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首届全国中学生数理化学科能力竞赛高二数学学科能力解题技能全国总决赛试题


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首届全国中学生数理化学科能力竞赛 高二数学学科能力解题技能全国总决赛试题
一.选择题(每题 5 分,共 30 分) 1.设数集 M ? {x | m ? x ? m ? }, N ? {x | n ?

2 3

3 ? x ?

n} 且 M、N 都是集合 {x | 0 ? x ? 1} 的子集,如 4
)

果把 b-a 叫做集合 {x | a ? x ? b} 的“长度” ,那么集合 M ? N 的“长度”的最小值为( A

1 12

B

1 3

C

5 12

D

2 3 3 ,0 ) 对 称 , 且 满 足 4

2 . 已 知 定 义 在 R

上 的 函 数

f(x) 的 图 象 关 于 点 ( -

3 f ( x) ? ? f ( x ? ), f (?1) ? 1, f (0) ? ?2, 则 2
f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2009 ) ? _______.
A -1 B 0 C 1
2

D 2
2

3.设 x, y ?R,且满足 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 T ? x ? y ? 4 x ? 2 y 的最小值为( A 5 B

) .

5

C 0

D -5
2

4.若实数 a 、 b 、 c 满足 2 b ? a + c ,则直线 a x + b y + c ? 0 被圆 x 2 + y ? 5 截得的线段中点的轨 迹方程是( A C ) . B

1 5 ( x ? ) 2 + ( y ? 1)2 ? 2 4 1 2 5 ( x ? ) ? ( y ? 1) 2 ? 2 4

1 5 ( x ? ) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 4 1 2 5 2 D ( x ? ) ? ( y ? 1) ? 2 4
2 2

5.设 [ x] 表示不超过实数 x 的最大整数,则在坐标平面内满足方程 [ x] ?[ y ] ? 25 的点 ( x, y ) 所成的图形 的面积为( A 1 ) . B

4
2

C 8
2

D

10 ) .

6.在坐标平面内,点集 {( x, y) | x ? y ?| x | ? | y |, x, y ? R } 表示的图形的面积为(

A 1? ? B 2 ?? C 2 ? 2? D 2 ? 3? 二.填空题(每题 5 分,共 30 分) 7.设 A1 , A2 ,?, A2009 是半径为 1 的圆 O 内接正 2009 边形的顶点, P 是圆周上的任意一点,则

PA1 ? PA2 ? ? ? ? ? PA2009 ?
8.若方程 2a ? 9
sin x

2

2

2

. .
x

? 4a ? 3sin x ? a ? 8 ? 0 有解,则实数 a 的取值范围为

9. f ( x) 是定义在 R 上的函数, f (1) ? 2009, 设 若 且对任意 x ? R, 满足 f ( x ? 2) - f ( x) ? 3· ,f ( x ? 4) 2 - f ( x) ? 15· 2 ,则 f (2009) ? ___________.
x

10.设三定点 Q 、 A 、 B 不共线,记 QA ? a 、 QB ? b ,如果点 P 是△ ABQ 内部的动点,且
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QP ? p a ? qb ,那么在直角坐标系 p O q 中动点 M ( p, q) 所构成的区域的面积等于
11.一三角形三边边长分别是 a ? b , a ? 4b ,3b ( a, b 为正数),则它的面积为
2 2 2 2

. .

12 . 已 知 函 数 f (x) ? x ? 9 ? x ? 8 ? x ? 7 ? ? ? x ? 29 ? x ? 30 . 若 存 在 实 数 m , 使 得 不 等 式

f ( x) ? 388 ? m 2 ? 15 对于任意 x ?R 恒成立,则实数 m 的取值范围为__________.
三.解答题(每题 20 分,共 60 分) 13 . 已 知 △ ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 成 等 差 数 列 , x , y , z ∈ R + , 若 满 足 下 列 2 个 条 件 : ①

x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 xy cosC ? 2 yz cos A ? 2 zx cos B ;② x,y,z 的倒数成等差数列.求
角 A、B、C.
A(A1,A2,A3)

B 14.如图甲,在直角梯形 A1A2A3D 中,A1A2⊥A1D, A1A2⊥A2A3,且 B、 C 分别是边 A1A2、A2 A3 上的一点,沿线段 BC、CD、DB 分别将△ C BCA2、△CDA3、△DBA1 翻折上去恰好使 A1、A2、A3 重合于一点 A 乙 (如图乙) . 当 A1D=10、A1A2=8 时,求二面角 A-CD-B 的平面角的正切值. 15.已知一扇形数表(如下图),它的生成方式为:第 n 层的每个数 x 都生成了第 n ? 1层的 2 个数,向左上 方生成的数为 ?x ,向右上方生成的数为 x ? 3 .

D

(1)设第 n 层数字的个数为 an ,求数列 ? an ? 的通项公式; (2)设数表中前 n 层数字的个数为 S n ,求数列 ? S n ? 的通项公式; (3)设前 n 层数表中不同数字的个数为 Tn ,求数列 ?Tn ? 的通项公式. 首届全国中学生数理化学科能力竞赛 高二数学学科能力解题技能全国总决赛试题答案 1.C. 2.D. 3.C. 4.A. 5.C. 6.B.7.4018 8.

8 7 2 2009 ?a? 9. 2 +2007. 3 1 2 3

10.

1 . 2

11.

3ab . 12. ? 3 3 , ? 3 ? ( 3 , 3 3 ) . 2

?

?

13. A=B=C=

? . 3

14.

17 . 8

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15. (1) an ? 2

n ?1

n ?1 ? 1 ? n?2 ; (2) S n ? 2 ? 1 ; (3) Tn ? ? 3 ? 4n ? 6 n ? 3 ?
n

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