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江苏省2011-2014年高考数学真题分类汇编-三角函数(含答案)


三角函数
一、填空题 7.(江苏 2011 年 5 分)已知 tan( x ? 【答案】

?
4

) ? 2, 则

tan x 的值为 tan 2 x



4 。 9

【考点】三角函数的和差倍计算。 【分析】∵ tan( x ?<

br />
?
4

)?

1 ? tan x ? 2, 1 ? tan x

∴ tan x ? 。 ∴

1 3

tan x tan x ( 1-tan 2 x) 4 = = ? 。 2 tan x tan 2 x 2 9 2 1-tan x

? x? ? ), ( A? , ? ,是 常 数 , 9. ( 江 苏 2011 年 5 分 ) 函 数 f ( x) ? A sin(
A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图所示,则 f ( 0 ) ?
【答案】 ▲

6 。 2

[来源:Zxxk.Com]

【考点】三角函数的图象和性质的应用。 【分析】由函数图象得 A ? 2 ,

2? T 7? ? ? ? ,? ? 2 , ? ? , ∴T ? ? , ? 4 12 4
?
3 ?? ? ? , ? ?

再 结 合 三 角 函 数 图 象 和 性 质 知 2? ∴ f ( 0 ) ? 2 sin

?
3

, ∴ f ( x ) ? 2 sin( 2x ?

?
3

) 。

?
3

?

6 。 2

? ?? 4 ? 11. (2012 年江苏省 5 分)设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值为 ▲ . 6? 5 12 ?
【答案】

17 2。 50

【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。 【解析】∵ ? 为锐角,即 0 < ? <

?
2

,∴

?
6

<? ?

?
6

<

?
2

?

?
6

=

2? 。 3

?? 4 ?? 3 ? ? ∵ cos ? ? ? ? ? ,∴ sin ? ? ? ? ? 。 6? 5 6? 5 ? ?

?? ?? ?? 3 4 24 ? ? ? = 。 ∴ sin ? 2? ? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? =2 3? 6? 6? 5 5 25 ? ? ? ?? 7 ? ∴ cos ? 2? ? ? ? 。 3 ? 25 ?
∴ sin(2a ?

?
12

)=sin(2a ?

?
3

? ?? ? ?? ? ? ? ? )=sin ? 2a ? ? cos ? cos ? 2a ? ? sin 4 3 4 3? 4 ? ? ?

=

24 2 7 2 17 ? = 2。 25 2 25 2 50

1(2013 江苏卷)函数 y ? 3 sin( 2 x ? 答案:1. ?

?

4

) 的最小正周期为



5. (2014 江苏卷)已知函数 y ? cos x 与 y ? sin(2 x ? ? )(0 ≤ ? ? ?) ,它们的图象有一个横坐标为
? 的交点,则 的值是 ? 3



【答案】 ? 6 14. (2014 江苏卷)若 ?ABC 的内角满足 sin A ? 2 sin B ? 2sin C ,则 cos C 的最小值是 【答案】 6 ? 2 4 .

二、解答题 15.(江苏 2011 年 14 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A ?

) ? 2 cos A, 求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3
【答案】解: (1)由题意知 sin A cos

?

?

6

? cos A sin

?
6

? 2 cos A ,从而 sin A ? 3 cos A ,

∴ cos A ? 0, tan A ? 3 。 ∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ?

?
3


2 2 2 2 2 2

(2)由 cos A ? , b ? 3c ,及 a ? b ? c ? 2bc cos A ,得 b ? a ? c , ∴ ?ABC 是直角三角形,且 B ?

1 3

?
2

。∴ sin C ? cos A ?

1 。 3

【考点】同角三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理。 【分析】 (1)利用两角和的正弦函数化简,求出 tanA,然后求出 A 的值即可。 (2)利用余弦定理以及 b ? 3c ,求出 ?ABC 是直角三角形,即可得出 sin C 的值。也可以由

2 2c c 2 2 1 ? , ?sin C ? 。 ,而 sin A ? 1 ? cos 2 A ? sin A sin C 3 3 15.(2012 年江苏省 14 分)在 ?ABC 中 ,已知 AB AC ? 3BA BC .
正弦定理得: (1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

5 ,求 A 的值. 5


【答案】解: (1)∵ AB AC ? 3BA BC ,∴ AB AC cos A=3BA BC cos B ,即 AC cos A=3 BC cos B 由正弦定理,得

AC BC ,∴ sin B cos A=3sin A cos B 。 = sin B sin A sin B sin A 又∵ 0 < A ? B < ? ,∴ cos A > 0,cos B > 0 。∴ 即 tan B ? 3tan A 。 =3 cos B cos A
[来源:学,科,网]

? 5? 5 2 5 , 0 <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? = (2)∵ cos C ? 。∴ tan C ? 2 。 ? ? ? 5 5 ? 5 ?

