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直线、平面垂直高考题训练


1、如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? AC , PA ? 平面 ABCD ,且 平面 AEC ; PA ? AB ,点 E 是 PD 的中点. ?1? 求证: PB ∥
P

E

A

B

D

C

2、如图,正

三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都为 2 , D 为 CC1 中点. ?1? 求证: AB1 ⊥ 平 面 A1 BD ; A

A1

C

D

C1 B1

B

3 、如图,在三棱锥 V ? ABC 中, VC ⊥ 底面 ABC , AC ⊥ BC , D 是 AB 的中点,且
AC ? BC ? a ,
π? ? ?VDC ? ? ? 0 ? ? ? ? . ?1? 求证:平面 VAB ⊥ VCD ; 2? ?
C

V

B D

A
CD ? 平面 BCE , AB ? BC ? CE ? 2CD ? 2 , 4、 如图, 在四棱锥 E ? ABCD 中, AB ? 平面 BCE , ?BCE ? 120? 。 ?1? 求证:平面 ADE ? 平面 ABE ;

A

D E
C
1

B

5、如图 4,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D, E 分别是 AB, AC 边上的点, AD ? AE ,
F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起,得到如图 5 所示的三棱锥

A ? BCF ,其中 BC ?

2 . 2

A

(1) 证明: DE //平面 BCF ;(2) 证明: CF ? 平面 ABF ; (3) 当 AD ? 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 【解析】 (1)在等边三角形 ABC 中, AD ? AE
? AD AE ? ,在折叠后的三棱锥 A ? BCF 中 DB EC
B

2 3

D

G

E

F 图 4
A

C

也成立,? DE / / BC , DE ? 平面 BCF ,
BC ? 平面 BCF ,? DE / / 平面 BCF ;

(2)在等边三角形 ABC 中, F 是 BC 的中点,所以 AF ? BC ① , BF ? CF ? .
D

G

1 2

E

在三棱锥 A ? BCF 中, BC ?
BF ? CF ? F ? CF ? 平面ABF ;

2 ,? BC 2 ? BF 2 ? CF 2 ? CF ? BF ② 2
B

F

C

图 5

(3)由(1)可知 GE / /CF ,结合(2)可得 GE ? 平面DFG .
1 1 1 1 1 ?1 3 ? 1 3 ?VF ? DEG ? VE ? DFG ? ? ? DG ? FG ? GF ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 2 3 ? ? 3 2 ? 3 324

6、如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中, AB⊥ 平面 PAD,AB∥ CD,PD=AD,E 是 PB 的中点,F 是 DC 上的点且 DF= AB,PH 为△ PAD 边上的高. (1) 证明:PH⊥ 平面 ABCD; (2) 若 PH=1,AD= 2 ,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3) 证明:EF⊥ 平面 PAB. 【解析】(1)证明:因为 PH 为△ PAD 边上的高,所以 PH⊥ AD,又因为 AB⊥ 平面 PAD, PH ? 平面 PAD,所以 AB⊥ PH,又因为 PH ? AD=H,所以 PH⊥ 平面 ABCD; (2)因为 E 是 PB 的中点, 所以点 E 到平面 BCF 的距离 d 等于点 P 到平面 ABCD
2

1 2

距离的一半,即 d = ,又因为 S?BCF ?
2 ; 12

1 2

2 1 ,所以三棱锥 E-BCF 的体积为 AD ? CF = 2 2

8、 如图 3 所示, 在四面体 P—ABC 中, 已知 PA=BC=6, PC=AB=10, AC=8, PB= 2 34 .F 是线段 PB 上一点, CF ?
15 34 ,点 E 在线段 AB 上,且 EF⊥ PB. 17

(Ⅰ )证明:PB⊥ 平面 CEF; (Ⅱ )求二面角 B—CE—F 的大小. ( I) :∵ PA2+AC2=36+64=100=PC2 ∴ △ ∠ PAC 是以∠ PAC 为直角的直角三角形,同理可证 △ PAB 是以∠ PAB 为直角的直角三角形,△ PCB 是以 ∠ PCB 为直角的三角形。 故 PA⊥ 平面 ABC 又? S ?PBC ? | AC || BC |? ? 10 ? 6 ? 30 而 | PB || CF |? ? 2 34 ?
1 2 1 2 15 34 ? 30 ? S ?BPC 17
1 2 1 2

故 CF⊥ PB,又已知 EF⊥ PB ∴ PB⊥ 平面 CEF

3

7 、 如 图 1, 在 等 腰 直 角 三 角 形 ABC 中 , ?A ? 90? , BC ? 6 , D, E 分 别 是 AC , AB 上 的 点, CD ? BE ? 2 ,
O 为 BC 的中点.将 ?ADE 沿 DE 折起,得到如图 2 所示的四棱锥 A? ? BCDE ,其中 A?O ? 3 .

(Ⅰ ) 证明: A?O ? 平面 BCDE ; (Ⅱ ) 求二面角 A? ? CD ? B 的平面角的余弦值.
C D O . E C A 图1 D O E 图2 B B

A?

