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离散型随机变量的均值与方差习题课及高考题


离散型随机变量的均值与方差

三年22考

高考指数:★★★★

1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实 际问题.

1.离散型随机变量的均值是高考考查的重点; 2.数形结合、分类讨论是解决均值与方差问题的重要思想方法;

/>
3.题型以解答题为主,常与分布列等知识综合考查.

1.离散型随机变量的均值与方差
(1)离散型随机变量X的分布列

X P

x1
p1

x2 p2

?
?

xi
pi

?
?

xn pn

(2)离散型随机变量X的均值与方差 均值(数学期望)
? x1p1 ? x 2 p 2 ??? x i pi 计算 E(X) ___________________ ??? x n p n _________
D(X) ?
i ?1 __________________ n

方差

公式 作 用 标 准 差

? ? ? x i ? E(X) pi
2

反映了离散型随机变量取 平均水平 值的________

刻画了随机变量X与其均 平均偏离程度 值E(X)的_____________

方差的算术平方根

D(X)为随机变量X的标准差

【即时应用】 (1)思考:随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是 怎样的? 提示:随机变量的均值、方差是一个常数.样本的均值、方差 是一个变量.随着样本容量的增加,样本的均值、方差趋于随 机变量的均值、方差.

(2)随机变量X的分布列如表,则X的数学期望是______.

X
P

1
0.2

2
0.5

3
m

【解析】由题知:0.2+0.5+m=1,∴m=0.3, ∴E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1. 答案:2.1

(3)有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中任取3件, 若X表示取到次品的个数,则E(X)=______. 【解析】X的取值为0,1,2,3,则
3 2 C12 11 C12 C1 33 4 P(X=0)= 3 = ; P(X=1)= = ; 3 C16 28 C16 70 3 2 C1 C 4 9 P(X=3)= C 4 11 P(X=2)= 123 = ; = , 3 C16 40 C16 70 ∴E(X)= 0 ? 11+ ? 33+ ? 9 + ? 11=3 . 1 2 3 28 70 70 40 4 3 答案: 4

(4)甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变
量X、Y,其分布列分别为: X P Y P 0 0.4 0 0.3 1 0.3 1 0.5 2 0.2 2 0.2 3 0.1

若甲、乙两人的日产量相等,则甲、乙两人中技术较好的是 ______.

【解析】甲、乙一天中出现废品数的均值分别为
E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1, E(Y)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9, 所以E(X)>E(Y), 故乙的技术较好. 答案:乙

2.均值与方差的性质 aE(X)+b (1)E(aX+b)=_________, a2D(X) (2)D(aX+b)=________.(a,b为常数)

【即时应用】 (1)已知分布列为: X P -1
1 2

0
1 3

1 a

且设Y=2X+3,则Y的均值是______. (2)有一批产品,其中有12件正品和4件次品,有放回地任取3

件,若取到一件次品得2分,用Y表示得分数,则D(Y)=______.

【解析】(1)由分布列性质有 1+1 +a=1,即a= 1 .
2 3 6

E(X)= ?- ? ? 1+ ? 1+ ? 1=-1 , 1 0 1
2 3 6 3

∴E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3= 3 = . - (2)设X表示取到的次品数,则Y=2X. 由题意知取到次品的概率为 1 .
4 1 ∴X~B(3, ),D(X)= 3 ? 1 ? (1 1 ) 9 . - = 4 4 16 4 故D(Y)=D(2X)=4D(X)= 4 ? 9 =9 . 16 4 答案:(1)7 (2) 9 3 4

2 7 3 3

3.两点分布与二项分布的均值、方差 均值 随机变量X服 从 两点分布 方差

p E(X)=____

p(1-p) D(X)=______

X~B(n,p)

np E(X)=____

np(1-p) D(X)=_______

【即时应用】
(1)设15 000件产品中有1 000件次品,有放回地从中抽取150

件进行检查,则查得次品数的数学期望为______.
(2)设ξ 是服从二项分布B(n,p)的随机变量,又E(ξ )=15, D(ξ )= 45 , 则n的值为______,p的值为______.
4

【解析】(1)设查得次品数为随机变量ξ,由题意得ξ~ B(150, ),所以E(ξ)=150× 1 =10.
15 4 1 15

(2)由ξ~B(n,p),有E(ξ)=np=15,D(ξ)=np(1-p)=45 ,
∴p= 1 ,n=60.
4

答案:(1)10

(2)60

1 4

离散型随机变量的均值与方差 【方法点睛】 求离散型随机变量ξ 的均值与方差的方法 (1)理解ξ 的意义,写出ξ 可能取的全部值; (2)求ξ 取每个值的概率; (3)写出ξ 的分布列;

(4)由均值的定义求E(ξ );
(5)由方差的定义求D(ξ ).

