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武汉市东湖中学2018届高三理科第一次月考1


武汉市东湖中学 2018 届高三理科第一次月考

数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一项是符合题目要求的) 1+2i 1. = (1-i)2 1 A.-1-2i 1 B.-1+2i 1 C.1+2i 1 D.1-2i

2.已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 -=3.5, 3. 已知变量 x 与 y 正相关, 且由观测数据算得样本平均数x=3, y 则由该观测数据算得的线性回归方程可能是 ^=0.4x+2.3 ^=2x-2.4 A.y B.y ^=-2x+9.5 D.y ^=-0.3x+4.4 C.y 4.已知向量 a,b 的夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|= A. 2 B.2 2 C.3 2 D.4 2 5.若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为 11 A. 2 B.5 3 2 9 C.2 D.4 3 3 2 3+ 6 2 3+ 39 4 1 A. 2

6.在△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60° ,则 BC 边上的高等于 A. B. C. D.

x+y-2≤0, ? ? 7. x, y 满足约束条件?x-2y-2≤0, ? ?2x-y+2≥0. 或-1 1 B.2 或 2 C.2 或 1

若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一, 则实数 a 的值为

D.2 或-1

8.执行右边的程序框图,如果输入 a=4,那么输出的 n 的值为 A.2 B.3 C.4 D.5

9、设 (5x ? x )n 的展开式的各项系数之和为 M ,二项式系数之和为
N ,若 M ? N ? 240 ,则展开中 x3 的系数为(

) D. 150

A.-500

B.500

C.-150

10 某学校随机抽取 20 个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为 5 将数据分组成[0,5),[5,10),?,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是

x2 y2 11.已知抛物线 y2=2px(p>0)与双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)有相同的焦点 F,点 A 是两曲线的 一个交点,且 AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为 A 2+2 B 5+1 C 3+1 D 2+1

12、 有限数列 A ? ?a1 , a2 ,?an ?的前 k 项和为 S k ?k ? 1,2,?, n? , 定义

S1 ? S 2 ? ? ? S n 为A的 “凯 n

森和” ,如果有 99 项的数列 ?a1 , a2 ,?a99 ?的数列的“凯森和”为 1000,那么有 100 项的数列

?1, a1 , a2 ,?a99 ?的“凯森和”为(
A.1001
二、填空题:

) C.991 D.990

B.999

13、已知 ? ? (?

?

4 , 0), cos(? ? ? ) ? ? , 则 tan 2? = 2 5


14、若?Tx2dx=9,则常数 T 的值为 ?0
影票连号,那么不同的分法种数是 .

15、将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张电影票全部分给 4 人,每人至少 1 张.如果分给同一人的 2 张电
?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 16、若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 z ? x2 ? y 2 ? 4 y ? 1的最小值为 ?2 y ? 1 ? 0 ?



三、解答题:

1 ? ? 17 已知函数 a = (cos x, ) , b = ( 3 sin x,cos 2x) ,x∈R,设函数 f ( x) ? a ? b ? 1 2
2? 3

?

?

2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)当 x ? (0, ) 时,求 f ( x ) 的取值范围.

2 18.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点,AA1=AC=CB= 2 AB. (Ⅰ)证明:BC1∥平面 A1CD; (Ⅱ)求二面角 D-A1C-E 的正弦值.

2 19 现有 A,B 两球队进行友谊比赛,设 A 队在每局比赛中获胜的概率都是3. (Ⅰ)若比赛 6 局,求 A 队至多获胜 4 局的概率; (Ⅱ)若采用“五局三胜”制,求比赛局数 ξ 的分布列和数学期望.

20 已知点 A 是椭圆 C :

x2 y 2 直线 l : x ? my ? 1(m ? R) 与椭圆 C 相交于 E , F 两点, ? ? 1? t ? 0 ? 的左顶点, 9 t

与 x 轴相交于点 B .且当 m ? 0 时,△ AEF 的面积为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

16 . 3

(Ⅱ)设直线 AE , AF 与直线 x ? 3 分别交于 M , N 两点,试判断以 MN 为直径的圆是否经过 点 B ?并请说明理由.

