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2014北京朝阳高考二模数学文


北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学学科测试(文史类) 2014.5
一、选择题: (1)若全集 U ? ?a, b, c, d? , A ? ?a, b? , B ? ?c? ,则集合 ?d ? 等于() . (A) ? U (A

B) (B) A B (C) A B (D) ? B) U (A

( 0, ??) (2)下列函数中,既是奇函数又在区间 上单调递增的函数为() .
(A) y ? sin x (B) y ? ln x (C) y ? x3 (D) y ? 2x (3)已知抛物线 x2 ? 2 y ,则它的焦点坐标是() . (A) ?

?1 ? ? 1? ? 1? ?1 ? , 0 ? (B) ? 0, ? (C) ? 0, ? (D) ? , 0 ? ?4 ? ? 2? ? 4? ?2 ?
开始 (D)5 输入 a i=0 a=2a+3 i=i+1
a >45? 是 否

(4)执行如图所示的程序框图.若输入 a ? 3 ,则输出 i 的值是() . (A)2 (B)3 (C)4

输出 i 结束 (5)由直线 x ? y ? 1 ? 0 , x ? y ? 5 ? 0 和 x ? 1 ? 0 所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示 为() .

? x ? y ? 1 ? 0, ? x ? y ? 1 ? 0, ? x ? y ? 1 ? 0, ? x ? y ? 1 ? 0, ? ? ? ? (A) ? x ? y ? 5 ? 0, (B) ? x ? y ? 5 ? 0, (C) ? x ? y ? 5 ? 0, (D) ? x ? y ? 5 ? 0, ? x ? 1. ? x ? 1. ? x ? 1. ? x ? 1. ? ? ? ?
(6)在区间[-?,?]上随机取一个实数 x ,则事件:“ cos x ? 0 ”的概率为() . (A)

1 3 2 1 (B) (C) (D) 4 4 3 2 9 7 1 (C) (D) ? 2 2 2 2 2
1/8

(7)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,前 n 项和为 Sn .若 a1 ? d ? 1 ,则 (A) 10 (B)

2 2 2 2 (8)已知平面上点 P ? ?( x, y ) ( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ? 16, 其中 x0 ? y0 ? 4 ,当 x0 , y0 变化时,则满足

?

条件的点 P 在平面上所组成图形的面积是() . (A) 4 π (B) 16π ( C) 32π (D) 36π 第二部分(非选择题共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.计算

1 ? 2i ?. 1? i

10.已知两点 A ?1,1? , B ? ?1, 2? ,若 BC ?

1 BA ,则 C 点的坐标是. 2

11.圆心在 x 轴上,半径长是 4 ,且与直线 x ? 5 相切的圆的方程是. 12.由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示,则其体 积是;表面积是.
2

2 正视图 侧视图

13.设一列匀速行驶的火车,通过长 860 m 的隧道时,整个车身都在隧 道里的时间是 22s .该列车以同样的速度穿过长 790 m 的铁桥时, 从车头上桥, 到车尾下桥, 共用时 33s , 则这列火车的长度为___ m .
2

14.在如图所示的棱长为 2 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,作与平 面 ACD1 平行的截面,则截得的三角形中,面积最大的值是___; 截得的平面图形中,面积最大的值是___.
A1

2 俯视图
D1 C1

B1

D

C

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算 步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 在

A

B

ABC 中, a , b , c 分别是角 A,B,C 的对边.已知 a ? 2 3 , A ?

π . 3

(Ⅰ)若 b ? 2 2 ,求角 C 的大小; (Ⅱ)若 c ? 2 ,求边 b 的长.

2/8

16. (本小题满分 13 分) 某市规定,高中学生在校期间须参加不少于 80 小时的社区服务才合格.某校随机抽取 20 位学生参加 社区服务的数据,按时间段[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100] (单位:小时)进行统计,其频率分 布直方图如图所示.
频率 组距

0.07 0.06 0.04 0.02 0.01

O O

75

80

85

90

95

100

服务时间/小时

(Ⅰ)求抽取的 20 人中,参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数; (Ⅱ)从参加社区服务时间不少于 90 小时的学生中任意选取 2 人,求所选学生的参加社区服务时间在同 一时间段内的概率.

17. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 PAD ? 底面 ABCD . (Ⅰ)若 E , F 分别为 PC , BD 中点, 求证: EF ∥平面 PAD ; (Ⅱ)求证: PA ? CD ; (Ⅲ) 若 PA ? PD ?
P

2 求证: 平面 PAB ? 平面 PCD . AD , 2
C

B

E F D

A

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ?

a ? ex (a?R ,a ? 0) . x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处切线的方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)当 x ? ? 0, ??? 时, f ( x ) ? 1 恒成立,求 a 的取值范围.
3/8

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

1 ,右焦点到右顶点的距离为 1 . 2

A ? O B (Ⅱ) 若直线 l : mx ? y ? 1 ? 0 与椭圆 C 交于 A, B 两点, 是否存在实数 m , 使O
若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由.

O ?A O B ?

成立?

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) 对任意 x, y ? R 都满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 1,且 f ( ) ? 0 ,数列 {an } 满足:

1 2

an ? f (n) , n ? N* .
(Ⅰ)求 f (0) 及 f (1) 的值; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)若 bn ? ( ) n ? ( )
a

1 4

1 2

3? an

,试问数列 {bn } 是否存在最大项和最小项?若存在,求出最大项和最小项;若

不存在,请说明理由.

4/8

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学学科测试文史类答案 一、选择题(满分 40 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 C 5 A 6 D 7 B 8 C 2014.5

二、填空题(满分 30 分) 题号 答案 9 10 11 12
2

13 200

14

1 3 ? ? i 2 2

? 3? ? 0, ? ? 2?

? x ? 1?

2

? y ? 16 和
2

? x ? 9?

? y 2 ? 16

8 2 ;8 3 3

2 3 ;3 3

三、解答题(满分 80 分) 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由正弦定理

a b ? , sin A sin B

2 3 2 2 ? 2 得 3 . sin B ,解得 sin B ? 2 2
由于 B 为三角形内角, b ? a ,则 B ? (Ⅱ)依题意, cos A ?

? ? ? ?? ,所以 C ? ? ? ? ? . ………6 分 3 4 12 4

b2 ? c 2 ? a 2 1 b 2 ? 4 ? 12 ,即 ? .整理得 b2 ? 2b ? 8 ? 0 , 2 4b 2bc ………13 分 又 b ? 0 ,所以 b ? 4 .

另解: 由于

a c ? ,所以 sin A sin C π . 6

2 3 2 1 ? 3 sin C ,解得 sin C ? 2 . 2

由于 a ? c ,所以 C ? 由A?

π π ,得 B ? . 3 2
………13 分

由勾股定理 b2 ? c 2 ? a 2 ,解得 b ? 4 . 16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意可知,

参加社区服务在时间段 [90,95) 的学生人数为 20 ? 0.04 ? 5 ? 4 (人) , 参加社区服务在时间段 [95,100]的学生人数为 20 ? 0.02 ? 5 ? 2 (人) . 所以参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数为 4+2 ? 6 (人) . ………5 分 (Ⅱ)设所选学生的参加服务时间在同一时间段内为事件 A . 由(Ⅰ)可知,
5/8

参加社区服务在时间段[90,95) 的学生有 4 人,记为 a, b, c, d ; 参加社区服务在时间段[95,100]的学生有 2 人,记为 A, B . 从这 6 人中任意选取 2 人有 ab, ac, ad , aA, aB ,bc ,bd ,bA,bB ,cd ,cA ,cB ,dA ,dB , AB 共 15 种情况. 事件 A 包括 ab, ac, ad , bc, bd , cd , AB 共 7 种情况. 所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率 P ( A) ? 17. (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)如图,连结 AC . 因为底面 ABCD 是正方形, 所以 AC 与 BD 互相平分. 又因为 F 是 BD 中点, 所以 F 是 AC 中点. 在△ PAC 中, E 是 PC 中点, F 是 AC 中点, 所以 EF ∥ PA . 又因为 EF ? 平面 PAD , PA ? 平面 PAD , 所以 EF ∥平面 PAD . (Ⅱ)因为平面 PAD ? 底面 ABCD ,且平面 PAD 又 CD ? AD , CD ? 平面 ABCD , 所以 CD ? 面 PAD . 又因为 PA ? 平面 PAD , 所以 CD ? PA .即 PA ? CD . (Ⅲ)在△ PAD 中,因为 PA ? PD ? 所以 PA ? PD . 由(Ⅱ)可知 PA ? CD ,且 CD 所以 PA ? 平面 PCD . 又因为 PA ? 平面 PAB , 所以平面 PAB ? 平面 PCD . 18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ) f ?( x) ? ………14 分 ………9 分 ………4 分 平面 ABCD =AD ,
C F D B E A P

7 .………13 分 15

2 AD , 2
PD=D ,

ax ? e x ? ae x ae x ( x ? 1) ,x ? 0. ? x2 x2

e x ( x ? 1) . x2 依题意 f ?(1) ? 0 ,即在 x ? 1 处切线的斜率为 0 .
当 a ? 1 时, f ?( x) ? 把 x ? 1 代入 f ( x) ?

ex 中,得 f (1) ? e . x
………………….4 分

则曲线 f ( x ) 在 x ? 1 处切线的方程为 y ? e . (Ⅱ)函数 f ( x ) 的定义域为 x x ? 0 .
6/8

?