【解析】(Ⅰ ) 在图 1 中,易得 OC ? 3, AC ? 3 2, AD ? 2 2 连结 OD, OE ,在 ?OCD 中,由余弦定理可得
OD ? OC 2 ? CD 2 ? 2OC ? CD cos 45? ? 5

由翻折不变性可知 A?D ? 2 2 , 所以 A?O 2 ? OD 2 ? A?D 2 ,所以 A?O ? OD , 理可证 A?O ? OE , 又 OD OE ? O ,所以 A?O ? 平面 BCDE . (Ⅱ ) 传统法:过 O 作 OH ? CD 交 CD 的延长线于 H ,连结 A?H , 因为 A?O ? 平面 BCDE ,所以 A?H ? CD , 所以 ?A?HO 为二面角 A? ? CD ? B 的平面角. 结合图 1 可知, H 为 AC 中点,故 OH ? 所以 cos ?A?HO ?
3 2 30 ,从而 A?H ? OH 2 ? OA?2 ? 2 2

OH 15 15 ,所以二面角 A? ? CD ? B 的平面角的余弦值为 . ? A?H 5 5 z A?

C D x

B O E
向量法图

y

9、如图 5 所示,AF、DE 分别是⊙ O、⊙ O1 的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直, AD=8,BC 是⊙ O 的直径,AB=AC=6,OE//AD. (Ⅰ )求二面角 B—AD—F 的大小; (Ⅱ )求直线 BD 与 EF 所成的角.
4

解:(Ⅰ )∵ AD 与两圆所在的平面均垂直, ∴ AD⊥ AB, AD⊥ AF,故∠ BAD 是二面角 B—AD—F 的平面角, 依题意可知,ABCD 是正方形,所以∠ BAD=450. 即二面角 B—AD—F 的大小为 450; (Ⅱ )以 O 为原点, BC、 AF、 OE 所在直线为坐标轴, 建立空间直角坐标系 (如图所示) , 则 O(0,0,0) ,A(0, ? 3 2 ,0) ,B( 3 2 ,0,0),D(0, ? 3 2 ,8) ,E(0,0, 8) ,F(0, 3 2 ,0) 所以, BD ? (?3 2,?3 2,8), FE ? (0,?3 2,8)
cos ? BD , EF ?? BD ? FE | BD || FE | ? 0 ? 18 ? 64 100 ? 82 ? 82 10

设 异 面 直 线 BD 与 EF 所 成 角 为 ? , 则
cos? ?| cos ? BD, EF ?|? 82 10 82 10

直线 BD 与 EF 所成的角为 arccos

10、 如图 5 所示, 四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形, 其中 BD 是圆的直径, ?ABD ? 60 , ?BDC ? 45 , PD 垂直底面 ABCD , PD ? 2 2R , E,F 分别是
PE DF PB,CD 上的点,且 ? ,过点 E 作 BC 的平行线交 PC 于 G . EB FC
P E

(1)求 BD 与平面 ABP 所成角 ? 的正弦值; (2)证明: △EFG 是直角三角形;
PE 1 ? 时,求 △EFG 的面积. (3)当 EB 2
A

G

D F C 图5 E G

B

P

20.解: (1)在 Rt ?BAD 中,
?ABD ? 60 ,? AB ? R, AD ? 3R
A B F C 图5 D

而 PD 垂直底面 ABCD, PA ? PD2 ? AD2 ? (2 2 R)2 ? ( 3R)2 ? 11R
5

PB ? PD 2 ? BD 2 ? (2 2 R) 2 ? (2 R) 2 ? 2 3R ,

在 ?PAB 中, PA2 ? AB 2 ? PB 2 ,即 ?PAB 为以 ?PAB 为直角的直角三角形。 设点 D 到面 PAB 的距离为 H , 由 VP? ABD ? VD?PAB 有 PA AB H ? AB AD PD , 即
H? AD PD 3R 2 2R 2 66 ? ? R, PA 11 11R

H 66 ; ? BD 11 (2) EG / / BC ,? PE ? PG ,而 PE ? DF , EB FC EB GC 即 PG ? DF ,? GF / / PD ,? GF ? BC ,? GF ? EG ,? ?EFG 是直角三角形; GC DC (3) PE ? 1 时 EG ? PE ? 1 , GF ? CF ? 2 , BC PB 3 PD CD 3 EB 2 sin ? ?

即 EG ? 1 BC ? 1 ? 2R ? cos 45? ?
3 3

? ?EFG 的面积 S?EFG

2 2 2 4 2 R, GF ? PD ? ? 2 2R ? R, 3 3 3 3 1 1 2 4 2 4 ? EG GF ? ? R? R ? R2 2 2 3 3 9

11、如图 4,弧 AEC 是半径为 a 的半圆,AC 为直径,点 E 为弧 AC 的中点,点 B 和 点 C 为线段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平面 BED,FB= 5a (1)证明:EB ? FD (2)求点 B 到平面 FED 的距离. (1)证明:? 点 E 为弧 AC 的中点

6

7


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