21 已知函数 f ( x ) 是定义在 [?e,0) ? (0, e] 上的奇函数,当 x ? (0, e] 时, f ( x) ? ax ? ln x (其中 e 为自然对数的 底, a 为常数且 a ? R ). (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)是否存在负 实数 a ,使得当 x ? [?e,0) 时, f ( x ) 的最小值是 3?如果存在,求出负 实数 a 的值;如 . . 果不存在,请说明理由. 1 ln | x | (3)设 g ( x) ? ( x ?[?e,0) ? (0, e]) ,求证:当 a ? ?1 时, | f ( x) |? g ( x) ? . 2 | x|

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E,证明: (I)BE=EC; (II)AD· DE=2PB2。

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 p=2cosθ,θ ? [0,

? ]。 2

(I)求 C 的参数方程; (II)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3 x+2 垂直,根据(I)中你得到的参数方程,确定 D 的坐标。

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f(x)=|x+

1 |+|x-a|(a>0)。 a

(I)证明:f(x)≥2; (II)若 f(3)<5,求 a 的取值范围。

参考答案 一、选择题 BAACD BDBDA DC 二、填空题 13. ?
24 7

14. 3

15.

96

16.

13 4

三、解答题 17. 解:(Ⅰ)因为

? ? 1 1 ? 1 1 f ( x) ? a ? b ? = ( 3 sin 2 x ? cos 2 x) ? ? sin(2 x ? ) ? .2 分 6 2 2 2 2
2? ? ?. ?
??????????????4 分

所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? 由

? 2? ? ? 3? ? k? . ? 2k ? ? 2 x ? ? ? 2k ? ,得 ? k ? ? x ? 6 3 2 6 2 ? 2? ? k ?] ( k ? Z ) 故函数 f ( x ) 的单调递减区间是 [ ? k ?, .????????8 分 6 3
(Ⅱ) 因 为 0 ? x ?

2? ? ? 3? ? ,所以 ? 2 x ? ? . ?1 ? sin(2 x ? ) ? 1 3 6 6 2 6
3 1 , ] 2 2
??????????????? 12 分

所以 f ( x ) 的取值范围是 ( ?

18. 解: (Ⅰ)如图,连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 的中点. 又 D 是 AB 的中点,连结 DF,则 BC1∥DF. ∵BC1?平面 A1CD,DF?平面 A1CD, ∴BC1∥平面 A1CD.????????????????????????4 分 2 (Ⅱ)由 AC=CB= 2 AB,得 AC⊥BC. → 以 C 为坐标原点,CA的方向为 x 轴的正方向,建立如 空间直角坐标系 C-xyz. 设 CA=2,则 D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2), → → → ∴CD=(1,1,0),CE=(0,2,1),CA1=(2,0,2). 设 n=(x1,y1,z1)是平面 A1CD 的法向量,则 → ? ?n·CD=0, ? → ? ?n·CA1=0.
?x1+y1=0, ? 即? 可取 n=(1, -1, ?2x1+2z1=0. ?

图所示的

-1).

同理,设 m 是平面 A1CE 的法向量,则 → ? ?m·CE=0, ? → ?m·CA ? 1=0.

可取 m=(2,1,-2).

n ·m 3 从而 cos<n,m>= = , |n||m| 3

6 ∴sin<n,m>= 3 . 6 故二面角 D-A1C-E 的正弦值为 3 .?????????????????12 分 19. 解: (Ⅰ)记“比赛 6 局,A 队至多获胜 4 局”为事件 A, 2 26 256 473 5 2 5 则 P(A)=1-[C6 (3) (1-3)+C6 6( ) ]=1- 3 729=729. 473 故 A 队至多获胜 4 局的概率为729.??????????????????4 分 (Ⅱ)由题意可知,ξ 的可能取值为 3,4,5. 2 1 9 1 P(ξ=3)=(3)3+(3)3=27=3, 1 2 2 1 10 2 2 2 2 1 2 P(ξ=4)=C3 ( ) × × +C3 ( )× × = , 3 3 3 3 3 3 27 8 2 2 2 1 2 P(ξ=5)=C4 (3) (3) =27. ∴ξ 的分布列为:
ξ P 3 1 3 4 10 27 5 8 27

