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上海市闵行区2016届高考数学一模试卷(理科)(解析版)


2016 上海市闵行区高考数学一模试卷(理科)
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若复数 z 满足 2.若全集 U=R,函数 3.方程 4x﹣2x﹣6=0 的解为 4.函数 (i 为虚数单位),则|z| 的值域为集合 A,则?UA= . 的最小正周期 t=

. . .

5.不等式 >|x|的解集为

. . 是基本单位向量,则△ ABC 的面积

6.已知圆锥的底面半径为 3,体积是 12π,则圆锥侧面积等于 7.已知△ ABC 中, 为 . , ,其中

8.在 2017 年的上海高考改革方案中,要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理 6 门学科中选择 3 门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门, 那么小明同学的选科方案有 9.若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 种. ,则 = .

10.若函数 f(x)=2|x﹣a|(a∈R)满足 f(1+x)=f(1﹣x),且 f(x)在[m,+∞)上单调递增,则 实数 m 的最小值等于 11.若点 P、Q 均在椭圆 . (a>1)上运动,F1、F2 是椭圆 Γ 的左、右焦点,则

的最大值为



12.已知函数

,若实数 a、b、c 互不相等,且满足 f(a)=f

(b)=f(c),则 a+b+c 的取值范围是


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13.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依 据是:设实数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为 和 (a,b,c,d∈N*),则 确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 π=3.14159…,若令 得 是 π 的更为精确的过剩近似值,即 . 且(an+1﹣p)(an . 是 x 的更为精

,则第一次用“调日法”后

,若每次都取最简分数,那么第四次用“调日

法”后可得 π 的近似分数为

14.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N*, ﹣p)<0 恒成立,则实数 p 的取值范围是

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应 编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.若 a,b∈R,且 ab>0,则“a=b”是“ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既非充分又非必要条件 ) 等号成立”的( )

16.设 f(x)=2+5x+10x2+10x3+5x4+x5,则其反函数的解析式为( A. B. C. D.

17. B, C 的对边分别为 a, b, c, △ ABC 的内角 A, 满足 A. B. C. D.

, 则角 A 的范围是 (



18.函数 f(x)的定义域为[﹣1,1],图象如图 1 所示;函数 g(x)的定义域为[﹣1,2],图象如图 2 所示.A={x|f(g(x))=0},B={x|g(f(x))=0},则 A∩B 中元素的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

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三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AA1=AB=2,BC=1, 为棱 AA1 中点,证明异面直线 B1C1 与 CD 所成角为 ,并求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积. ,D

20.如图,点 A、B 分别是角 α、β 的终边与单位圆的交点, (1)若 , ,求 sin2β 的值;



(2)证明:cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

21. l2, 某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路 l1、 海岸边界 MPN 近似地看成一条曲线段. 为 开发旅游资源,需修建一条连接两条公路的直线型观光大道 AB,且直线 AB 与曲线 MPN 有且仅有 一个公共点 P(即直线与曲线相切),如图所示.若曲线段 MPN 是函数 图象的一段,点 M 到

l1、l2 的距离分别为 8 千米和 1 千米,点 N 到 l2 的距离为 10 千米,以 l1、l2 分别为 x、y 轴建立如图 所示的平面直角坐标系 xOy,设点 P 的横坐标为 p. (1)求曲线段 MPN 的函数关系式,并指出其定义域; (2)若某人从点 O 沿公路至点 P 观景,要使得沿折线 OAP 比沿折线 OBP 的路程更近,求 p 的取 值范围.

