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湖北省襄阳市四校2016


湖北省襄阳市四校 2016-2017 学年高二数学下学期期中联考试题
一.选择题(本大题共有 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知 a ? (sin 400 , cos400 ) , b ? (sin100 , sin 800 ) ,则 a ? b ? A. ?

?

?

? ?





3 2

B.

3 2
?

C.

1 2

D. ?

1 2


2.在 ?ABC 中,已知角 B= 45 , c ? 2 2 , b ? A. 60
?

4 3 ,则角 C=( 3
?

B. 30
0 0

?

C. 60 或 120
0 0
2

?

D. 120

?

3. 设b ? sin 18 cos45 ? cos18 sin 45 ,c=2cos 13°-1, 则有( A. c ? b B.c<b C. b ? c D.b<c

)

4.在△ABC 中,A=60°,b=1,其面积为 3 ,则

b?c 等于 ( sin B ? sin C
D.

)

A.3 3

B.

8 3 3

C.

2 39 3

39 2

5.若点 M 是△ABC 所在平面内一点,且满足 AM ? ( A. 6. 若 0 < α < ( A. ). 3 3 B.- 3 3 C.- 6 9 ) B. C.

3 1 AB ? AC ,则线段 BM 与 MC 的长度之比等于 4 4

D.

? ? ? π π 1 3 ?? ? ? ,- < β < 0 , cos( ? ? ) = , cos ? ? ? = ,则 sin( ? ? ? ) 等于 2 2 3 4 2 2 ?4 2? 3

5 3 D. 9

7.在等比数列 {an } 中, a5 ? a13 ? 6 , a4 ? a14 ? 5, 则 A.

a a

90

等于(



80

8.设

3 B. 3 或 ? 2 2 ? ? a ? 1 ? cos ? , 3 b ? ? sin ? ,3?

C.

2 3

D.

2 3 或 3 2
)

?

?,

且 a // b ,则锐角 ? 为(

? ?

5? A. 12

? B. 3

? C. 4

? D. 6
2 2

9.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,若 ?ABC 的面积为 S ,且 2S ? (b ? c) ? a , 则
1

tan A 等于(
A.

) B.

3 4

4 3

C. ?

3 4

D. ?

4 3

??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ??? ? ???? 10.如图, 平面内有三个向量 OA , OB , OC , 其中 OA 与 OB 的夹角为 120? , OA 与 OC 的夹角为

???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 3 ???? 30? , 且 | OA |? 2 , | OB |? , | OC |? 2 3 , 若 OC ? ? OA ? ? OB (? , ? ? R ) ,则 2

?和?的值分别为(
A.

) B. ? ?

C

? ?2, ? ?

4 3

8 3 , ?? 3 2

B O A

C. ? ? 4 , ? ? 2

3 4 D. ? ? , ? ? 2 3

11.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 公差 d ? 列的首项 a1 的取值范围是( A. (? )

?
4

, 当 S n 取最小值时, n 的最大值为 10, 则数

5? 9? 5? , ? 9? ] , ? ] D. ( ? 8 16 2 4 S ? S2 ? ? ? Sn 12. 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,令 Tn ? 1 ,称 Tn 为数列 a1 , a 2 ,?, an 的“理 n
5? , ? 9? ] 8 16
B. (?

5? , ? 9? ] 4 8

C. [?

想数” ,已知数列 a1 , a 2 ,??, a502 的“理想数”为 2012,那么数列 10, a1 , a 2 ,?, a502 的“理 想数”为( A.2020 ) B.2019 C.2018 D.2017

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将 答案填在答题卡相应的位置上)

? ? ? ? ? 13.若a ? (1, m),b ? (3,2)且(a ? b ) ? b , 则m ?
14.已知 tan? ? 2 , cos(? ? ? ) ? ?

.

3 ? 且? , ? ? (0, ),则2? ? ? ? 3 2
.

.

?an ?的前n项和且a1 ? 2, an?1 ? sn .sn?1, 则sn ? 15 . 设sn是数列

16.我国南宋著名的数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式” ,设 ?ABC 三内

1 ? 2 2 ? a 2 ? c2 ? b2 ? ?a c ? ? 角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c , 面积为 S,则 “三斜求积” 公式为 S ? ? 4? 2 ? ? ?
若 2acCosB+15=0, a sin c ? 15sin A ,则用“三斜求积”公式可得 ?ABC 的面积为
2

2

? ?, ? ?
.

