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1.集合与函数


第一章 集合与函数 (一)基本知识回顾 1、集合 (1)集合中元素的三个特性:确定性、无序性、互异性. (2)集合的表示法:列举法( Venn 图法) 、描述法(数轴思想) :注意分清数集和点集. 如 { y ? f ( x)} , {x ? R y ? f ( x)}, { y ? R y ? f ( x)}, {( x, y) y ? f ( x)}的区别. n (3)若有限集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 的子集个数为 2 n 个,真子集个数为 2 ? 1 . A? B ? A ? B ? A. (4)集合常见的运算性质: A ? B ? A ? A ? B , , (CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) ) (CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) 。 Card ( A ? B) ? Card ( A) ? Card ( B) ? Card ( A ? B) . (5)集合中的含参问题:数形结合的思想,分类讨论的思想,一定要注意讨论空集的情形: 常见含参的可能为空集有 {x mx2 ? mx? 1 ? 0} , {x mx? 2 ? 0} , {x 1 ? m ? x ? m ? 3} . 2、函数及其表示 (1)函数的概念:是一对一,多对一的对应关系. (2)函数的三要素:定义域,对应关系,值域. (A)求定义域:求使得函数解析式有意义的 x 的取值范围. 如含分式,偶次根式,对数, x 等,要保证其有意义. 1)若已知 f ( x ) 的定义域为 [ a, b) ,则 f [ g ( x)] 的定义域由不等式 a ? g ( x) ? b 解出即可; 2)若已知 f [ g ( x)] 的定义域为 [ a, b) ,则 f ( x ) 的定义域相当于当 x ? [a, b) 时 g ( x) 的值域. (B)求值域:1)常见函数的值域: y ? kx ? b , y ? ax ? bx ? c , y ? 2 0 1 ,y? x,y? x. x 2)单调性法求值域:如 y ? x ? 1 , x ? [2,3] . x ax ? b (转化为反比列函数). cx ? d 3)换元法求值域:形如 y ? ax ? b ? cx ? d , y ? f [ g ( x)] (转化为基本初等函数). 4)分离常数法求值域:形如 y ? 2 (C)求解析式:1)待定系数法;告知函数 f ( x) 的类型(如是二次函数,设 f ( x) ? ax ? bx ? c ). 2)换元法:如已知复合函数 f ( g ( x )) 的解析式(令 t ? g ( x ) ,求 y ? f (t ) ). 3)拼凑法:如函数 f ( x ? ) ? x 2 ? 1 x 1 ,求 f ( x) . x2 4)函数方程法:如已知 f ( x ) ? 2 f ( ? x ) ? x ? 1,求 f ( x ) . (3)区间的概念:区间 [ a , b ] 中, a ? b .注意与 {x a ? x ? b} 的区别. (4)分段函数:分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域(最值)是各段值域的并集. 注意:分段函数的求值,分段函数的方程、不等式,分段函数的单调性、值域. 3、函数的性质 (1)函数的单调性(局部性质):对任意的 x1 , x2 ? D ,且 x1 ? x2 ,则 若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x) 是 D 上的增函数; 5 若 f ( x1 ) ?

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