?

f ?( x) ?

ax ? e x ? ae x ae x ( x ? 1) . ? x2 x2 (1)若 a ? 0 , 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x ) 为增函数; 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 0 和 0 ? x ? 1 时,函数 f ( x ) 为减函数.

(2)若 a ? 0 , 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 0 和 0 ? x ? 1 时,函数 f ( x ) 为增函数; 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x ) 为减函数. 综上所述, a ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 ?1, ?? ? ;单调减区间为 ? ??,0? , ? 0,1? .

a ? 0 时, 函数 f ( x) 的单调增区间为 ? ??,0? , ? 0,1? ;单调减区间为 ?1, ?? ? .
………………….9 分 (Ⅲ) 当 x ? ? 0, ??? 时, 要使 f ( x) ? 则 g ?( x ) ?

x x a ?e 即使 a ? x 在 x ? ? 0, ??? 时恒成立. 设 g ( x) ? x , ? 1 恒成立, e e x
x

1? x .可知在 0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 为增函数; ex 1 1 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 为减函数.则 g ( x) max ? g (1) ? .从而 a ? . e e 另解: (1)当 a ? 0 时, f (a) ? ea ? 1 ,所以 f ( x ) ? 1 不恒成立.
(2)当 a ? 0 且 x ? ? 0, ??? 时,由(Ⅰ)知,函数 f ( x ) 的单调增区间为 ?1, ?? ? ,单调减区间为 ? 0,1? .所 以函数 f ( x ) 的最小值为 f (1) ? ae ,依题意 f (1) ? ae ? 1, 解得 a ?

1 . e
综上所述, a ?

1 . e

………………….13 分

19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? ,半焦距为 c . a 2 b2

c 1 ? ?e ? ? , 依题意 ? a 2 解得 c ? 1 , a ? 2 ,所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 . ? ?a ? c ? 1.
所以椭圆 C 的标准方程是

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

………………….4 分

(Ⅱ)不存在实数 m ,使 | OA ? OB |?| OA ? OB | ,证明如下: 把 y ? ?mx ? 1 代入椭圆 C: 3x2 ? 4 y 2 ? 12 中,整理得 (3 ? 4m2 ) x2 ? 8mx ? 8 ? 0 . 由于直线 l 恒过椭圆内定点 ? 0, ?1? ,所以判别式 ? ? 0 . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

8m ?8 , x1 ? x2 ? . 2 4m ? 3 4m 2 ? 3
7/8

依题意,若 | OA ? OB |?| OA ? OB | ,平方得 OA ? OB ? 0 .

即 x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (?mx1 ? 1) ? (?mx2 ? 1) ? 0 , 整理得 (m ? 1) x1x2 ? m( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 ,
2

?8 8m2 ? ?1 ? 0 , 4 m 2 ? 3 4m 2 ? 3 5 2 整理得 m ? ? ,矛盾. 12
所以 (m2 ? 1) 所以不存在实数 m ,使 | OA ? OB |?| OA ? OB | . 20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)在 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 1中,取 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? ?1 , ………………….14 分

1 ,得 f (1) ? 1 ,…………2 分 2 (Ⅱ)在 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 1中,令 x ? n , y ? 1 ,
在 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 1中,取 x ? y ? 得 f (n ? 1) ? f (n) ? 2 ,即 an?1 ? an ? 2 . 所以 {an } 是等差数列,公差为 2,又首项 a1 ? f (1) ? 1 ,所以 an ? 2n ? 1, n ? N* . …………6 分 (Ⅲ)数列 {bn } 存在最大项和最小项

1 1 1 1 ? ( ) 2 n ?1 ,则 bn ? t 2 ? t ? (t ? )2 ? , 2 8 16 256 1 显然 0 ? t ? ,又因为 n ? N? , 2 1 3 所以当 t ? ,即 n ? 1 时, {bn } 的最大项为 b1 ? . 2 16 1 3 当t ? ,即 n ? 3 时, {bn } 的最小项为 b3 ? ? . 32 1024
令t ? ( )
an

1 2

…………13 分

8/8


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