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22.已知椭圆 Γ 的中心在坐标原点,且经过点 点重合. (1)求椭圆 Γ 的方程;

,它的一个焦点与抛物线 E:y2=4x 的焦

(2)斜率为 k 的直线 l 过点 F(1,0),且与抛物线 E 交于 A、B 两点,设点 P(﹣1,k),△ PAB 的面积为 ,求 k 的值;

(3)若直线 l 过点 M(0,m)(m≠0),且与椭圆 Γ 交于 C、D 两点,点 C 关于 y 轴的对称点为 Q, 直线 QD 的纵截距为 n,证明:mn 为定值. 23.已知数列{an}的各项均为整数,其前 n 项和为 Sn.规定:若数列{an}满足前 r 项依次成公差为 1 的等差数列,从第 r﹣1 项起往后依次成公比为 2 的等比数列,则称数列{an}为“r 关联数列”. (1)若数列{an}为“6 关联数列”,求数列{an}的通项公式; (2)在(1)的条件下,求出 Sn,并证明:对任意 n∈N*,anSn≥a6S6; (3)已知数列{an}为“r 关联数列”,且 a1=﹣10,是否存在正整数 k,m(m>k),使得 a1+a2+…+ak
﹣1

+ak=a1+a2+…+am﹣1+am?若存在,求出所有的 k,m 值;若不存在,请说明理由.

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2016 上海市闵行区高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若复数 z 满足 【考点】复数求模. 【专题】转化思想;综合法;数系的扩充和复数. 【分析】根据复数的四则运算先化简复数,然后计算复数的长度即可 【解答】解:∵ ∴﹣z= i+1, i, =2, , (i 为虚数单位),则|z| 2 .

∴z=﹣1﹣ ∴|z|=

故答案为:2. 【点评】本题主要考查复数的计算,要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式,比较 基础.

2.若全集 U=R,函数 【考点】补集及其运算. 【专题】计算题.

的值域为集合 A,则?UA= (﹣∞,0) .

【分析】求出函数的值域确定出 A,根据全集 U=R,找出 A 的补集即可. 【解答】解:函数 y=x ∵全集 U=R, ∴?UA=(﹣∞,0). 故答案为:(﹣∞,0) 【点评】此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键. ≥0,得到 A=[0,+∞),

3.方程 4x﹣2x﹣6=0 的解为

log23 .
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【考点】指数式与对数式的互化;二次函数的性质. 【专题】计算题. 【分析】由 4x﹣2x﹣6=0,得(2x)2﹣2x﹣6=0,由此能求出方程 4x﹣2x﹣6=0 的解. 【解答】解:由 4x﹣2x﹣6=0,得 (2x)2﹣2x﹣6=0, 解得 2x=3,或 2x=﹣2(舍去), ∴x=log23. 故答案为:log23. 【点评】本题考查指数方程的解法,解题时要认真审题,注意指数式和对数式的互化.

4.函数

的最小正周期 t= π .

【考点】二阶行列式的定义;三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 【专题】计算题;转化思想;综合法;三角函数的求值;矩阵和变换. 【分析】利用二阶行列式展开式法则和余弦函数二倍角公式求解. 【解答】解:函数 =cos(π﹣x)cosx﹣sin(π+x)sinx =﹣cos2x+sin2x =﹣cos2x, ∴函数 故答案为:π. 【点评】本题考查三角函数的最小正周期的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意二阶行列式 展开法则的合理运用. 的最小正周期 t= =π.

5.不等式 >|x|的解集为 (0,2) . 【考点】其他不等式的解法. 【专题】不等式的解法及应用.
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【分析】不等式即

>0,显然 x<0 时不成立.当 x>0 时,根据 >0,显然 x<0 时不成立.

<0,求得不等式的解集.

【解答】解:当 x<0 时, >﹣x,即 当 x>0 时,

<0,解得 0<x<2,所以不等式的解集为(0,2),

故答案为:(0,2). 【点评】本题主要考查分式不等式的解法,体现了转化以及分类讨论的数学思想,属于中档题.

6.已知圆锥的底面半径为 3,体积是 12π,则圆锥侧面积等于 15π . 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;旋转体(圆柱、圆锥、圆台). 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】根据圆锥的体积计算出圆锥的高,以及圆锥的母线,进而求出圆锥的侧面积. 【解答】解:设圆锥的高为 h,底面半径为 r, ∵圆锥的底面半径为 3,体积是 12π, ∴ 即 h=4, ∴圆锥的母线长 l= ∴圆锥的侧面积 S=πrl=3×5π=15π, 故答案为:15π. 【点评】本题主要考查圆锥的体积和侧面积的计算,要求熟练掌握圆锥的体积和侧面积公式. , ,

7.已知△ ABC 中, . 【考点】三角形的面积公式.



