ?( x) ? ? ln(x ? 1) , 当 ? 1 ? x ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 时, f (x) 单调递增; 当 x ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 时, f (x) 单调递减; 所以 f ( x) 的单调递增区间为 ( ?1, 0] ,单调递减区间为 ??3 分

[0, ??) .

(Ⅱ) g ( x ) ? 设 5分

ln(1 ? x ) x ? (1 ? x) ln(1 ? x) ( x ? 0 ) 则 g ?( x) ? , , x x 2 (1 ? x)

??

由(Ⅰ)知 f ( x) ? x ? ( x ? 1) ln(x ? 1) 在 (0,??) 单调递减,且 f (0) ? 0 , ∴ g ?( x) ? 0 在 (0,??) 恒成立,故 g (x) 在 (0,??) 单调递减,

8

又 n ? m ? 0 ,∴ g (n) ? g (m) ,得

ln(1 ? n) ln(1 ? m) ? , n m
??????

∴ m ln( ? n) ? n ln( ? m) , (1 ? n) m ? (1 ? m) n . 即: 1 1 8分 (Ⅲ)由 x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? 1 ,及柯西不等式:
? x12 x2 x2 ? x2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? (1 ? n) ? 1 ? xn ? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3

? x2 ? x32 xn 2 x2 2 1 ?? ? 1 ? x1 ? ? 1 ? x2 ? ? 1 ? x3 ? ? ? ? 1 ? xn ? ? 1 ? x1 ? 1 ? x2 1 ? x3 1 ? xn ? ?

2

? ( x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn )2 ? 1 ,
? x2 x2 x2 ? x2 1 所以 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? , 1 ? xn ? 1 ? n ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3 所
? x12 x2 x2 ? x2 ? 1 ? ? 2 ? 3 ??? n ? ? ? ? ? . 1 ? xn ? ?1? n ? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3
1 n 1 n



??????11 分
2012

又 n ? 2012 ,由(Ⅱ)可知 ?1 ? n? 即 ?1 ? n ? ? ?1 ? 2012 ?
1 n 1 2012

? ?1 ? 2012? ,
n

? 1 ? n ? 1 ? 2012 ,即 ? ? ?? ? . ? 1 ? n ? ? 2013 ?
1 1 1

1

1

? x2 x2 x 2 ? n ? 1 ? n ? 1 ? 2012 x2 则 ? 1 ? 2 ? 3 ??? n ? ? ? . ? ?? ? 1 ? xn ? ?1? n ? ? 2013 ? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3 故 ? x12 x2 x 2 ? n ? 1 ? 2012 x2 ? 2 ? 3 ?? ? n ? ? ? . ? ? 1 ? xn ? ? 2013 ? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3
1 1

??????14 分

9

孝感市 2012-2013 学年度高中三年级第二次统一考试
数学(理科)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. A 2. C 3. A 4.C 5.B 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.0 12. 72 13. 2?r 4 6. C 7. C 8. A 9. D 10. D

14.

64 361?

15.

2 2 3

16. ? ? 2 sin ?

三、解答题(共 6 大题,共 75 分) (非参考答案的正确解答酌情给分) 17 . 解 : ( Ⅰ ) 由 题 意 得 m ? n ? (a ? c, b ? a)(a ? c, b) ? a 2 ? c 2 ? b 2 ? ab ? 0 , 即

c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab .
?3 分 由余弦定理得 cosC ?

????

? 0 ? C ? ? ,? C ?
??6 分 (

?
3

a2 ? b2 ? c2 1 ? , 2ab 2
. ???? Ⅱ ) ??????7 分 ∵

B s ? t ? (cos A,2 cos 2 ? 1) ? (cos A, cos B) , 2


s ? t ? cos 2 A ? cos 2 B ? cos 2 A ? cos 2 (
∵ 0? A? ∴

2

2? ? ? ,∴ ? ? 2 A ? 3 6 6 1 2

2? 1 ? ? A) ? ? sin( 2 A ? ) ? 1 . 3 2 6 7? 1 ? ? ,∴ ? ? sin( 2 A ? ) ? 1 . 6 2 6 2 5 ? s?t ? , 4
??????12 分

??9 分



2 5 . ? s?t ? 2 2

18.解: (Ⅰ)由已知得: P(t ? 32?C ) ? 0.9 ,∴ P(t ? 32?C ) ? 1 ? P(t ? 32?C ) ? 0.1 , ∴

Z ? 30 ? 0.1 ? 3
??????5 分



Y ? 30 ? (6 ? 12 ? 3) ? 9 .

