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2012年全国高中数学联赛(河南)赛区预赛试卷 无答案


2012 年全国高中数学联赛河南省预赛试题
本试卷满分 140 分
一、填空题(满分 64 分) 1、在小于 20 的正整数中,取出三个不同的数,使它们的和能够被 3 整除,则不用的取法种 数为_________________. 2、将长为的线段任意截成三段,则这三段能够组成三角形的概率为_________________. 3、在 ? ABC 中,? C

?

?
2

,?B ?

?
6

, AC ? 2 , M 为 A B 中点,将 ? ACM 沿 CM

折起,使 A , B 之间的距离为 2 4、若锐角 ? 满足

2 ,则点 M 到面 ABC 的距离为_________________.
? 2 3 t a n 1?0
o

1 tan 2

?

?

t a, 则 角 ? 的 度 数 为 n 2

_________________.

, 4 ? | l o x g ? |x ? 0 2 ? 5 、 函 数 f (x) ? ? 2 2 , 若 a, b, c, 互 不 相 同 , 且 d 70 x ? 8x ? ,x ? 4 ? 3 ?3
f ( a ) ? f ( b ) ? f ( c ) ? f ( d ) ,则 abcd 的取值范围是_________________.
6、各项均为正数的等比数列 ? a n ? 中, 2 a 4 ? a 3 ? 2 a 2 ? a1 ? 8 ,则 2 a 8 ? a 7 的最小值为 _________________. 7、 一只蚂蚁由长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D1 顶点 A 出发, 沿着长方体的表面达到顶点 C 1 的最 短距离为 6,则长方体的体积最大值为______________. 8 、

? x?















x















? log 2 1? ? ? log 2 2 ? ? ? log 2 3 ? ? ? ? ? log 2 2012 ? ? _________ .
二 、 本 题 满 分 16 分 ) 如 图 , 已 知 四 棱 锥 E ? ABCD 的 地 面 为 菱 形 , 且 (

?ABC ?

?
3

, AB ? EC ? 2 , AE ? BE ?

2.

(1)求证:平面 EAB ? ABCD 平面; (2)求二面角 A ? EC ? D 的余弦值. 三、 (本题满分 20 分)已知函数 f ( x ) ? (1)当时 x ? 0 ,求证:

ln (1 ? x ) x

(2)当 x ? ? 1 且 x ? 0 时,不等式 f ( x ) ?

1 ? kx 1? x

成立,求实数的值.

四、 (本题满分 20 分)数列 ? x n ? 中, x1 ? 1 且 x n ?1 ? 1 ?

1 xn ? 1

(1)设 a n ?

1 xn ? 2

,求数列 ? a n ? 的通项公式.

(2)设 bn ? x n ?

2 ,数列 ? bn ? 的前 n 项的和为 S n ,证明: S n ?

2 2

.

五、 (本题满分 20 分) 已知椭圆

x

2

过 ? y ? 1 ,P 是圆 x ? y ? 16 上任意一点, P 点
2

2

2

4
作椭圆的切线 P A , P B ,切点分别为 A , B ,求 P A ? P B 的最大值和最小值.

??? ??? ? ?

2012 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题 一、选择题(满分 36 分,每小题只有一个正确答案,请将正确答案的英文字母代号填入第 1 页指定地方,答对得 6 分,答错或不答均记 0 分) 2+x x>0 1.{5 x=0 则 f(-2)+f(0)+f(1)+f(3)的值为 x 2 x<0 (A) 8. (B) 11. (C)13·1/4 (D)15·1/2 2. 一个锐角的正弦和余弦恰是二次三项式 ax?+bx+c 的不同的两个根,则 a、b、c 之间的关系 是 (A) b?=a?-4ac (B) b?=a?+4ac (C) b?=a?-2ac (D) b?=a?+2ac 3.定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+2)=3f(x),当 x∈[0,2]时,f(x)=x? -2x,则 f(x)在 x ∈[-4,-2]上的最小值为 (A)-1/9 (B)-1/3 (C)1/3 (D)1/9 + + 4. 定义在正整数集 Z 上的函数 f,对于每一个 n∈Z 和无理数 π=3.14159265358...满足 f(n)= { k?的末位数字, (π 的小数点后第 n 位数字 k≠0) 3 (π 的小数点后第 n 位数字 k=0) 若函数 f(f(n)的值域记为 M ,则 A 1 M B 5 M C 6 M D 9 M

5.如图,在△ABC 中,∠A=30°,∠C=90°,以 C 为圆心,CB 为 半径作圆交 AB 边于 M, AC 边于 N, 为 CM 与 BN 的交点, AN=1, 交 P 若 则 S△CPN-S△BPM 等于 (A)1/8 (B)√3/8 (C)1/4 (D) √3/4

6.定义在(-1,1)上的函数 f(x)满足 f(x)-f(y)=f(x-y/1-xy),且当 x∈(-1,0)时,f(x)>0,若 P=f(1/4)+f(1/5),Q=f(1/6),R=f(0);则 P,Q,R 的大小关系为 (A)R>P>Q. (B)R>Q>P. (C)P>R>Q. (D)Q>P>R. 二、填空题(满分 64 分,每小题 8 分,请将答案填入第 1 页指定地方) 1、求 log2sin(π/3)+log2tan(π/6)+log2cos(π/4)的值 2. 已知 f(x)是四次多项式,且满足 f(i)=1/i ,i=1,2,3,4,5,求 f(6)的值 3.若[x]表示不超过 x 的最大整数,求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2012 的自然数 n 的值 4、如图,半径为 1 的两个等圆相交,在圆的公共部分 一内接正方形 ABCD。如果圆心距 O1O 等于 1,试求正 形 ABCD 的面积. 作 方

5.求

的值 6.在单位正方形 ABCD 中,分别以 A、B、C、D 四点为圆心,以 半径画弧,如右图所示.交点为 M,N,L,K,求阴影部分的面 1为 积.

7、已知二次函数 f(x)满足 f(-10)=9,f(-6)=7,f(2)=-9,求 f(100)的值 8、上底 BC=2,下底 AD=3 的梯形 ABCD 的对角线相交于点 O,彼此外切于点 O 的两个圆分别切 直线 AD 于点 A 和 D,交 BC 分别于点 A 和 D,交 BC 分别交于点 K 和 L,求 AK?+DL? 的值


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