,其中

是基本单位向量,则△ ABC 的面积为

【专题】转化思想;综合法;解三角形. 【分析】根据平面向量的数量积以及坐标运算,求出向量的模长,判断三角形是直角三角形,求出 面积即可. 【解答】解:根据题意,得: ∴ = ﹣ =(﹣7,1),
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=(4,3),

=(﹣3,4),

∴ ∴|

2

=42+32=25, |2+| |2,

2

=(﹣3)2+42=25,

2

=(﹣7)2+12=50;

|2=|

△ ABC 是直角三角形,它的面积为 S= ×5×5= 故答案为: .



【点评】本题考查了平面向量的应用问题,解题时应根据平面向量的数量积以及坐标运算,进行解 答,是基础题.

8.在 2017 年的上海高考改革方案中,要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理 6 门学科中选择 3 门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门, 那么小明同学的选科方案有 10 种.

【考点】排列、组合的实际应用. 【专题】计算题;方程思想;综合法;排列组合. 【分析】分类讨论:选择两门理科学科,一门文科学科;选择三门理科学科,即可得出结论. 【解答】解:选择两门理科学科,一门文科学科,有 C32C31=9 种;选择三门理科学科,有 1 种, 故共有 10 种. 故答案为:10. 【点评】本题考查计数原理的应用,考查学生的计算能力,比较基础.

9.若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 【考点】数列的极限.

,则

=

5 .

【专题】方程思想;分析法;等差数列与等比数列. 【分析】设等差数列{an}的公差为 d,运用等差数列的求和公式,计算可得 d=10,再由 计算即可得到所求值. 【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d, 即有 Sn=na1+ n(n﹣1)d, 即 =a1+ d(n﹣1), =0,

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,可得

a1+ d=a1+ d+10, 解得 d=10, 则 = =5+ ,

即有 =5+0=5.

=

(5+

)=5+

故答案为:5. 【点评】本题考查等差数列的求和公式的运用,考查数列极限的求法,注意运用数列极限公式,属 于中档题.

10.若函数 f(x)=2|x﹣a|(a∈R)满足 f(1+x)=f(1﹣x),且 f(x)在[m,+∞)上单调递增,则 实数 m 的最小值等于 1 . 【考点】抽象函数及其应用. 【专题】转化思想;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】先由 f(1+x)=f(1﹣x)得到 f(x)的图象关于直线 x=1 轴对称,进而求得 a=1,再根据 题中所给单调区间,求出 m≥1. 【解答】解:因为 f(1+x)=f(1﹣x), 所以,f(x)的图象关于直线 x=1 轴对称, 而 f(x)=2|x﹣a|,所以 f(x)的图象关于直线 x=a 轴对称, 因此,a=1,f(x)=2|x﹣1|, 且该函数在(﹣∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增, 又因为函数 f(x)在[m,+∞)上单调递增, 所以,m≥1,即实数 m 的最小值为 1. 故答案为:1. 【点评】本题主要考查了指数型复合函数的图象与性质,涉及该函数图象的对称性和单调区间,体 现了数形结合的解题思想,属于中档题.

