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唐山市2015-2016学年高三年级摸底考试数学理科答案


唐山市 2015—2016 学年度高三年级摸底考试

理科数学参考答案
一、选择题: A 卷:BCADC B 卷:DCABC 二、填空题: (13)40 CDABB BDACB AD DA (15) 1 2 (16)(2 3,4 3)

(14)1

三、解答题: (17)解: (Ⅰ)设数列{an}公差为 d(d>0) ,由已知得:a2(2a7-8)=(a4+2)2, 化简得:d2+4d-12=0,解得:d=2 或 d=-6(舍) , 所以 an=a1+(n-1)d=2n+2. …5 分 n(a1+an) n(2n+6) 2 (Ⅱ)因为 Sn= = =n +3n, 2 2 1 1 1 1 1 所以 bn= = = = - , Sn+2 n2+3n+2 (n+1)(n+2) n+1 n+2 所以 Tn=b1+b2+b3+…+bn 1 1 1 1 1 1 1 1 =( - )+( - )+( - )+…+( - ) 2 3 3 4 4 5 n+1 n+2 1 1 n = - = . 2 n+2 2n+4 …12 分

(18)解: (Ⅰ)由频率分布直方图可知,日销售量不低于 40 吨的频率为: 10×(0.025+0.015)=0.4, 记未来 3 天内,第 i 天日销售量不低于 40 吨为事件 Ai(i=1,2,3) ,则 P(Ai)=0.4, 未来 3 天内,连续 2 天日销量不低于 40 吨,另一天日销量低于 40 吨包含两个互斥 事件 A1A2 A 3 和 A 1A2A3,则: P(A1A2 A 3∪ A 1A2A3)=P(A1A2 A 3)+P( A 1A2A3) =0.4×0.4×(1-0.4)+(1-0.4)×0.4×0.4=0.192. (Ⅱ)X 可能的取值为 0,1,2,3,相应的概率分别为: P(X=0)=(1-0.4) =0.216, P(X=1)=C1 3×0.4×(1-0.4) =0.432, P(X=2)=C2 3×0.4 ×(1-0.4)=0.288, P(X=3)=0.4 =0.064, X 的分布列为
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3 2 2 3













…6 分

X 0 1 P 0.216 0.432 E(X)=3×0.4=1.2.

2 0.288

3 0.064 …12 分

(19)解: (Ⅰ)在梯形 ABCD 中,取 AB 中点 E,连结 DE,则 DE∥BC,且 DE=BC. 1 故 DE= AB,即点 D 在以 AB 为直径的圆上,所以 BD⊥AD. 2 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,BD?平面 ABCD, 所以 BD⊥平面 PAD. …5 分 (Ⅱ)取 AD 中点 O,连接 PO,则 PO⊥AD,连接 OE,则 z OE∥BD,∴OE⊥AD. P 以 O 为原点,分别以 OA,OE,OP 为 x 轴,y 轴,z 轴建 1 立如图所示的空间直角坐标系,易得 OE= BD= 3, 2 则 A(1,0,0),D(-1,0,0),E(0, 3,0),P(0,0, 3),
O A x D C

→ DC =→ AE =(-1, 3,0),→ DP =(1,0, 3).
取平面 PAD 的一个法向量为 n=(0,1,0), 设平面 PDC 的一个法向量为 m=(x,y,z), 由→ DC ·m=0,→ DP ·m=0 得:
? ?-x+ 3y=0, ? 令 y=1,得 m=( 3,1,-1), ?x+ 3z=0, ?

E y

B

所以 cos?m,n?=

m·n 5 = , |m||n| 5 5 . 5

因为二面角 A-PD-C 的平面角为钝角, 所以二面角 A-PD-C 的余弦值为- (20)解: x2 y2 (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0) , a b
y A P B F1 O F2 x

…12 分

? ?a -b =10, ?a2=18, 由题意可得? 9 4 解得? 2 ?b =8. ?a2+b2=1, ?
x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 18 8 …5 分

