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2.2.2椭圆的简单几何性质


一、复习回顾:
1.椭圆定义:
把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数 (大于|F1F2 |)的点的轨迹叫做椭圆。

| PF1 | ? | PF2 |? 2a (2a ?| F1F2 |)

2.椭圆的标准方程: 2 2
当焦点在x轴上时 当焦点在y轴上时

3.椭圆中a,b,c

的关系:

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 2 2 2 a =b +c

x2 y 2 1. 椭圆 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的范围 a b
y2 x2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 0, b a x2 y2 ? 1? 2 ? 0 2 a b

x ? 2 ? 1, a

2

y ?1 2 b

2

? ? a ? x ? a, ? b ? y ? b
?椭圆位于直线x ? ?a, y ? ?b所围成的矩形里。

x2 y 2 2. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0)的对称性 a b

根据椭圆的图形,观察它有何对称性?
y

o

x

x2 y 2 2. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0)的对称性 a b
从图形上看,椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 如何从方程来分析这些对称性呢? (1)把y换成-y方程不变,椭圆关于x轴对称; (2)把x换成-x方程不变,椭圆关于y轴对称; (3)把x换成-x,同时把y换成-y方程不变, 椭圆 关于原点成中心对称。
结论: 坐标轴是椭圆的对称轴, 原点是椭圆的对称中心,
3

y
P(x,y)

P2( ?x, y)

o

x
P1(x,?y)

椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。 P ( ?x,?y)

x y 3. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0)的顶点 a b y
顶点:椭圆与它的对称轴的 四个交点,叫做椭圆的顶点。 这四个顶点的坐标是什么?
A1 F1 B2

2

2

b

a

o
B1

c

A2

F2

x

A1 ( ? a,0),

A2 ( a,0)

B1 (0, ?b), B2 (0, b)
长轴和短轴:线段A1 A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴, 它们的长分别等于2a和2b。

a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

y
x2 y 2 4. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0)的离心率 a b

o

x

c 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比e= 称为椭圆的离心率。 a

?1?离心率的取值范围:因为a

? c ? 0,所以0<e<1

? 2 ?离心率对椭圆形状的影响:
①.e越接近1,c就越接近a,b= a 2 ? c 2 就越小,椭圆就越扁.

②.e越接近0,c就越接近0,b就越接近a,椭圆就越接近圆.
③.特例:若e ? 0即a ? b,则c ? 0,两个焦点重合,图形变为圆, 它的方程为x2 +y 2 =a 2

标准方程
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标
x

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

2

y

o

x

?a



x≤ a , ? b ≤ y ≤ b

关于x轴、y轴成轴对称;---对称轴 关于原点成中心对称-----对称中心

(?a,0)、 (a,0)、 (0,?b)、 (0, b)

(?c,0)、 (c,0)
长半轴长为a, 短半轴长为b, (a ? b ? 0)
c e? (0 ? e ? 1) a

半轴长 离心率

a , b, c 的关系

a2=b2+c2

标准方程 图形 范围 对称性 顶点坐标

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
y

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a y
o

o

x

x

? a ≤ x ≤ a , ? b ≤ y ≤ b ? a ≤ y≤ a , ? b≤ x ≤ b
关于x轴、y轴成轴对称;

同左

关于原点成中心对称

(?a,0)、 (a,0)、 (0,?b)、 (0, b) (0,?a)、 (0, a)、 (?b,0)、 (b,0)

焦点坐标
半轴长 离心率

(?c,0)、 (c,0)
长半轴长为a, 短半轴长为b, (a ? b ? 0)
e? c (0 ? e ? 1) a

(0,?c)、 (0, c)
同左 同左 同左

a , b, c 的关系

a2=b2+c2

探究:
b c 1. 和 的大小能刻画椭圆的扁平程度吗?为什么? a b 解:能,理由如下:


c 当 ? +?时,b ? 0,此时c ? a, 椭圆越扁。 b c 2.你能运用三角函数的知识解释,为什么e= a c 越大,椭圆越扁?e= 越小,椭圆越圆吗? a

c ②当 ? 0时,c ? 0, 此时b ? a, 椭圆越圆; b

b b ? 1, b ? a, 椭圆越圆; ? 0, b ? 0, 椭圆越扁。 a a

c 解:如图,在Rt?B2F2O中,cos?B2F2O= , a

c c 越大,?B2F2O越小,椭圆越扁; 越小,?B2F2O越大,椭圆越圆。 a a

例4. 求椭圆16x2 +25y 2 =400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和 顶点坐标,并作出简图。

y
x y ? ?1 2 2 5 4
2 2

B2

解:把已知方程化成标准方程

A1

O
B1

x A2

于是a ? 5, b ? 4, c ? 25 ? 16 ? 3

因此,椭圆的长轴长和短轴长分别是2a=10和2b=8
c 3 离心率e ? = a 5
两个焦点坐标分别是F(-3,0) 和F2(3,0) 1

四个顶点坐标分别是A1 (?5, 0), A2 (5, 0), B1 (0, ?4), B2 (0, 4)

