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2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(word版本)


2012 高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题(70 分) 1、当 x ? [?3,3] 时,函数

f ( x) ?| x 3 ? 3x | 的最大值为__18___. ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 2、在 ?ABC 中,已知 AC ? BC ? 12, AC ? BA ? ?4, 则 AC ? ___4____.

3、从集合

?3,4,5,6,7,8? 中随机选取 3 个不同的数,这 3 个数可以构成等差数列的概率为

_____

3 _______. 10
2

4、已知 a 是实数,方程 x

? (4 ? i ) x ? 4 ? ai ? 0 的一个实根是 b ( i 是虚部单位) ,则

| a ? bi | 的值为_____ 2 2 ___.
5、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F ,一条过原点 O 且 12 4

倾斜角为锐角的直线 l 与双曲线 C 交于 A, B 两点.若 ?FAB 的面积为 8 率为___

3 ,则直线的斜

1 ____. 2
? a lg a 的取值范围是___ [1, ??) _____.

6、已知 a 是正实数, k

7、在四面体 ABCD 中, AB ? 体积为_____ 5 8 、 已 知

AC ? AD ? DB ? 5 , BC ? 3 , CD ? 4 该四面体的

3 _______.
等 差 数 列

?an ?











?bn ?







a1 ? b1 ? 3, a2 ? b2 ? 7, a3 ? b3 ? 15, a4 ? b4 ? 35, 则 an ? bn ? ___ 3n?1 ? 2n ___.
(n? N )
*

二、解答题(本题 80 分,每题 20 分) 11、在 ?ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c ,证明: (1) b cos C ? c cos B ? a
2 C cos A ? c cos B 2sin 2 ? (2) a?b c

1

a a, b 为 实 数 , 函 数 f ( x) ?| ln x ? | ?b( x ? 0) e x f (1) ? e ? 1, f (2) ? ? ln 2 ? 1 . 2 (1)求实数 a, b ; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)若实数 c , d 满足 c ? d , cd ? 1,求证: f (c) ? f (d )
12 、 已 知

. 若

2

13、如图,半径为 1 的圆 O 上有一定点 M 为圆 O 上的动点.在射线 OM 上有一动点

B , AB ? 1, OB ? 1.线段 AB 交圆 O 于另一点 C ,D 为线段的 OB 中点.求线段 CD 长
的取值范围.

3

14、设是 a, b, c, d 正整数, a, b 是方程 x 长是整数且面积为 ab 的直角三角形.

2

? (d ? c) x ? cd ? 0 的两个根.证明:存在边

4


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