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11.若点 P、Q 均在椭圆

(a>1)上运动,F1、F2 是椭圆 Γ 的左、右焦点,则

的最大值为 2a . 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】数形结合;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用向量的平行四边形法则可得: 的性质即可得出. 【解答】解:∵ ∴ ∴ 故答案为:2a. 【点评】本题考查了椭圆的定义及其标准方程、向量的平行四边形法则与三角形法则,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题. = =2 , =2 ≤2a, =2 ,代入再利用向量的三角形法则、椭圆

的最大值为 2a,

12.已知函数

,若实数 a、b、c 互不相等,且满足 f(a)=f

(b)=f(c),则 a+b+c 的取值范围是 (8,23) . 【考点】余弦函数的对称性;分段函数的应用. 【专题】综合题;数形结合;数形结合法;函数的性质及应用;三角函数的图像与性质. 【分析】作出函数 f(x)的图象,根据 f(a)=f(b)=f(c),确定 a,b,c 的范围,即可得出 a+b+c 的取值范围. 【解答】解:作出 f(x)的函数图象,如图: 令 log 令 log (x﹣3)+1=1,解得 x=4. (x﹣3)+1=﹣1,解得 x=19.

设 a<b<c,则 a+b=4,4<c<19. ∴8<a+b+c<23. 故答案为(8,23).
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【点评】本题以三角函数和对数函数为例,考查了函数的零点与方程根个数讨论等知识点,利用数 形结合,观察图象的变化,从而得出变量的取值范围是解决本题的关键.

13.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依 据是:设实数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为 和 (a,b,c,d∈N*),则 确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 π=3.14159…,若令 得 是 π 的更为精确的过剩近似值,即 . 是 x 的更为精

,则第一次用“调日法”后

,若每次都取最简分数,那么第四次用“调日

法”后可得 π 的近似分数为 【考点】归纳推理.

【专题】计算题;方程思想;综合法;推理和证明. 【分析】利用“调日法”进行计算,即可得出结论. 【解答】解:第二次用“调日法”后得 第三次用“调日法”后得 第四次用“调日法”后得 故答案为: 【点评】本题考查“调日法”,考查学生的计算能力,比较基础. 是 π 的更为精确的过剩近似值,即 <π< <π< , , <π< ;

是 π 的更为精确的过剩近似值,即 是 π 的更为精确的过剩近似值,即

14.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N*, ﹣p)<0 恒成立,则实数 p 的取值范围是 【考点】数列递推式. 【专题】综合题;函数思想;转化思想;综合法;等差数列与等比数列.
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且(an+1﹣p)(an .

【分析】由数列递推式求出首项,写出 n≥2 时的递推式,作差后对 n 分偶数和奇数讨论,求出数列 通项公式,可得函数 为正偶数)为增函数,最小值为 围. 【解答】解:由 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1= = 若 n 为偶数,则 若 n 为奇数,则 ∴ 函数 函数 (n 为正偶数). (n 为正奇数)为减函数,最大值为 (n 为正偶数)为增函数,最小值为 . , ,∴ = . (n 为正奇数); = , ,得 ; (n 为正奇数) 为减函数, 最大值为 , 函数 (n

.再由(an+1﹣p)(an﹣p)<0 恒成立求得实数 p 的取值范

若(an+1﹣p)(an﹣p)<0 恒成立, 则 a1<p<a2,即 故答案为: . .

【点评】本题考查数列递推式,考查了数列通项公式的求法,体现了分类讨论的数学思想方法和数 学转化思想方法,是中档题.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应 编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.若 a,b∈R,且 ab>0,则“a=b”是“ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既非充分又非必要条件 等号成立”的( )

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】定义法;不等式的解法及应用;简易逻辑.
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【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合基本的性质进行判断即可. 【解答】解:∵ab>0,∴ >0, 当 a=b,则 + =1+1=2,此时等号成立, + ≥2 故“a=b”是“ 故选:A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据基本不等式的性质是解决本题的关键. =2,当且仅当 = ,即 a=b 时取等号, 等号成立”的充要条件,

16.设 f(x)=2+5x+10x2+10x3+5x4+x5,则其反函数的解析式为( A. B. C. D.