【例1】(2011?福建高考)某产品按行业生产标准分成8个等级, 等级系数X依次为1,2,??,8,其中X≥5为标准A,X≥3为标 准B,已知甲厂执行标准A生产该产品,产品的零售价为6元/件;

乙厂执行标准B生产该产品,产品的零售价为4元/件,假定甲、
乙两厂的产品都符合相应的执行标准 (1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示: X1 5 6 7 8

P

0.4

a

b

0.1

且X1的数学期望E(X1)=6,求a,b的值;

(2)为分析乙厂产品的等级系数X2,从该厂生产的产品中随机抽 取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下: 3 6 8 5 3 3 3 4 4 3 7 3 8 5 4 5 3 4 5 4 7 6 8 5 3 5 6 4 3 7

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等 级系数X2的数学期望.

(3)在(1)、(2)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个

工厂的产品更具可购买性?说明理由.
注:(1)产品的“性价比”= 产品的等级系数的数学期望 ;
产品的零售价

(2)“性价比”大的产品更具可购买性.

【解题指南】(1)利用期望公式和E(X1)=6以及分布列中的所有 概率和为1,联立关于a,b的方程组,解方程组求得a,b的值; (2)根据题中提供的数据,列等级系数X2的概率分布列,再利用 期望公式求期望; (3)根据“性价比”公式求两工厂的产品的性价比,“性价比” 大的产品更具可购买性.

【规范解答】(1)因为E(X1)=6,所以5×0.4+6a+7b+8×0.1=6, 即6a+7b=3.2, 又由X1的概率分布列得0.4+a+b+0.1=1即a+b=0.5. 由 ?6a ? 7b ? 3.2,解得 ?a ? 0.3 . ? ?
?a ? b ? 0.5 ?b ? 0.2

(2)由已知得,样本的频率分布表如下: X2 f 3 0.3 4 0.2 5 0.2 6 0.1 7 0.1 8 0.1

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得 等级系数X2的概率分布列如下: X2 3 4 5 6 7 8

P

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0.1

所以E(X2)=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8, 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具有可购买性,理由如下: 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件,所

以其性价比为 6 =1.
6

因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8,价格为4元/件,

所以其性价比为

4.8 =1.2.所以乙厂的产品更具可购买性. 4

【反思?感悟】求离散型随机变量的均值与方差时,关键是先

求出随机变量的分布列.求离散型随机变量的分布列时要注意两
个问题: 一是求出随机变量所有可能的值; 二是求出取每一个值时的概率.求概率时,要注意概率类型的确 定与转化,如古典概型、互斥事件的概率、相互独立事件同时 发生的概率、n次独立重复试验有k次发生的概率等.

与二项分布有关的期望与方差 【方法点睛】 与二项分布有关的期望与方差的求法

(1)求随机变量ξ 的期望与方差时,可首先分析ξ 是否服从二项
分布,如果服从ξ ~B(n,p),则用公式E(ξ )=np,D(ξ )=np(1-p)

求解,可大大减少计算量.

(2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另 一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用 E(aξ +b)=aE(ξ )+b以及E(ξ )=np求出E(aξ +b),同样还可求出 D(aξ +b). 【提醒】E(aξ+b)=aE(ξ)+b,但注意D(aξ+b)≠aD(ξ)+b,

D(aξ+b)≠aD(ξ).