1 10 8 107 ∴E(ξ)=3×3+4×27+5×27= 27 .????????????????12 分 20. 解: (Ⅰ)当 m ? 0 时,直线 l 的方程为 x ? 1 ,设点 E 在 x 轴上方,

? x2 y 2 ? 1, 4 2t 2 2t 2 2t ? ? 由? 9 解得 E (1, . ), F (1, ? ) ,所以 EF ? t 3 3 3 ? x ?1 ?
因为△ AEF 的面积为

x2 y 2 1 4 2t 16 ?1. ? 4? ? ,解得 t ? 2 .所以椭圆 C 的方程为 ? 9 2 2 3 3

?4 分

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 (Ⅱ)由 ? 9 得 (2m ? 9) y ? 4my ?16 ? 0 ,显然 m ? R 2 ? x ? my ? 1 ?
设 E ( x1, y1 ), F ( x2 , y2 ) , 则 y1 ? y2 ?

?4m ?16 , y1 y2 ? ,??????????????????6 分 2 2m ? 9 2m 2 ? 9

x1 ? my1 ? 1 , x2 ? my2 ? 1 .
y1 ? ( x ? 3), y1 6 y1 ?y ? x1 ? 3 ( x ? 3) ,由 ? ), 又直线 AE 的方程为 y ? 解得 M (3, x1 ? 3 x ? 3 1 ? x?3 ?

同理得 N (3,

???? ? 6 y2 6 y1 ???? 6 y2 ) .所以 BM ? (2, ), BN ? (2, ) ,????????9 分 x2 ? 3 x1 ? 3 x2 ? 3 6 y1 6 y2 ) ? (2, ) x1 ? 3 x2 ? 3

又因为 BM ? BN ? (2,

???? ? ????

? 4?

36 y1 y2 36 y1 y2 ? 4? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) (my1 ? 4)(my2 ? 4)

?

4(my1 ? 4)(my2 ? 4) ? 36 y1 y2 m2 y1 y2 ? 4m( y1 ? y2 ) ? 16

?

?16(4m2 ? 36) ? 16 ? 4m2 ? 16 ? 4(2m2 ? 9) ?32m2 ? 16(2m2 ? 9)
?64m2 ? 576 ? 64m2 ? 128m2 ? 576 ?0. 9

?

所以 BM ? BN ,所以以 MN 为直径的圆过点 B . ?????????????12 分 21. 解: (1) f ( x) ? ?

???? ?

????

?ax ? ln(? x), x ?[?e,0) ?ax ? ln x, x ? (0, e]

??????????????4 分

1 4 1 (2)当a ?[- , 0)时, f ( x) min ? f (e) ? 3,? a ? ? ?[- , 0), 舍 e e e 1 1 2 当a ? (-?,- )时,f ( x) min ? f ( ) ? 3, ?a ? ? e ???????8 分 e a ? a ? ?e 2

(3)当x ? (0, e]时, f ( x) ? ? x ? ln x , 下面讨论f (x)=-x+ln(x),x ? (0,e] 1 1? x f ' ( x) ? ?1 ? ? ,? x ? (0,1), f ' ( x) ? 0 x x ' x ? (1, e), f ( x) ? 0, f ( x) max ? f (1) ? ?1, x ? 0? , f ( x) ? ??? f ( x) ? 1 又 ? f ( x)为奇函数 ? f ( x) ? 1, x ? [?e, 0) ? (0,e]
ln x x

g ( x) ?

为偶函数,故只需要讨论x ? (0, e]

当x ? (0, e]时,g(x)=

ln( x) ' 1 ? ln( x) , g(x)= ?0 x x2 1 g ( x)在(0, e]上单增, ? g ( x) max ? g (e) ? e
1 1 1 ? ? ? 1,? f ( x) ? g ( x) ? e 2 2
??????????????????12 分


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