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复数的概念及几何意义优秀课件


复习回顾

自然数

数 系 的 扩 充

用图形表示包含关系: 整数 有理数

R
实数 ?
bqr6401@126.com

Q

Z

N

知识引入

我们已知知道:

对于一元二次方程

x ? 1 ? 0 没有实数根.
2

思考?

x ? ?1
2

我们能否将实数集进行扩充,使得在新的 数集中,该问题能得到圆满解决呢?

bqr6401@126.com

虚数单位

为了解决负数开方问题, 引入一个新数 i ,i 叫做虚数单位,并规定:

(1)它的平方等于-1,即

i

2

? ?1

(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则 运算时,原有的加、乘运算律仍然成立.
即:将实数a和数i相加记为: a+i; 把实数b与数i相乘记作: bi; 将它们的和记作: a+bi (a,b∈R),
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一.复数的有关概念
1.复数:
把形如 a+bi (a,b∈R)的数叫复数 i 叫做 虚数单位(imaginary unit) 复数全体所组成的集合叫复数集,用字母C表示

C ? {z | z ? a ? bi, 其中a, b ? R )

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2.复数的代数形式: 用z表示复数, 即z = a + bi (a,b∈R) 叫做复数的 代数形式 实部 虚部

规定: 0i=0,0+bi=bi

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3.两个复数相等

有两个复数Z1=a+bi (a,b?R)和Z2=c+di(c,d?R)
a+bi =c+di a=c且b=d

注 意 2、若Z1,Z2中不都为实数,Z1与Z2只有相 等或不相等两关系,而不能比较大小
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1、若Z1,Z2均为实数,则Z1,Z2具有大小关系

4.复数的几何意义: 复数z=a+bi
一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b)

点Z(a,b)叫做表示复数z=a+bi的点
y

z=a+bi Z(a,b)
a b

建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)
x

o

x轴------实轴 y轴------虚轴

复数z=a+bi

一一对应

??? ? 平面向量 OZ

以(a,b)为坐标的向量叫做表示复数 z=a+bi的向量
y

z=a+bi Z(a,b)
a
b

o

x

4.复数的分类:
复数z=a+bi (a,b?R) 条件 数的类型 b=0 实数 a=b=0 实数0 虚数 b≠0 a=0且b≠0 纯虚数 复数 z=a+bi (a,b?R) 实数 (b=0) 纯虚数(a=0) 虚数(b≠0) 非纯虚数(a≠0)
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实数集R是复数 集C的真子集,

R

C

思考 1.数集N,Z,Q,R,C的关系是怎样的?

N

Z

Q

R

C

Z N RQ

C
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2.复数集,实数集,虚数集,纯虚数集之间关系

虚数集

复数集 实数集

纯虚数集

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练习:
1.说明下列数是否是虚数,并说明各数的实部 与虚部

1? 3

1? 3i

1 i 7

? 2i

(1 ? ? )i

0
(2 ? 3i ) ? i

i

2

i ?1
bqr6401@126.com

2.有下列命题:

(1)若a、b为实数,则 z=a+bi 为虚数
(2)若b为实数,则 z=bi 必为纯虚数

(3)若a为实数,则 z= a 一定不是虚数
其中真命题的个数为( B ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

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3.下列命题中的假命题是(D) (A)在复平面内,对应于实数的点都在实 轴上; (B)在复平面内,对应于纯虚数的点都在 虚轴上; (C)在复平面内,实轴上的点所对应的复 数都是实数; (D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。

4.“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴 上”的( )。 C (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件

结论:实轴上的点都表示实数;虚轴
上点除原点外都表示纯虚数。

新授课 例1:实数m取什么值时,复数z ? m ? 1 ? (m ? 1)i是 (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?

解:(1)当 m ? 1 ? 0,即 m ? 1时,复数z是实数. (2)当 m ? 1 ? 0,即 m ? 1时,复数z是虚数.

(3)当 m ? 1 ? 0 ,且 m ? 1 ? 0 ,即 m ? ?1 时, 复数z 是纯虚数.

bqr6401@126.com

例 1 (补) m2-m-6 m 取何实数时,复数 z= +(m2 -2m-15)i m+3 (1)是实数? (2)是虚数? (3)是纯虚数?

bqr6401@126.com

? [分析]

在本题是复数的标准形式下,即z =a+bi(a,b∈R),根据复数的概念,只要 对实部和虚部分别计算,总体整合即可.
[解析] ?m2-2m-15=0 ?m=5或m=-3 ? ? ? (1)当? 时, ?m+3≠0 ?m≠-3 ? ?