【例2】(1)某同学参加科普知识竞赛,需回答4个问题,每一道 题能否正确回答是相互独立的,且回答正确的概率是 ,若回答 错误的题数为ξ ,则E(ξ )=______,D(ξ )=______. (2)罐中有6个红球,4个白球,从中任取1球,记住颜色后再放 回,连续取4次,设ξ 为取得红球的次数,则E(ξ )=______. 【解题指南】两题中的ξ都服从二项分布,故可直接套用公式 求解.
3 4

3 【规范解答】(1)∵回答正确的概率是 ,∴回答错误的概率是 4 1 3 1 故ξ~B(4, ),∴E(ξ)=4× 1 =1, 1? ? , 4 4 4 4 D(ξ)= 4 ? 1 ? (1 ? 1 ) ? 3 . 4 4 4

(2)因为是有放回的摸球,所以每次摸球(试验)摸得红球(成功) 的概率为 ,连续摸4次(做4次试验),ξ为取得红球(成功)的次 数,则ξ~B(4,3 ),所以E(ξ)= 4 ? = .
5 3 12 5 5 3 5

答案:(1)1

3 (2) 12 4 5

【反思?感悟】ξ是随机变量,则η=f(ξ)一般也是随机变量, 在求η的均值和方差时,熟练应用均值和方差的性质,可以避免 再求η的分布列带来的繁琐运算.

均值与方差的实际应用 【方法点睛】 均值与方差的实际应用 (1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度,D(X)越大表明 平均偏离程度越大,说明X的取值越分散;反之,D(X)越小,X 的取值越集中在E(X)附近,统计中常用 D(X) 来描述X的分散程

度.

(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映

了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随
机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据,一般 先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.

【例3】(2012?深圳模拟)甲有一个装有x个红球、y个黑球的箱
子,乙有一个装有a个红球、b个黑球的箱子,两人各自从自己

的箱子里任取一球,并约定:所取两球同色时甲胜,异色时乙
胜(a,b,x,y∈N*). (1)当x=y=3,a=3,b=2时,求甲获胜的概率; (2)当x+y=6,a=b=3时,规定:甲取红球获胜得3分;取黑球获胜 得1分;甲负得0分,求甲的得分期望达到最大时的x,y值; (3)当x=a,y=b时,这个游戏规则公平吗?请说明理由.

【解题指南】(1)甲胜即两人同时取到红球或同时取到黑球. (2)明确随机变量的取值为0,1,3,并求出各自的概率.

(3)是否公平看两人获胜的概率是否相等.

【规范解答】(1)由题意,甲、乙都取到红球的概率
C1 C1 3 3 3 P1 ? 1 ? 1 ? , C6 C5 10

C1 C1 1 3 2 甲、乙都取黑球的概率 P2 ? 1 ? 1 ? , ∴甲获胜的概率 C 6 C5 5 3 1 1 P ? P1 ? P2 ? ? ? . 10 5 2

(2)令ξ表示甲的分数,则ξ的取值为0,1,3,
C1 ?C1 x y x 3 P(ξ=1)= ? ,P ? ? ? 3? ? 1 1 ? , C1 ?C1 12 C6 ?C6 12 6 6 P(ξ=0)=1-P(ξ=1)-P(ξ=3)= 1 ? x ? y , 12 C1 ?C1 y 3

得ξ的分布列如下: ξ
1?

0

1

3

x?y x y P 12 12 12 于是E(ξ)= 0 ? (1 ? x ? y ) ? 1? y ? 3 ? x ? 3x ? y ; 12 12 12 12 又x,y∈N*且x+y=6,∴1≤x≤5,且E(ξ)= 6 ? 2x 12 4 故当x=5,y=1时,E(ξ)的最大值为 . 3

(3)由题意,两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色共有
2 C1 ?? C1 ? b ? ? x ? y ? 种不同情形,每种情形都是等可能的,记甲 x y a

获胜为事件A,乙获胜为事件B,则
P?A? ? P ? B? ? C1 ?C1 ? C1 ?C1 x a y b C
1 x?y

?C ?C

1 a ?b

? ?
2

x 2 ? y2

? x ? y?
2xy

2

,

C1 ?C1 ? C1 ?C1 x b y a C
1 x?y 1 a ?b 2

? x ? y?

2

,
2

? x ? y? x ?y 2xy ? P ? A ? ? P ? B? ? ? ? , 2 2 2 ? x ? y? ? x ? y? ? x ? y?

当x=y时,P(A)=P(B),甲、乙获胜的概率相等,这个游戏规则是 公平的; 当x≠y时,P(A)>P(B),甲获胜的概率大于乙获胜的概率,这个 游戏规则不公平,有利于甲.

