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2016物理学会竞赛夏令营讲义:静电场


第一讲 静电场(一)
知识点:电荷守恒定律、库仑定律、电场强度 电场线、点电荷的场强、场强叠加原理、 匀强电场、均匀带电球壳内、外的场强公式(不要求导出)、高斯定理及其在对称带电体系中 的应用、电势和电势差 等势面、点电荷电场的电势、电势叠加原理、均匀带电球壳内、外 的电势公式、电场中的导体 静电屏蔽、静电镜像法、电容 平行板电容器的电容公式、球 形、圆柱形电容器的电容

、电容器的联接、电荷体系的静电能、电场的能量密度、电容器充 电后的电能、电偶极矩、电偶极子的电场和电势、电介质的概念(电介质的极化与极化电荷 电位移矢量) 一、电场强度 1、实验定律 a、库仑定律 b、电荷守恒定律 c、叠加原理 2、电场强度 a、电场强度的定义 b、高斯定理 静电场中通过任意闭合曲面(称高斯面)S 的电通量等于该闭合面内全部电荷的代数和 除以 ε0 ,与面外的电荷无关。 (电通量是指穿过某一截面的电场线的条数,其大小为

? ? ES sin ? , ? 为截面与电场线的夹角。)
高斯定理的数学表达式为:

闭合面S

?

E ? ?S ?

1

? 0 S面内

?q

i

c、不同电场中场强的计算 ⑴点电荷:E = k
Q r2

⑵均匀带电环,垂直环面轴线上的某点 P:E =

kQr (r ? R 2 )
2 3 2

,其中 r 和 R 的意义见上图。

⑶均匀带电球壳 内部:E 内 = 0 外部:E 外 = k
Q ,其中 r 指考察点到球心的距离 r2

如果球壳是有厚度的的 (内径 R1 、 外径 R2) , 在壳体中 (R1<r<R2) : E=
3 4 r 3 ? R1 ?? k ,其中 ρ 为电荷体密度。这个式子的物理意义可以 2 3 r

参照万有引力定律当中(条件部分)的“剥皮法则”理解〔 ? ?(r 3 ? R 3 ) 即为上图中虚线以内部 分的总电量…〕 。

4 3

⑷无限长均匀带电直线(电荷线密度为 λ) :E =

2 k? r

⑸无限大均匀带电平面(电荷面密度为 σ) :E = 2πkσ

⑹电偶极子的电场 二、电势 1、电势概念 2、典型电场的电势 a、点电荷 以无穷远为参考点,φ = k
Q r

b、均匀带电球壳 以无穷远为参考点,φ 外 = k
Q Q ,φ 内 = k r R

3、电势的叠加 电偶极子的电势 4、电场力对电荷做功 WAB = q(UA - UB)= qUAB

三、静电场中的导体 1、静电平衡的特征可以总结为以下三层含义—— a、导体内部的合场强 为零;表面的合场强 不为零且一般各处不等,表面的合场强 方向 ... ... ... 总是垂直导体表面。 b、导体是等势体,表面是等势面。 c、 导体内部没有净电荷; 孤立导体的净电荷在表面的分布情况取决于导体表面的曲率。 2、静电屏蔽 内屏蔽 外屏蔽 3、电像法

四、电容 1、电容器 2、电容 a、定义式 C = b、决定式 ⑴平行板电容器 C = 它介质中 ε=
? rS 4?kd Q U

=

1 ?S ,其中 ε 为绝对介电常数(真空中 ε0 = ,其 4 ?k d

1 ? ) ,εr 则为相对介电常数,εr = 4?k? ?0



⑵柱形电容器:C =

?r L R 2k ln 2 R1

⑶球形电容器:C =

? r R1R 2 k (R 2 ? R1 )

3、电容器的连接 a、串联
1 1 1 1 1 = + + +…+ C C1 C 2 C3 Cn

b、并联 C = C1 + C2 + C3 + … + Cn

4、电容器的能量

5、电场的能量

五、电介质的极化 1、电介质的极化 a、电介质分类 b、电介质的极化 2、束缚电荷、自由电荷、极化电荷与宏观过剩电荷

a、束缚电荷与自由电荷 b、极化电荷、宏观过剩电荷

第二讲 静电场(二)
一、场强和电场力 1、试证明:均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。

2、半径为 R 的均匀带电半球面,电荷的面密度为 σ,试求球心处的电场强度。

3、有一个均匀的带电球体,球心在 O 点,半径为 R ,电荷体密度为 ρ ,球体内有一 个球形空腔,空腔球心在 O′点,半径为 R′, OO? = a ,如图所示,试求空腔中各点的场强。

二、电势、电势能与电场力的功 1、如图,电场线从正电荷+q1 出发,与正点电荷及负点电荷的连线成α 角,则该电场线 进入负点电荷-q2 的角度β 是多大?

2、如图所示,已知半球体球面上均匀带正电,半径为 R。现将半 球体沿图中虚线分成两半,并将它们移至很远的地方,设分开后球上 仍然均匀带电,则球冠在 A'产生的场强 E1 和球台在 A''产生的场强 E2 的方向如何?大小关系如何?

