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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(苏教版,必修一) 第二章函数 2.1.2 课时作业]


2.1.2

函数的表示方法

课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中, 会根据不同的需要选择恰当方法表示函数.

1.函数的三种表示法 (1)列表法:用列表来表示两个变量之间函数关系的方法. (2)解析法:用等式来表示两个变量之间函数关系的方法. (3)图象法:用图象表示两个变

量之间函数关系的方法. 2.分段函数 在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式,像这样的函数通常叫做分段函数.

一、填空题 1.一个面积为 100 cm2 的等腰梯形,上底长为 x cm,下底长为上底长的 3 倍,则把它的 高 y 表示成 x 的函数为________. 2.一水池有 2 个进水口,1 个出水口,进出水速度如图甲、乙所示.某天 0 点到 6 点, 该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口)

给出以下 3 个论断:①0 点到 3 点只进水不出水;②3 点到 4 点不进水只出水;③4 点到 6 点不进水不出水.则正确论断的个数是________. 1 x 3.如果 f( )= ,则当 x≠0 时,f(x)=________. x 1-x 4.已知 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 g(x)=__________________________________. ? ?x≥6? ?x-5 5.已知 f(x)=? ,则 f(3)=_________________________________. ?f?x+2? ?x<6? ?
? ?x≥9? ?x-3 6.已知 f(x)=? ,则 f(7)=________________________________. ? ?f[f?x+4?] ?x<9? 7.一个弹簧不挂物体时长 12 cm,挂上物体后会伸长,伸长的长度与所挂物体的质量成 正比例. 如果挂上 3 kg 物体后弹簧总长是 13.5 cm, 则弹簧总长 y(cm)与所挂物体质量 x(kg) 之间的函数关系式为________________________________. 1 8.已知函数 y=f(x)满足 f(x)=2f( )+x,则 f(x)的解析式为____________. x 9.已知 f(x)是一次函数,若 f(f(x))=4x+8,则 f(x)的解析式为________. 二、解答题

10.已知二次函数 f(x)满足 f(0)=f(4),且 f(x)=0 的两根平方和为 10,图象过(0,3)点,求 f(x)的解析式.

11.画出函数 f(x)=-x2+2x+3 的图象,并根据图象回答下列问题: (1)比较 f(0)、f(1)、f(3)的大小; (2)若 x1<x2<1,比较 f(x1)与 f(x2)的大小; (3)求函数 f(x)的值域.

能力提升 12.在交通拥挤及事故多发地段,为了确保交通安全,规定在此地段内,车距 d 是车速 v(公里/小时)的平方与车身长 S(米)的积的正比例函数,且最小车距不得小于车身长的一 半. 现假定车速为 50 公里/小时, 车距恰好等于车身长, 试写出 d 关于 v 的函数关系式(其 中 S 为常数).

13.设 f(x)是 R 上的函数,且满足 f(0)=1,并且对任意实数 x,y,有 f(x-y)=f(x)-y(2x -y+1),求 f(x)的解析式.

1.如何作函数的图象 一般地,作函数图象主要有三步:列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定 义域,再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数),再列表描出图象,并 在画图象的同时注意一些关键点,如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等. 2.如何求函数的解析式 求函数的解析式的关键是理解对应法则 f 的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应 处理的操作方法,与用什么字母表示无关),应用适当的方法,注意有的函数要注明定义 域.主要方法有:代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法). 3.分段函数是一个函数而非几个函数. 分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集,其值域是各段上“值域”的并集. 分段函数的图象应分段来作,特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况, 以决定这些点的实虚情况.

2.1.2

函数的表示方法

作业设计 50 1.y= (x>0) x x+3x 解析 由 · y=100,得 2xy=100. 2 50 ∴y= (x>0). x 2.1 解析 由题意可知在 0 点到 3 点这段时间,每小时进水量为 2,即 2 个进水口同时进水且 不出水,所以①正确;从丙图可知 3 点到 4 点水量减少了 1,所以应该是有一个进水口进 水,同时出水口也出水,故②错;当两个进水口同时进水,出水口也同时出水时,水量 保持不变,也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错. 1 3. x-1 1 1 1 x 解析 令 =t,则 x= ,代入 f( )= , x t x 1-x 1 t 1 则有 f(t)= = . 1 t-1 1- t 4.2x-1 解析 由已知得:g(x+2)=2x+3, 令 t=x+2,则 x=t-2, 代入 g(x+2)=2x+3, 则有 g(t)=2(t-2)+3=2t-1. 5.2 解析 ∵3<6, ∴f(3)=f(3+2)=f(5)=f(5+2)=f(7)=7-5=2. 6.6 解析 ∵7<9, ∴f(7)=f[f(7+4)]=f[f(11)]=f(11-3)=f(8). 又∵8<9,∴f(8)=f[f(12)]=f(9)=9-3=6. 即 f(7)=6. 1 7.y= x+12 2

1 解析 设所求函数解析式为 y=kx+12,把 x=3,y=13.5 代入,得 13.5=3k+12,k= . 2 1 所以所求的函数解析式为 y= x+12. 2 2 x +2 8.f(x)=- (x≠0) 3x 1 解析 ∵f(x)=2f( )+x,① x 1 1 1 ∴将 x 换成 ,得 f( )=2f(x)+ .② x x x 1 2 x 由①②消去 f( ),得 f(x)=- - , x 3x 3 x2+2 即 f(x)=- (x≠0). 3x 8 9.f(x)=2x+ 或 f(x)=-2x-8 3 解析 设 f(x)=ax+b(a≠0), 则 f(f(x))=f(ax+b)=a2x+ab+b. a=2 ? ?a2=4 ?a=-2 ? ? ? ∴? ,解得? 8 或? . ? ? b= ?ab+b=8 ?b=-8 ? ? 3 10.解 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0). f?0?=c, ? ? 由 f(0)=f(4)知?f?4?=16a+4b+c, ? ?f?0?=f?4?, 得 4a+b=0.① 又图象过(0,3)点, 所以 c=3.② 设 f(x)=0 的两实根为 x1,x2, b c 则 x1+x2=- ,x1· x2= . a a b2 c 2 2 所以 x2 1+x2=(x1+x2) -2x1x2=(- ) -2·=10. a a 即 b2-2ac=10a2.③ 由①②③得 a=1,b=-4,c=3.所以 f(x)=x2-4x+3. 11.解 因为函数 f(x)=-x2+2x+3 的定义域为 R,列表: x y ? ? -2 -5 -1 0 0 3 1 4 2 3 3 0 4 -5 ? ?

连线,描点,得函数图象如图:

(1)根据图象,容易发现 f(0)=3, f(1)=4,f(3)=0,

所以 f(3)<f(0)<f(1). (2)根据图象,容易发现当 x1<x2<1 时,有 f(x1)<f(x2). (3)根据图象,可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点,开口向下的抛物线,因此,函数的 值域为(-∞,4]. 12.解 根据题意可得 d=kv2S. ∵v=50 时,d=S,代入 d=kv2S 中, 1 解得 k= . 2 500 1 2 ∴d= v S. 2 500 S 当 d= 时,可解得 v=25 2. 2 S ?0≤v<25 2? 2 ∴d= . 1 2 v S ?v≥25 2? 2 500

? ? ?

13.解 因为对任意实数 x,y,有 f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1), 所以令 y=x, 有 f(0)=f(x)-x(2x-x+1), 即 f(0)=f(x)-x(x+1).又 f(0)=1, ∴f(x)=x(x+1)+1=x2+x+1.


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