(Ⅱ)结合(Ⅰ)有某水果商六月份西瓜销售额 X 的分布列为:

X
P

2 0.2

5 0.4

6 0.3

8 0.1 ?

?8 分

10

∴ 10 分

E( X ) ? 2 ? 0.2 ? 5 ? 0.4 ? 6 ? 0.3 ? 8 ? 0.1 ? 5 ;

??

D( X ) ? (2 ? 5) 2 ? 0.2 ? (5 ? 5) 2 ? 0.4 ? (6 ? 5) 2 ? 0.3 ? (8 ? 5) 2 ? 0.1 ? 3 .
?12 分 19.解: (Ⅰ)当 n ? 1 时,a1 ? S1 ? 2a1 ? 2 2 ,∴ a1 ? 4 ; 2分 当 n ? 2 时, ?

?

??????

? S n ? 2a n ? 2 n?1 ?S n?1 ? 2a n?1 ? 2
n

,两式相减得: an ? 2an?1 ? 2 n ,即

a n a n ?1 a ?a ? ? n ?1 ? 1 ,又 1 ? 2 .∴数列 ? n ? 是以 2 为首项,1 为公差的等差数 n n 2 2 2 ?2 ?
列. ??????4 分



an ? 2 ? (n ? 1) ? 1 ,故 2n
??????6 分
n

an ? (n ? 1)2 n .
(Ⅱ)∵ an ? (n ? 1)2 ? 0 ,∴

2n 2 ? n ? 3 2n ? 3 原问题等价于 5 ? ? ? 对任意 ? (n ? 1)2 n 2n

n ? N * 恒成
立. 分 ??????7

2n ? 3 2(n ? 1) ? 3 2n ? 3 5 ? 2n ? ? n ?1 ,∴ 当 n ? 2 时, ,则 bn ?1 ? bn ? n 2 2 n ?1 2n 2 3 bn?1 ? bn ? 0 ,∴ 当 n ? 3 时,bn?1 ? bn ? 0 ,∴当 n ? 3 时,(bn ) max ? b3 ? . ?? 8
令 bn ? 10 分 ∴ 5?? ? 12 分 20 . 解 : Ⅰ ) 证 明 : ? 平 面 ABCD ? 平 面 ABEF , CB ? AB , 平 面 ABCD ? 平 面 (

3 37 , ?? 故 . 8 8

??????

ABEF = AB ,∴ CB ? 平面 ABEF .? AF ? 平面 ABEF ,∴ AF ? CB ,又

11

? AB 为圆 O 的直径, AF ? BF , AF ? 平面 CBF . AF ? 平面 DAF ? ∴ ∴
∴平面 DAF ? 平面 CBF .



??? ?5 分 (Ⅱ)设 EF 中点为 G ,以 O 为坐标原点, OA 、 OG 、 AD 方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴方向建立空间直角坐标系(如图).设

AD ? t (t ? 0) ,则点 D 的坐标为 (1, 0, t ) , C (?1, 0, t ) ,
又 A(1, 0, 0), B(?1, 0, 0), F ( ,

z

C

1 3 , 0) , 2 2
????7 分

D

B

??? ? ??? ? 1 3 ? CD ? (2, 0, 0), FD ? ( , ? , t) 2 2

.
x A

E

O
F

G

y

设 平 面 D F C的 法 向 量 为 n1 ? ( x, y, z) , 则

?2 x ? 0 , ?? ??? ? ?? ??? ? ? n1 ? C D0 , n1 ? FD ? 0 . 即 ? 3 ? y ? tz ? 0. ?? ? 2
x ? 0, y ? 2t ? n1 ? (0, 2t, 3) .

令 z?

3 , 解 得

??????9 分

由 ( I ) 可 知 AF ? 平 面 C B F, 取 平 面 CBF 的 一 个 法 向 量 为

?? ??? ? ? 1 3 n2 ? AF ? (? , , 0) . 2 2

? cos60? ?
DFC 与 60 ? .

n1 ? n2 n1 ? n2
平 面

,即

1 3t 6 6 ? , 解得 t ? ,即 AD ? 时,平面 2 2 4 4 4t ? 3 ?1
所 成 的 锐 二 面 ??????12 分 角 的 大 小 为

CBF

(其它解答酌情给分) 21.解: (Ⅰ)∵ MN ? 2 2 ,∴ a ?

2 ,又∵ PM ? 2 MF ,∴ e ?