2

tan A ? tan B ? ?2 。 1 ? tan A tan B 1 4tan A 由 (1) ,得 ? ?2 ,解得 tan A=1 , tan A= ? 。 2 3 1 ? 3tan A
∴ tan ? ?? ? ? A ? B ?? ? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 。∴ ∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 。∴ A=

?
4



【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。 【解析】 (1)先将 AB AC ? 3BA BC 表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。 (2)由 cos C ?

5 ,可求 tan C ,由三 角形三角关系,得到 tan ? ?? ? ? A ? B?? ? ,从而根据两角 5

和的正切公式和(1)的结论即可求得 A 的值。

7、 (2013 江苏卷 18).18.本小题满分 16 分。如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两 种路径。一种是从 A 沿直线步行到 C ,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到

C 。现有甲.乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m / min 。在甲出发 2 min 后,
乙从 A 乘缆车到 B ,在 B 处停留 1 min 后,再从匀速步行到 C 。假设缆车匀速直线运动的速度为

130 m / min ,山路 AC 长为 1260 m ,经测量, cos A ?

12 3 , cos C ? 。 13 5

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? A B

C

12 3 , cos C ? 13 5 ? 5 4 (0, ) ∴ A、C ? ∴ sinA ? , sinC ? 2 13 5
解: (1)∵ cos A ?

(A ? C)? sin(A ? C) ? sinAcos C ? cos AsinC ? ∴ sinB ? sin ? ?
根据

?

?

63 65

AB AC AC ? sinC ? 1040 m 得 AB ? sinC sinB sinB
2

(2 ) 设乙出发 t 分钟后, 甲. 乙距离为 d, 则d
源: ]

? (130 t ) 2 ? (100 ? 50t ) 2 ? 2 ? 130t ? (100 ? 50t ) ?

12 13

[来

∴d

2

? 200(37t 2 ? 70t ? 50)

1040 即0 ? t ? 8 130 35 35 ∴t ? 时,即乙出发 分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短。 37 37
∵0 ? t ? (3)由正弦定理

AC 1260 5 BC AC sin A ? ? 500 (m) ? 得 BC ? 63 13 sinA sinB sinB 65
m 才能到达 C

乙从 B 出发时,甲已经走了 50(2+8+1)=550(m) ,还需走 710 设乙的步行速度为 V m / min ,则

500 710 ? ?3 v 50

∴?3?

500 710 1250 625 ? ? 3∴ ?v? v 50 43 14

∴为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在 ? 法二:解: (1)如图作 BD⊥CA 于点 D, 设 BD=20k,则 DC=25k,AD=48k,

?1250 625? 范围内 , ? 43 14 ? ?

AB=52k,由 AC=63k=1260m, 知:AB=52k=1040m.

(2)设乙出发 x 分钟后到达点 M, 此时甲到达 N 点,如图所示. 则:AM=13 0x,AN=50(x+2), 由余弦定理得:MN =AM +AN -2 AM·ANcosA=7400 x -14000 x+10000, 其中 0≤x≤8,当 x= 35 (min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. 37 1260 126 = (min). 50 5 (min),在 BC 上用时: 86 5 (min) .
[来源:学+科+网]

2

2

2

2

(3)由(1)知:BC=500m,甲到 C 用时 : 若甲等乙 3 分钟,则乙到 C 用 时:

126 141 +3 = 5 5

86 1250 此时乙的速度最小,且为:500÷ = m/min. 5 43 若乙等甲 3 分钟,则乙到 C 用时: 此时乙的速度最大,且为:500 ÷ 故乙步行的速度应控制在[ 126 111 -3 = 5 5 (min),在 BC 上用时: 56 5 (min) .