【考点】反函数. 【专题】定义法;函数的性质及应用;二项式定理. 【分析】根据二项式定理:(1+x)5=1+5x+10x2+10x3+5x4+x5,原函数可写成 y=1+(1+x)5,再求 其反函数即可. 【解答】解:因为 y=f(x)=2+5x+10x2+10x3+5x4+x5 =1+[1+5x+10x2+10x3+5x4+x5]=1+(1+x)5, 即 y=1+(1+x)5,所以,1+x= 因此,x=﹣1+ , , ,x∈R, ,

再交换 x,y 得,y=﹣1+

所以,f(x)的反函数的解析式为 f﹣1(x)=﹣1+ 故答案为:C.

【点评】本题主要考查了反函数及其解法,涉及二项式定理的应用,根式的运算和函数定义域与值 域的确定,属于中档题.

17. B, C 的对边分别为 a, b, c, △ ABC 的内角 A, 满足 A. B. C. D.
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, 则角 A 的范围是 (



【考点】余弦定理. 【专题】计算题;数形结合;分析法;解三角形. 【分析】由已知可得(a﹣b+c)(a+b﹣c)≤bc,整理可得:b2+c2﹣a2≥bc,利用余弦定理可得 cosA= ≥ = ,利用余弦函数的图象和性质即可得解 A 的范围.

【解答】解:∵



又∵由于三角形两边之和大于第三边,可得 a+c﹣b>0,a+b﹣c>0,且 b,c>0, ∴(a﹣b+c)(a+b﹣c)≤bc,整理可得:b2+c2﹣a2≥bc, ∴cosA= ≥ = ,

∵A∈(0, 故选:B.

).

【点评】本题主要考查了余弦定理,余弦函数的图象和性质的综合应用,考查了计算能力和数形结 合能力,属于中档题.

18.函数 f(x)的定义域为[﹣1,1],图象如图 1 所示;函数 g(x)的定义域为[﹣1,2],图象如图 2 所示.A={x|f(g(x))=0},B={x|g(f(x))=0},则 A∩B 中元素的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【考点】函数的图象;交集及其运算. 【专题】数形结合;定义法;函数的性质及应用;集合. 【分析】结合图象,分别求出集合 A,B,再根据交集的定义求出 A∩B,问题得以解决. 【解答】解:由图象可知, 若 f(g(x))=0, 则 g(x)=0 或 g(x)=1,
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由图 2 知,g(x)=0 时,x=0,或 x=2, g(x)=1 时,x=1 或 x=﹣1 故 A={﹣1,0,1,2}, 若 g(f(x))=0, 由图 1 知,f(x)=0,或 f(x)=2(舍去), 当 f(x)=0 时,x=﹣1 或 0 或 1, 故 B={﹣1,0,1}, 所以 A∩B={﹣1,0,1}, 则 A∩B 中元素的个数为 3 个. 故选:C. 【点评】本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用,属于中档题.

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AA1=AB=2,BC=1, 为棱 AA1 中点,证明异面直线 B1C1 与 CD 所成角为 ,并求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积. ,D

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离. 【分析】在△ ABC 中使用正弦定理得出∠ACB=90°,即 AC⊥BC,又 AA1⊥平面 ABC 得 AA1⊥BC, 故 BC⊥平面 ACC1A1,于是 BC⊥CD,由 BC∥B1C1 得出 B1C1⊥CD,利用棱柱的体积公式求出棱 柱的体积. 【解答】证明:在△ ABC 中,由正弦定理得
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,即



∴sin∠ACB=1,即

,∴BC⊥AC.

∵AA1⊥平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴BC⊥AA1,又 AC?平面 ACC1A1,AA1?平面 ACC1A1,AA1∩AC=A, ∴BC⊥平面平面 ACC1A1,CD?平面 ACC1A1, ∴BC⊥CD,∵BC∥B1C1, ∴B1C1⊥CD, ∴异面直线 B1C1 与 CD 所成角为 ∵AB=2,BC=1,∠ACB= ∴AC= . = . , .

∴三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积 V=S△ ABC?AA1=

【点评】本题考查了线面垂直的判定,棱柱的结构特征,棱柱的体积计算,属于中档题.