【反思?感悟】解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每 一个值所表示的具体事件,求得该事件发生的概率.对于实际问 题要通过分析题意抽象出具体的数学模型来求解.

【满分指导】离散型随机变量均值解答题的规范解答

【典例】(12分)(2011?天津高考)学校游园活动有这样一个游戏
项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、 2个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里 各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏 结束后将球放回原箱)

(1)求在1次游戏中,
①摸出3个白球的概率; ②获奖的概率; (2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X).

【解题指南】(1)根据古典概型、互斥事件的概率公式求解; (2)先求出独立事件的概率,再求数学期望.

【规范解答】(1)①设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件
2 C3 C1 1 2 Ai(i=0,1,2,3),则P(A3)= 2 ? 2 ? . C5 C3 5

??????????????????????????2分
②设“在1次游戏中获奖”为事件B,则B=A2∪A3,又
2 C3 C 2 C1 C1 C1 1 2 2 P ? A 2 ? ? 2 ? 2 ? 3 2 2 ? 2 ? , ?????????????4分 C5 C3 C5 C3 2

且A2,A3互斥, 所以 P ? B ? ? P ? A 2 ? ? P ? A3 ? ? 1 ? 1 ? 7 . ??????????6分
2 5 10

(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.??????7分
7 2 9 7 7 21 ) ? ,P ? X ? 1? ? C1 (1 ? ) ? , 2 10 100 10 10 50 7 49 P ? X ? 2 ? ? ( )2 ? . ???????????????10分 10 100 P ? X ? 0 ? ? (1 ?

所以X的分布列是 X P 0
9 100
100 50

1
21 50 100 5

2
49 100

X的数学期望E(X)= 0 ? 9 ? 1? 21 ? 2 ? 49 ? 7 . ??????12分

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以 得到以下失分警示与备考建议: 在解答本题时有两点容易造成失分: 失 分 警 (1)求A2的概率时,遗漏两个事件“甲中两白乙中 两黑”“甲中一白一黑,乙中一白一黑”当中的 一个事件,从而求错概率而失分.



(2)在求期望时,不能正确确定X的取值或取每一
个值的概率求错致使分布列计算不准确而失分.

备 考

解决均值与方差问题时,还有以下几点容易造成
失分,在备考时要高度关注: (1)对二项分布不能正确理解,错误使用二项分




布的期望与方差公式; (2)审题不清、事件类型判断不明导致错误.

1.(2011?浙江高考)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、 丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的

概率为 2 , 得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否
3

让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若

P(X=0)= 1 , 则随机变量X的数学期望E(X)=______.
12

【解析】由P(X=0)= (1 ? )(1 ? p)(1 ? p) ?

2 3

1 可得p= 1 , 12 2

从而P(X=1)= 2 ? 1 )2 ? (1 ? 2 )?C1( 1 )2 ? 1 , ( 2
3 2 3 2 3 P(X=2)= 2 ?C1 ( 1 )2 ? (1 ? 2 )?( 1 )2 ? 5 , 2 3 2 3 2 12 P(X=3)= 2 ?( 1 )2 ? 1 . 3 2 6 所以E(X)= 0 ? 1 ? 1? 1 ? 2 ? 5 ? 3 ? 1 ? 5 . 12 3 12 6 3 5 答案: 3

2.(2011?上海高考)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ 的概

率分布列如下表:
x P(ξ =x) 1 ? 2 ! 3 ?

请小牛同学计算ξ 的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且 两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同. 据此,小牛给出了正确答案E(ξ )=______.

【解析】设P(ξ=1)=P(ξ=3)=a,P(ξ=2)=b,利用概率之和为1
的性质,可得2a+b=1,又结合数学期望的公式得 E(ξ)=2(2a+b)=2×1=2. 答案:2

3.(2012?潮州模拟)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a, 得2分的概率为b,不得分的概率为c,a、b、c∈(0,1),已知他 投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况),则ab的最大 值为______. 【解析】由已知3a+2b+0×c=1,∴3a+2b=1,
2 1 2b 1 ? 3a+ ? 1 ∴ab= ?3a?2b≤ ? = , 6 6 4 24 当且仅当 a=1 ,b=1 时取“=”. 6 4 答案: 1 24


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