例5 如图,一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴 旋转一周形成的曲面)的一部分。过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分, 灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,片门位于另一个焦点F2上,由椭圆一个焦点 F1出发的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2 .已知BC ? F1 F2 , F1 B ? 2.8cm, F1 F2 ? 4.5cm, 求截口BAC 所在椭圆的方程。

x2 y 2 解:建立如图所示的直角坐标系,设所求椭圆方程为 2 ? 2 ? 1. a b
y B F1 C o F2 x

在Rt ?BF1 F2中, F2 B ?

F1 B ? F1 F2

2

2

? 2.82 ? 4.52

由椭圆的性质知, F1B ? F2 B ? 2a, 所以
1 1 a ? ( F1 B ? F2 B ) ? (2.8 ? 2.82 ? 4.52 ) ? 4.1 2 2
x2 y2 ? 所求的椭圆方程为 2 ? ?1 2 4.1 3.4

A

b ? a 2 ? c 2 ? 4.12 ? 2.252 ? 3.4

例6.点M ( x, y )与定点F (4,0)的距离和它到直线l : x ? 4 是常数 ,求点M 的轨迹。 5

25 的距离的比 4

解:设d 是点M 到直线l : x ?
y l M o d H x

25 的距离,根据题意, 4

? MF 4 ? ? ? 点M 的轨迹就是集合P ? ? M ? ?, d 5? ? ? ?

F

( x ? 4) ? y 2 4 由此得 ? . 25 5 ?x 4

将上式两边平方,并化简,得9 x2 ? 25 y 2 ? 225,

x2 y 2 即 ? ?1 25 9

所以,点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10 、的椭圆。 6

a2 变式:若点M(x, y )与定点F(c, 0)的距离和它到定直线l : x ? 的距离 c c 的比是常数 (a ? c ? 0), 求点M的轨迹。 a
y
I’ F’ o M F

l

解:设d 是M到直线l的距离,根据题意, 所求轨迹就是集合

x

? x ? c? ? y2 c ? MF c ? ? p= ? M | ? ? , 由此得 2 a a d a? ? ?x
2

c

将上式两边平方,并化简,得 ? a 2 ? c 2 ? x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 ? a 2 ? c 2 ?
2 2 x y 设a 2 ? c 2 ? b2 , 就可化成 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b

这是椭圆的标准方程,所以点M的轨迹是长轴、短轴分别为2a, 2b的椭圆

椭圆的第二定义 :
a2 若点M ? x, y ? 与定点F ? c, 0 ?的距离和它到定直线l:x= 的距离的比是常数 c c e ? (a ? c ? 0), 则点M的轨迹是一个椭圆,定点F(c, 0)是椭圆的一个焦点, a a2 定直线l:x= 称为相应于焦点F的准线,常数e是椭圆的离心率。 c
说明:⑴ 椭圆的第二定义隐含着条件“定点在定直线外”,否则,其轨迹不存在。

y I’ F’ o M F l

x2 y 2 a2 ⑵ 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0)的准线方程为x= ? a b c
y 2 x2 a2 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0)的准线方程为y= ? a b c

x

a2 b2 2a 2 ⑶ 焦点到相应准线的距离叫焦准距,记作p= ? c ? ,两准线间的距离为 c c c

⑷ 离心率的几何意义:离心率是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比

x2 y 2 例7:已知椭圆 ? ? 1,直线l: 4 x - 5 y ? 40 ? 0.椭圆上是否存在一点, 25 9 它到直线l的距离最小?最小距离是多少?

解:设直线m平行于l,则m可写成: 4x ? 5 y ? k ? 0 ①
?4 x ? 5 y ? k ? 0 ? 由方程组 ? x 2 y 2 ?1 ? ? ? 25 9
F1

l

y

m m o
F2

x

消去y,得25 x 2 ? 8kx ? k 2 - 225 ? 0 ②
令②? ? 0,得64k 2 - 4 ? 25 (k 2 - 225) ? 0 ③ 解③ 得k1 =25,k 2 =-25

由图可知,当k ? 25时,直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近,
此时直线m的方程为4x-5y+25=0。
? 直线m与直线l间的最小距离d ? 40 ? 25 4 2 ? 52 ? 15 41 41

课堂练习:教材第48页, 1、、 2 3、、 4 5、 6、 7 课外作业:教材第49页习题2.2 A组3、、 4 5、 8、 9、 10

二0一三年三月?日


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