3、如图所示,半径为 R 的圆环均匀带电,电荷线密度为 λ,圆心在 O 点,过圆心跟环面垂直的轴线上有 P 点, PO = r ,以无穷远为参考点,试 求 P 点的电势 UP 。

4、如图所示,球形导体空腔内、外壁的半径分别为 R1 和 R2 ,带有净电量+q ,现在其 内部距球心为 r 的地方放一个电量为+Q 的点电荷,试求球心处的电势。

5、如图所示,两个极薄的同心导体球壳 A 和 B,半径分别 为 RA 和 RB , 现让 A 壳接地, 而在 B 壳的外部距球心 d 的地方 放一个电量为+q 的点电荷。试求: (1)A 球壳的感应电荷量; (2)外球壳的电势。

6、如右图中,三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒,每根棒上的电荷分布情况 与绝缘棒都换成导体棒时完全相同。点 A 是 Δabc 的中心,点 B 则与 A 相对 bc 棒对称,且 已测得它们的电势分别为 UA 和 UB 。 试问: 若将 ab 棒取走, A、 B 两点的电势将变为多少?

7、电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上,球面半径为 R ,CD 为通过半球顶点 C 和球心 O 的轴线,如图 7-12 所示。P、Q 为 CD 轴线上相对 O 点对称的两点,已知 P 点的电势为 UP ,试求 Q 点的电势 UQ 。

8、如图所示,A、B 两点相距 2L ,圆弧 OCD 是以 B 为圆心、L 为半径的半圆。A 处放 ? 有电量为 q 的电荷,B 处放有电量为-q 的点电荷。试问: (1)将单位正电荷从 O 点沿 OCD 移到 D 点,电场力对它做了多少功?(2)将单位负 电荷从 D 点沿 AB 的延长线移到无穷远处去,电场力 对它做多少功?

?

9、两个点电荷产生的电势如图所示。 (1) 判断电荷 Q1、Q2 正负,比较 Q1、Q2 的大小。 (2) 已知 x0,U0 ,求 Q1 、Q2 这两个电荷所在位置。

10、测量空间某点电场强度与时间的关系,得到如图所示图像。电场是由两个相同点电 荷产生的,其中一个点电荷不动且与观察点距离为 d,另一个点电荷以恒定速度运动。求两 个电荷电量,运动电荷到观察点最近距离及运动电荷的速度

11、在不计重力空间,有 A、B 两个带电小球,电量分别为 q1 和 q2 ,质量分别为 m1 和 m2 ,被固定在相距 L 的两点。试问: (1)若解除 A 球的固定,它能获得的最大动能是 多少?(2)若同时解除两球的固定,它们各自的获得的最大动能是多少?(3)未解除固定 时,这个系统的静电势能是多少?

12、如图所示,三个带同种电荷的相同金属小球,每个球的质量均为 m 、电量均为 q , 用长度为 L 的三根绝缘轻绳连接着,系统放在光滑、绝缘的水平面上。现将其中的一根绳 子剪断,三个球将开始运动起来,试求中间这个小球的最大速度。

三、电场中的导体和电介质 1、两块平行放置的很大的金属薄板 A 和 B,面积都是 S ,间距为 d(d 远小于金属板 的线度) ,已知 A 板带净电量+Q1 ,B 板带尽电量+Q2 ,且 Q2<Q1 ,试求: (1)两板内外 表面的电量分别是多少; (2)空间各处的场强; (3)两板间的电势差。

2、如图所示,一平行板电容器,极板面积为 S ,其上半部为真空,而下半部充满相对 介电常数为 εr 的均匀电介质,当两极板分别带上+Q 和?Q 的电量后,试求: (1)板上自由 电荷的分布; (2)两板之间的场强; (3)介质表面的极化电荷。

3、一个带电量为 Q 的金属小球,周围充满相对介电常数为 εr 的均匀电 介质,试求与与导体表面接触的介质表面的极化电荷量。

4、一块无限大的导体板,左侧接地,在右侧离板 d 的 A 处放置一个负电荷 q,求静电平 衡后: (1)板上感应在导体内任意一点 P 产生的场强; (2)感应电荷在导体外任意一点 P'处产生的场强; (3)证明导体表面附近处的合场强垂直于导体表面; -q d (4)求-q 所受的库仑力; A (5)若切断接地线后,将+Q 放在导体板上,+Q 将怎样分布?

5、点电荷 q 的电场中放入一个半径为 R 的接地导体球,从 q 到该球球心的距离为 l,求 导体球对点电荷 q 的作用力.

6、设有一对电荷,带电量分别为-q1 和+q2,相隔一段距离。其中 q1、q2 为正值,且 q1≠ q2 ,不失一般性,可以认为 q2>q1 。试找出电势为零的等势面。

四、电容器的相关计算 1、由许多个电容为 C 的电容器组成一个如图所示的多级网络,试问: (1)在最后一级 的右边并联一个多大电容 C′,可使整个网络的 A、B 两端电容也为 C′?(2)不接 C′,但无 限地增加网络的级数,整个网络 A、B 两端的总电容是多少?

2、在右图所示的电路中,已知 C1 = C2 = C3 = C9 = 1μF ,C4 = C5 = C6 = C7 = 2μF ,C8 = C10 = 3μF ,试求 A、B 之间的等效电容。

3、如图所示的电路中,三个电容器完全相同,电源电动势 ε1 = 3.0V ,ε2 = 4.5V,开关 K1 和 K2 接通前电容器均未带电,试求 K1 和 K2 接通后三个电容器的电压 Uao 、Ubo 和 Uco 各为多少。

4、如图所示,由 n 个单元组成的电容器网络,每一个单元由三个电容器连接而成,其 中有两个的电容为 3C ,另一个的电容为 3C 。以 a、b 为网络的输入端,a′、b′为输出端, 今在 a、b 间加一个恒定电压 U ,而在 a′b′间接一个电容为 C 的电容器,试求: (1)从第 k 单元输入端算起,后面所有电容器储存的总电能; (2)若把第一单元输出端与后面断开,再 除去电源,并把它的输入端短路,则这个单元的三个电容器储存的总电能是多少?


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