2

三.解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 10 分)设常数 θ ∈(0, f(x)=f( ﹣x)恒成立. ) ,函数 f(x)=2cos2(θ ﹣ x)﹣1,且对任意实数 x,

(1)求 θ 值;

(2).求f ( )的值。 3

?

18. ( 本 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且 满 足

(3 b ? c ) c oA s? a c o C s ?.
(1) 求 cos A ; (2) 若sinBsinC ?

0

3 ,求 tan A ? tan B ? tan C 的值. 4

19.(本题满分 12 分) 在某海域有一个雷达观测站 A,某时刻测 得一艘匀速直线行驶的船只位于 A 北偏东 45 ? 且与 A 相距 40 2 海里的位置 B 处,经过 30 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东
45? ? ? (其中 sin ? ?

26 , 0? ? ? ? 90? )且与点 A 相距 10 13 26

海里 的位置 C 处. (1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时) ; (2)若距 A 点 18 海里水域为警戒区,且该船不改 变航行方向 继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.

3

20. ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 {an } 是 由 正 数 组 成 的 数 列 , 其 前 n 项 和 S n 与 a n 之 间 满 足 :

an ?

1 1 ? 2Sn ? (n ? 1, n ? N? ) . 2 4

(1)求数列 {an } 的通项 a n ; (2)设 bn ? ( ) n an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

1 2

21.(本题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A , B ,C 所对的边长分别为 a ,b , c , B ?

?
3



b ? 3.

( 1 )若cos A ? cosC ? 1 ,求A和边c的值。
(2)若 m ? ? 2 sin 范围.

??

? ?

?? ? A A? A ? ? ? , ?1? , n ? ? 3 cos , 2sin 2 ? , f ? A? ? m ? n ,求 f ? A? 的取值 2 2 2? ? ?

22.(本题满分 12 分)已知数列 ?an ?满足 a1 ? (1)设 bn ?

3 ? , 4an?1an ? 4an ?1 n ? N . 2

?

?

2 2 an ? 1

,求证:数列 ?bn ?是等差数列,并求出 ?an ?的通项公式。

4

(2)设 cn ?
?

2an 1 , 数列 ?cn cn?1? 的 前 n 项 和为 Tn , 是 否存 在正 整数 m ,使 得 Tn ? 2n ? 1 cm cm?1

对于 n ? N 恒成立,若存在,求出 m 的最小值;若不存在,请说明理由。

5

2016—2017 学年下学期高一期中考试 数学参考答案和评分标准 一、选择题:BCDCB/ 二、填空题:13. -8 DDBDA/ 14. DC

?

15.

2 3 ? 2n

16.

15 3 4

三、解答题: (共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. 解: (1)f(x)=2cos (θ ﹣ 则 f(
2

3 x)﹣1=cos(2θ ﹣3x) ,????2 分 2

?
3

? x )=cos(2θ ﹣π +3x)=﹣cos(2θ +3x) .
﹣x) ,得 cos(2θ ﹣3x)=﹣cos(2θ +3x) ,

由 f(x)=f(

即 cos(2θ ﹣3x)+cos(2θ +3x)=0, ∴2cos2θ cos3x=0,则 cos2θ =0, ?????3 分 ?????5 分

?? ? (0, ),?? ? 2 4
(2)f(x)=2cos (θ ﹣ x)﹣1=cos(2θ ﹣3x) =cos(
2

?

?

?
2

? 3 x )=sin3x

?????8 分

? f ( ) ? sin(3 ? ) ? 0 ; 3 3
(3sin B-sin C)cos A-sin Acos C=0,

?

?

?????10 分

18. 解:(1)由(2b-c)cos A-acos C=0 及正弦定理,得 ?????2 分

∴3sin Bcos A-sin(A+C)=0,sin B(3cos A-1)=0.∵0<B<π , 1 ∴sin B≠0,∴cos A= . 3 ????? ?5 分

1 1 1 (2)由 cos A= ,得 tanA=2 2 ,cos(B+C)=- ,∴sinBsinC-cosBcosC= ,???7 分 3 3 3 又 sinBsinC=

3 5 ,∴cosBcosC= 4 12

∴tanBtanC=

9 5

??????9 分

∴tanB+tanC=tan(B+C)(1-tanBtanC)=

8 2 5

??????11 分

∴tanA+tanB+tanC=

18 2 5

???????12 分

6

19.解:(1)因为 0? ? ? ? 90? , sin ? ? 所以 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 由余弦定理,得 BC ? 所以船的行驶速度为

26 , 26

5 26 26

....................................2 分

AB2 ? AC2 ? 2 AB ? AC cos? ? 10 5 , ..........5 分
..................6 分

10 5 ? 20 5 (海里/小时) 1 2

(2)在三角形 ABC 中

AC BC ACSin? 10 ? ,SinB= , ? SinB Sin? BC 10

????.9 分

∴此船距 A 点最近距离 H=ABSinB= 8 5 ? 18 .? 船会进入警戒水域。????12 分 20.解: (1) a1 ?