20.如图,点 A、B 分别是角 α、β 的终边与单位圆的交点, (1)若 , ,求 sin2β 的值;



(2)证明:cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

【考点】两角和与差的余弦函数;任意角的三角函数的定义. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值. 【分析】(1)由条件利用二倍角公式,诱导公式,求得 sin2β 的值. (2)由条件利用两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义,证得公式成立. 【解答】解:(1)由 ∵ ,∴cos( |=| ,可得 cos(2α﹣2β)=2cos2(α﹣β)﹣1=﹣ , ﹣2β)=﹣ ,∴sin2β= . |=1,且 与 的夹角为 α﹣β,
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(2) 由题意可得,|

=(cosα,sinα) ,

=(cosβ,sinβ) ,

=cosαcosβ+sinαsinβ=1×1×cos(α﹣β), ∴cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ 成立. 【点评】本题主要考查二倍角公式,诱导公式的应用,两个向量的数量积的运算,属于中档题.

21. l2, 某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路 l1、 海岸边界 MPN 近似地看成一条曲线段. 为 开发旅游资源,需修建一条连接两条公路的直线型观光大道 AB,且直线 AB 与曲线 MPN 有且仅有 一个公共点 P(即直线与曲线相切),如图所示.若曲线段 MPN 是函数 图象的一段,点 M 到

l1、l2 的距离分别为 8 千米和 1 千米,点 N 到 l2 的距离为 10 千米,以 l1、l2 分别为 x、y 轴建立如图 所示的平面直角坐标系 xOy,设点 P 的横坐标为 p. (1)求曲线段 MPN 的函数关系式,并指出其定义域; (2)若某人从点 O 沿公路至点 P 观景,要使得沿折线 OAP 比沿折线 OBP 的路程更近,求 p 的取 值范围.

【考点】两点间距离公式的应用;函数解析式的求解及常用方法. 【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】(1)由题意得 M(1,8),则 a=8,故曲线段 MPN 的函数关系式为 (2) 的取值范围. 【解答】解:(1)由题意得 M(1,8),则 a=8,故曲线段 MPN 的函数关系式为 又得 (2) ,所以定义域为[1,10].… ,设 , ,设 与 ,可得其定义域;

联立求出 A,B 的坐标,即可求出最短长度 p

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得 kpx2+(8﹣kp2)x﹣8p=0,

△ =(8﹣kp2)2+32kp2=(kp2+8)2=0,… ∴kp2+8=0,∴ 得 ,得直线 AB 方程为 ,故点 P 为 AB 线段的中点, 即 p2﹣8>0… 时,OA<OB, 时,经点 A 至 P 路程最近. ,…

由 得 所以,当

【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生分析解决问题的能力,确定函数关系是关 键.

22.已知椭圆 Γ 的中心在坐标原点,且经过点 点重合. (1)求椭圆 Γ 的方程;

,它的一个焦点与抛物线 E:y2=4x 的焦

(2)斜率为 k 的直线 l 过点 F(1,0),且与抛物线 E 交于 A、B 两点,设点 P(﹣1,k),△ PAB 的面积为 ,求 k 的值;

(3)若直线 l 过点 M(0,m)(m≠0),且与椭圆 Γ 交于 C、D 两点,点 C 关于 y 轴的对称点为 Q, 直线 QD 的纵截距为 n,证明:mn 为定值. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】数形结合;方程思想;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】(1)设椭圆的方程为

,由题设得

,解出即可得出.

(2)设直线 l:y=k(x﹣1),与椭圆方程联立可得 k2x2﹣2(k2+2)x+k2=0,l 与抛物线 E 有两个 k≠0, P k) △ >0, 交点, 利用根与系数的关系可得|AB|, (﹣1, 到 l 的距离 解出即可得出.
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, 又



(3)由 C(x1,y1),D(x2,y2),点 C 关于 y 轴的对称点为 Q(﹣x1,y1),则直线 ,设 x=0 得 m;直线 得 n,再利用根与系数的关系即可得出. ,设 x=0

【解答】解:(1)设椭圆的方程为

,由题设得







∴椭圆 Γ 的方程是



(2)设直线 l:y=k(x﹣1),由

,得 k2x2﹣2(k2+2)x+k2=0,

l 与抛物线 E 有两个交点,k≠0,△ =16(k2+1)>0, 则 ,

P(﹣1,k)到 l 的距离

,又



∴ ∴4k2=3k2+3,故 .