∴当 m=5 时,z 是实数. ?m2-2m-15≠0 ?m≠5且m≠-3 ? ? (2)当? 时,即? ?m+3≠0 ?m≠-3 ? ? ∴当 m≠5 且 m≠-3 时,z 是虚数.
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?m2-m-6=0 ? (3)当?m+3≠0 ?m2-2m-15≠0 ?

?m=3或m=-2 ? 时,即?m≠-3 ?m≠5且m≠-3 ?

∴当 m=3 或 m=-2 时,z 是纯虚数.

bqr6401@126.com

例2

已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平

面内所对应的点位于第二象限,求实数m允许的 取值范围。
?m 2 ? m ? 6 ? 0 解:由? 2 ?m ? m ? 2 ? 0

? ?3? m ? 2 得? ?m ? ?2 或 m ? 1

?m ? (?3,?2) ? (1,2)
数形结合思想

总结:

表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题)

例3

已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所

对应的点位于第二象限,求实数m允许的取值范围。

变式二:证明对一切m,此复数所对应的点不可能
位于第四象限。

证明:若复数所对应的点位于第四象限, ?m 2 ? m ? 6 ? 0 ? m ? ?3或m ? 2 则? 2 即? ?m ? m ? 2 ? 0 ? ?2 ? m ? 1
不等式解集为空集, 所以复数所对应的点不可能位于第四象限.


变式一:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在
复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上,求实 数m的值。 解:∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 内所对应的点是(m2+m-6,m2+m-2), ∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0, ∴m=1或m=-2。

变式练习:
? (1)下列命题中假命题是 ? A.自然数集是非负整数集 ? B.实数集与复数集交集为实数集 ? C.实数集与虚数集交集是{0} ? D.纯虚数集与实数集交集为空集 ? [答案]

(

)

C ? [解析] 复数可分为实数和虚数两大部分, 虚数中含有纯虚数,因此,实数集与虚数 集没有公共元素,C是假命题.故选C.
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? (2)已知a、b∈R,则a=b是(a-b)+(a+b)i为纯

虚数的
?( ? A.充要条件 ? B.充分不必要条件 ? C.必要不充分条件

)

? D.既不充分也不必要条件
? [答案]

C ? [解析] 当a=b=0时,此复数为0是实数,故A、 B不正确;
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若(a-b)+(a+b)i 为纯虚数,
?a+b≠0 ? 则? ?a-b=0 ?

,?a=b≠0,

即 a=b≠0 为该复数为纯虚数的充要条件, ∴a=b 是该复数为纯虚数的必要而不充分条件.故选 C.

bqr6401@126.com

B

n?Z

*

i
i

4n

?

4n ?2

i ? i 4n ?3 ? ?i ? -1 i bqr6401@126.com
1

4n ?1

新授课 例4 已知 (2 x ? 1) ? i ? y ? (3 ? y )i ,其中 x, y ? R , 求 x与y . 解:由复数相等的定义,得方程组
?2 x ? 1 ? y ? ?1 ? ?( 3 ? y )

解得 x ? 5 , y ? 4 2

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? [点评]

(1)复数相等的条件,是求复数值 及在复数集内解方程的重要依据. ? (2)根据复数相等的定义可知,在a=c,b =d中,只要有一个不成立,那么a+bi≠c +di.所以,一般地,两个复数只有说相等 或不相等,而不能比较大小,例如,1+i 和3+5i不能比较大小.

bqr6401@126.com

变式练习:
? (1)已知x2-y2+2xyi=2i,求实数x、y的值. ? (2)已知复数z=k2 -3k+(k2 -5k+6)i(k∈R),且z

<0,求k的值.
[解析] (1)∵x、y∈R,∴由复数相等的条件,得
?x=1, ? 解得? ?y=1, ? ?x=-1, ? 或? ?y=-1. ?

?x2-y2=0, ? ? ?2xy=2. ?

?k2-3k<0 ? (2)∵z<0,k∈R,∴? 2 ?k -5k+6=0 ?

∴k=2.

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附表一:复数与实数、虚数、纯虚数及0的 关系:
?

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附表二:

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