1 1 ? 2S1 ? ,? a1 ? 1 2 4

1 1 1 1 (an ? ) 2 ? 2 S n ? , (an ?1 ? ) 2 ? 2 S n ?1 ? (n ? 2) ?????2 分 2 4 2 4
2 2 两式相减有 (an ? ) ? (an ?1 ? ) ? 2an (n ? 2) ,化简有 (an ? an?1 )(an ? an?1 ?1) ? 0 ,

1 2

1 2

? an ? 0,? an ? an?1 ? 1(n ? 2) ? an ? a1 ? (n ?1)d ? n
1 1 1 1 1 bn ? ( ) n n,?Tn ? ? 2( ) 2 ? 3( )3 ? ? ? n( ) n 2 2 2 2 2 (2) 1 1 1 1 ? Tn ? ( ) 2 ? 2( )3 ? ? ? n( ) n ?1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ? Tn ? ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ? n( ) n ?1 ? 1 ? ( ) n ? n( ) n ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ?Tn ? 2 ? ( ) n ?1 ? n( ) n ? 2 ? ( n ? 2)( ) n 2 2 2
21 解:(1)? B ? 3 且 cos A ? cos C ? 1 即 ???????10 分 ??????6 分 ???????8 分

???????12 分

?

? cos A ? cos(

cos( A ?

?

3

) ?1

又? -

?

3

? A-

?
3

?

?
3

?A?

?
3

2? ? A) ? 1 3
? ??? 4 分

故△ABC 为等边三角形,? b ? 3 (2)由二倍角公式得 f ? A? ? 2sin

?c ? 3

.???????6 分

A? A A? ? ? 3 cos ? sin ? ? 2sin( A ? ) ? 1 (9 分)[来源:Z-xk.Com] 2? 2 2? 6
7

?0 ? A ?

1 ? ? ? sin( A ? ) ? 1 2 6

2? 3

?

?
6

? A?

?
6

?

5? 6
??????12 分

? 0 ? f ( A) ? 1

22.解(1)? 4an?1an ? 4an ?1

? 2an ?1 ?

4 an ? 1 1 ? 2? 2 an 2 an
? 1 1 2an?1 ? 1 — 1 2an ? 1 ? 2an 2an ? 1 ?1
??????3 分

? 2an?1 ? 1 ? 1 ? 1 2an ?1 ? 1

2a ? 1 1 ? n 2an 2an 1 ? 1 即?

?

?

2 an ? 1

2an ?1 ? 1

? 1 ? 3 ? 数列 ? ? 为等差数列,且 a1 ? 2 ? 2 an ? 1 ?
? 1 2an ? 1 ?
1 1 2n ? 1 1 ? (n ? 1) ?1 ? ? ?n ? 1? ? n ? ? 2 2 2 2a1 ? 1

2 ?????????????? ????????5 分 2n ? 1 2 2n ? 1 1 2n ? 1 ? 2an ? 1 ? ? ? an ? ? n ? N ? ? ?????6 分 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 ? 2an ? 1 ?

?

?

(2)? cn ?

2 an 1 1 1 1? 1 1 ? ? n ? N ? ? cn cn?1 ? ? ? ? ? ? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
??8 分

?

?

1 ?1 1 1 1 1 1 ? 1? 1 ? 1 ?Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 2 ?1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 2 ? 2n ? 1 ? 2
假设存在正整数 m 使得 Tn ?

1 ? 对于 n ? N 恒成立 cm cm?1

?

1 1? 1? ? ? Tn ? ? cmcm?1 2 ? 2?
2

?
?

1 1 ? m? N? ?2m ? 1??2m ? 1? 2

?

?

即 4m ? 1 ? 2 m ? N

?

?

???????????????????10 分

? m2 ?

3 ? 且 m ? N ?m?? 即假设不成立 4

? 不存在正整数 m 使得 Tn ?

1 ? 对于 n ? N 恒成立?????????12 分 cm cm?1

8


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