(3)∵C(x1,y1),D(x2,y2),点 C 关于 y 轴的对称点为 Q(﹣x1,y1), 则直线 ,设 x=0 得

直线

,设 x=0 得





,又











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【点评】本题考查了椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、 三角形面积计算公式、轴对称问题、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

23.已知数列{an}的各项均为整数,其前 n 项和为 Sn.规定:若数列{an}满足前 r 项依次成公差为 1 的等差数列,从第 r﹣1 项起往后依次成公比为 2 的等比数列,则称数列{an}为“r 关联数列”. (1)若数列{an}为“6 关联数列”,求数列{an}的通项公式; (2)在(1)的条件下,求出 Sn,并证明:对任意 n∈N*,anSn≥a6S6; (3)已知数列{an}为“r 关联数列”,且 a1=﹣10,是否存在正整数 k,m(m>k),使得 a1+a2+…+ak
﹣1

+ak=a1+a2+…+am﹣1+am?若存在,求出所有的 k,m 值;若不存在,请说明理由.

【考点】数列的应用. 【专题】综合题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】(1)若数列{an}为“6 关联数列”,{an}前 6 项为等差数列,从第 5 项起为等比数列,可得 a6=a1+5,a5=a1+4,且 ,即 ,解得 a1,即可求数列{an}的通项公式;

(2)由(1)得

(或

,可见

数列{anSn}的最小项为 a6S6=﹣6,即可证明:对任意 n∈N*,anSn≥a6S6;

(3)

,分类讨论,求出所有的 k,m 值.

【解答】解:(1)∵数列{an}为“6 关联数列”, ∴{an}前 6 项为等差数列,从第 5 项起为等比数列, ∴a6=a1+5,a5=a1+4,且 ,即 ,解得 a1=﹣3…



(或

). …

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(2)由(1)得

(或

)…

, {Sn}:﹣3,﹣5,﹣6,﹣6,﹣5,﹣3,1,9,25,…{anSn}:9,10,6,0,﹣5,﹣6,4,72,400,…, 可见数列{anSn}的最小项为 a6S6=﹣6,

证明:



列举法知当 n≤5 时,(anSn)min=a5S5=﹣5; … 当 n≥6 时, ,设 t=2n﹣5,则 . …

(3)数列{an}为“r 关联数列”,且 a1=﹣10,∵





①当 k<m≤12 时,由 m>k,∴ 或 .

得(k+m) (k﹣m)=21(k﹣m)k+m=21,k,m≤12,

②当 m>k>12 时,由 2k﹣11﹣56=2m﹣11﹣56 得 m=k,不存在 … ③当 k≤12,m>12 时,由 ,2m﹣10=k2﹣21k+112

当 k=1 时,2m﹣10=92,m?N*;当 k=2 时,2m﹣10=74,m?N*; 当 k=3 时,2m﹣10=58,m?N*;当 k=4 时,2m﹣10=44,m?N*; 当 k=5 时,2m﹣10=25,m=15∈N*;当 k=6 时,2m﹣10=22,m?N*; 当 k=7 时,2m﹣10=14,m?N*;当 k=8 时,2m﹣10=23,m=13∈N*; 当 k=9 时,2m﹣10=22,m=12 舍去;当 k=10 时,2m﹣10=2,m=11 舍去 当 k=11 时,2m﹣10=2,m=11 舍去;当 k=12 时,2m﹣10=22,m=12 舍去… 综上所述,∴存在 或 或 或 . …

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【点评】本题考查数列的应用,考查新定义,考查数列的通项,考查分类讨论的数学思想,难度大.

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