56 625 = m/min. 5 14

1250 625 , ]范围内. 43 14

M B D C N

A

(2014 江苏卷 15)(本小题满分 14 分)已知 ? ? ? , ? , sin ? ? 5 . 5 2

? ? (2)求 cos ? ?? ? 2? ? 的值. 6
(1)求 sin ? ? ? 的值; 4 力. 满分 14 分.

? ?

【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式,考查运算求解能

(1)∵ ? ? ? , ? , sin ? ? 5 , 2 5 ∴ cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 2 5 5

? ? ?

sin ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 2 (cos ? ? sin ? ) ? ? 10 ; 4 4 4 2 10
cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 3 (2)∵ sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 4 , 5 5

?

∴ cos ?? ? 2? ? cos ?? cos 2? ? sin ?? sin 2? ? ? 3 ? 3 ? 1 ? ? 4 ? ? 3 3 ? 4 . 6 6 6 2 5 2 5 10

?

?

? ?

(2014 江苏卷 18)如图,为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区.规 划要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆,且古 桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m.经测量,点 A 位于点 O 正北方向 60m 处, 点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸), tan ?BCO ? 4 . 3 (1)求新桥 BC 的长; (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大? 解:本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形 等基础知识, 考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能 力.满分 16 分. 解法一: (1) 如图,以 O 为坐标原点,OC 所在直线为 x 轴,建立平面直角 坐标系 xOy. 由条件知 A(0, 60),C(170, 0), 直线 BC 的斜率 k BC=-tan∠BCO=-

4 . 3

3 . 4 b?0 4 ?? , 设点 B 的坐标为(a,b),则 k BC= a ? 170 3 b ? 60 3 ? , k AB= a?0 4
又因为 AB⊥BC,所以直线 AB 的斜率 k AB=
2 2 解得 a=80,b=120. 所以 BC= (170 ? 80) ? (0 ? 120) ? 150 .

因此新桥 BC 的长是 150 m. (2)设保护区的边界圆 M 的半径为 r m,OM=d m,(0≤d≤60). 由条件知,直线 BC 的方程为 y ? ?

4 ( x ? 170) ,即 4 x ? 3 y ? 680 ? 0 3

由于圆 M 与直线 BC 相切,故点 M(0,d)到直线 BC 的距离是 r, 即r ?

| 3d ? 680 | 680 ? 3d ? . 5 5

因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m,

? 680 ? 3d ? d ≥ 80 ? ?r ? d ≥ 80 ? 5 所以 ? 即? 解得 10 ≤ d ≤ 35 ?r ? (60 ? d ) ≥ 80 ? 680 ? 3d ? (60 ? d ) ≥ 80 ? 5 ?
故当 d=10 时, r ?

680 ? 3d 最大,即圆面积最大. 5

所以当 OM = 10 m 时,圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图,延长 OA, CB 交于点 F.

4 4 3 .所以 sin∠FCO= ,cos∠FCO= . 3 5 5 680 因为 OA=60,OC=170,所以 OF=OC tan∠FCO= . 3 OC 850 500 ? CF= ,从而 AF ? OF ? OA ? . cos ?FCO 3 3 4 因为 OA⊥OC,所以 cos∠AFB=sin∠FCO== , 5 400 又因为 AB⊥BC,所以 BF=AF cos∠AFB== ,从而 BC=CF-BF=150. 3
因为 tan∠BCO= 因此新桥 BC 的长是 150 m. (2)设保护区的边界圆 M 与 BC 的切点为 D,连接 MD,则 MD⊥BC,且 MD 是圆 M 的半 径,并设 MD=r m,OM=d m(0≤d≤60). 因为 OA⊥OC,所以 sin∠CFO =cos∠FCO, 故由(1)知,sin∠CFO =

680 ? 3d MD MD r 3 . ? ? ? , 所以 r ? 680 5 MF OF ? OM 5 ?d 3

因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m,

? 680 ? 3d ? d ≥ 80 ? ?r ? d ≥ 80 ? 5 所以 ? 即? 解得 10 ≤ d ≤ 35 ?r ? (60 ? d ) ≥ 80 ? 680 ? 3d ? (60 ? d ) ≥ 80 ? 5 ?
故当 d=10 时, r ?

680 ? 3d 最大,即圆面积最大. 5

所以当 OM = 10 m 时,圆形保护区的面积最大.


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