2

2

(Ⅱ) 直线 OP 方程为 2x-3y=0, 设直线 AB 方程为 2x-3y+t=0 (t∈R, 且 t≠0) . 2 2 将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程并整理得 8x +4tx+t -72=0. 设 A (x1,y1),B (x2,y2).
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当 Δ=16t2-32(t2-72)=16(144-t2)>0,即 0<|t|<12 时, t2-72 t 有 x1+x2=- ,x1x2= . ① 2 8 所以 y1-2 y2-2 2x1+t-6 2x2+t-6 4x1x2+(t-12)(x1+x2)-6(t-6) kPA+kPB= + = + = . x1-3 x2-3 3(x1-3) 3(x2-3) 3(x1-3)(x2-3) 将①代入上式得 kPA+kPB=0. 故直线 PA,PB 与 y 轴围成一个等腰三角形. …12 分 (21)解: 1 (Ⅰ)当 a=0 时,f (x)=ln x-2(x-1),f ?(x)= -2. x 设切点为(x0,y0),

?y0=ln x0-2(x0-1), ? ?x0=1, y0-1 则? 1 解得? ?y0=0. - 2 = , ? x0 ? x0
直线 y=mx+1 过点(1,0),解得 m=-1. …5 分 1 (Ⅱ)f ?(x)= +2ax-2. x 1 1 (ⅰ)若 a>0,则 f ?(x)= +2ax-2≥2( 2a-1),当且仅当 x= 时等号成立. x 2a 1 当 a≥ 时,f ?(x)≥0,f (x)在(0,+∞)单调递增. 2 又 f (1)=0,所以当 x∈(0,1)时,f (x)<0;当 x∈(1,+∞)时,f (x)>0. 于是有(x-1)f (x)≥0. 1+ 1-2a 1 当 0<a< ,记 x1= ,则 x1>1,当 x∈(1,x1)时,f ?(x)<0, 2 2a 所以 f (x)在(1,x1)单调递减,此时 f (x)<0,即(x-1)f (x)<0. 1 1 (ⅱ)若 a=0,则当 x∈ ,1 时,f ?(x)<0,f (x)在 ,1 单调递减, 2 2 此时 f (x)>f (1)=0,即(x-1)f (x)<0. 1- 1-2a (ⅲ)若 a<0,记 x2= ,则 0<x2<1. 2a E 当 x∈(x2,1)时,f ?(x)<0,所以 f (x)在(x2,1)单调递减, 此时 f (x)>f (1)=0,即(x-1)f (x)<0.

(

)

(

)

综上,a 取值范围是

1 [2 ,+∞).

…12 分
D F A O

C

(22)解: (Ⅰ)连 BD,与 OC 交于点 F, 因为 AB 为圆 O 的直径,所以 AD⊥BD, 又 AD∥OC,故 OC⊥BD,且 BF=DF, 所以 CD=CB,连 OD,则△OCD≌△OCB, 由 CB⊥OB 得 CD⊥OD,CD 是圆 O 的切线.
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B

…5 分

(Ⅱ)设 OA=1,AD=x,则 AB=2,AE=x+3, 由 AB2=AD?AE,即 x(x+3)=4 得,x=1. 则∠OAD=60° ,∠AEB=30° .

…10 分

(23)解: (Ⅰ)曲线 C1 的普通方程为(x-2)2+y2=4, 将其化为极坐标方程为 ρ=4cos θ. 在曲线 C2 的极坐标方程中,令 θ=0,得其极坐标为 D (2,0). …4 分 (Ⅱ)不妨设 A (ρA,β),B (ρB,β),则|AB|=|ρA-ρB|=ρB=2cos β, 1 3 由△ABD 的面积 S= |AB|?|OD|sin β=sin 2β= , 2 2 π π 解得 β= 或 . …10 分 6 3 (24)解: (Ⅰ)因为|x-3|+|x-5|≥|(x-3)-(x-5)|=2, 当 3≤x≤5 时取等号, 故 m≥2,即 t=2. 2 2 1 a +b (Ⅱ)由(Ⅰ)知 c=max , . a 2b 2 2 2 2 1 a +b a +b 则 c2≥ ? = ≥1, a 2b 2ab 2 2 1 a +b 等号当且仅当 = =1,即 a=b=1 时成立. a 2b 因为 c>0,所以 c≥1.

…4 分

{

}

…10 分

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