2 ,∴ c ? 1 , 2

b2 ? a2 ? c2 ? 1 , ∴ 椭 圆 的 标 准 方 程 为 x2 ? y2 ? 1 ??????4 分 2 (Ⅱ)由题知: F (?1,0) , P(?2,0) ,设 l AB : y ? k ( x ? 2) ( k ? 0 ) A( x1 , y1 ) , , B( x2 , y2 ) ,


? x2 ? ? y2 ? 1 ? 2 ? y ? k ( x ? 2) ?
12





(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 ,

??????6 分

2 故 ? ? (8k 2 ) 2 ? 4(1 ? 2k 2 )(8k 2 ? 2) ? 8(1 ? 2k 2 ) ? 0 ,∴ 0 ? k ?

1 . 2

且 x1 ? x 2 ? ?

8k 2 8k 2 ? 2 , x1 x 2 ? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2

∴ AB ? 1 ? k 点

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 1 ? k 2
到 直 线

8(1 ? 2k 2 ) . (1 ? 2k 2 ) 2
的 距 离 :

F

AB

d?

k 1? k 2
∴ S ?ABF



??????8 分

k 1 8(1 ? 2k 2 ) ? 2k 4 ? k 2 2 ? ? ? 1? k ? ? 2 2 (1 ? 2k 2 ) 2 4k 4 ? 4k 2 ? 1 1? k 2
1 1 6k 2 ? 1 ? ? 4 2 2 4k ? 4k 2 ? 1
?????

? 2 ?
?10 分

2 令 t ? 6k 2 ? 1 ? (1,4) ,则 k ?

t ?1 , 6
1 4 t? ?4 t

∴ S ?ABF ?

2 ?

1 9 t 1 9 ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2 t ? 4t ? 4 2 2

? 2 ?
当且仅当 t ?

1 9 1 2 ? ? ? 2 2 4?4 4

4 6 时,即 t ? 2 , k ? ? 时,取等号. t 6 ∴ 三 角形 ABF 面积的最大值为
2 . 4
??????13 分 ??1 分

22.解: (Ⅰ)由 f ( x) ? x ? ( x ? 1) ln(x ? 1) ,有 f ?( x) ? ? ln(x ? 1) , 当 ? 1 ? x ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 时, f (x) 单调递增; 当 x ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 时, f (x) 单调递减; 所以 f ( x) 的单调递增区间为 ( ?1, 0] ,单调递减区间为 ??3 分

[0, ??) .

(Ⅱ) g ( x ) ? 设 5分

ln(1 ? x ) x ? (1 ? x) ln(1 ? x) ( x ? 0 ) 则 g ?( x) ? , , x x 2 (1 ? x)

??

由(Ⅰ)知 f ( x) ? x ? ( x ? 1) ln(x ? 1) 在 (0,??) 单调递减,且 f (0) ? 0 , ∴ g ?( x) ? 0 在 (0,??) 恒成立,故 g (x) 在 (0,??) 单调递减,

13

又 n ? m ? 0 ,∴ g (n) ? g (m) ,得

ln(1 ? n) ln(1 ? m) ? , n m
??????

∴ m ln( ? n) ? n ln( ? m) , (1 ? n) m ? (1 ? m) n . 即: 1 1 8分 (Ⅲ)由 x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? 1 ,及柯西不等式:
? x12 x2 x2 ? x2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? (1 ? n) ? 1 ? xn ? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3

? x2 ? x32 xn 2 x2 2 1 ?? ? 1 ? x1 ? ? 1 ? x2 ? ? 1 ? x3 ? ? ? ? 1 ? xn ? ? 1 ? x1 ? 1 ? x2 1 ? x3 1 ? xn ? ?

2

? ( x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn )2 ? 1 ,
? x2 x2 x2 ? x2 1 所以 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? , 1 ? xn ? 1 ? n ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3 所
? x12 x2 x2 ? x2 ? 1 ? ? 2 ? 3 ??? n ? ? ? ? ? . 1 ? xn ? ?1? n ? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3
1 n 1 n



??????11 分
2012

又 n ? 2012 ,由(Ⅱ)可知 ?1 ? n? 即 ?1 ? n ? ? ?1 ? 2012 ?
1 n 1 2012

? ?1 ? 2012? ,
n

? 1 ? n ? 1 ? 2012 ,即 ? ? ?? ? . ? 1 ? n ? ? 2013 ?
1 1 1

1

1

? x2 x2 x 2 ? n ? 1 ? n ? 1 ? 2012 x2 则 ? 1 ? 2 ? 3 ??? n ? ? ? . ? ?? ? 1 ? xn ? ?1? n ? ? 2013 ? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3 故 ? x12 x2 x 2 ? n ? 1 ? 2012 x2 ? 2 ? 3 ?? ? n ? ? ? . ? ? 1 ? xn ? ? 2013 ? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3
1 1

??????14 分

14


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