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福建省福州市第八中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


福州八中 2015—2016 学年第二学期期中考试 高二数学(文)
考试时间:120 分钟 2016.4.28 第一卷 参考公式 (1) (2) : 试卷满分:150 分

P (K2 ? k)
k

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706


0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.82 8

K2 ?

n(ad ? bc) 2 , 其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量。 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
) ? ( x ? (x
i ?1 i n i ?1 i n

?? (3) :b

yi ) ?y
2

? ( x ? x)

? ? ? y ? bx ,a

(4) R2 ? 1 ?

?(y ?(y
i ?1 i ?1 n

n

i

? y) 2 ? y) 2

^

i

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合要求的. ) 1.若集合 P={x|2≤x<4},Q={x| x ? 3 },则 P∩Q 等于 A.{x|3≤x<4} B.{x|-3<x <4} C.{x|2≤x<3} D.{x|2≤x≤3}

2.复数 z ? i(1 ? i) ( i 是虚数单位)在复平面内所对应点的坐标为 A. (1,1) A. A ? B B. ( ?1, ?1) B. A ? B C. (1, ?1) C. A ? B D. ( ?1,1) D. A ? B 3.设 a, b ??0, ??? , A ? a ? b , B ? a ? b ,则 A,B 的大小关系是 4.小明想沏壶茶喝,当时的情况是,开水没有,烧开水需要 15 分钟,烧开水的壶要洗,需要 1 分钟, 沏茶的壶和茶杯要洗,需 2 分钟,茶叶已有,取茶叶需 1 分钟,沏茶也需 1 分钟,小明要喝到自己所沏的 茶至少需要花的时间为. A.16 分钟 B. 19 分钟 C.20 分钟 D.17 分钟 5. 《论语》云:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑 罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以名不正,则民无所措手足.”上述推理用的是 A.合情推理
2 2

B.归纳推理

C.类比推理
2

D.演绎推理

6.用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设是 A.方程 x +ax+b=0 没有实根 B.方程 x +ax+b=0 至多有一个实根
1

C.方程 x +ax+b=0 至多有两个实根 2 D.方程 x +ax+b=0 恰好有两个实根 7.已 知 x,y 之间的一组数据如下表: x 2 3 4 5 6 y 3 4 6 8 9 对于表中数据则根据最小二乘法的思想得拟合程度最好的直 线是 A.y=x+1 B.y=2x-1 8 2 3 C.y= x- D.y= x 5 5 2 8. 执行如 图所示的程序框图,则输出的 k 的值是 A.3 B.4 C.5 9.函数 f(x)=

2

D.6

1
2

的定义域为

A. ?

?1 ? ,2? ?2 ?

? ? 1 ? ? log 1 x ? ? 2 ? ? 1? B. ? 0, ? ? ? 2, ?? ? ? 2?

C.(2,+∞)

D. ? 0, ?

? ?

1? 2?

10. 观察下列事实|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的个数为 4 , |x|+|y|=2 的不同整数解(x,y)的个数 为 8, |x|+|y|=3 的不同整数解(x,y)的个数为 12 .则|x|+|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为 A.76 B.80 C.86 D.92 二、填空题: (本大题共 4 个小题,每小题 4 分,满分 16 分) 11.已知复数 z 满足 z (1 ? i ) ? 1 ? i ,那么 z ? ___. 12.函数 y ? x ? 2ax ? 3 在区间 ?0,1? 上具有单调性 ,则 a 的取值范围是
2

cos A cos B cos C ? ? ? 1 ,则称 ?A1 B1C1 是 ?ABC 的一个“友 sin A1 sin B1 sin C1 好”三角形,若等 腰 ?ABC 存在“友好”三角形,则其顶角的度数为___. 14.对于等差数列 ?an ? 有如下命题:“若 ?an ? 是等差数列, a1 ? 0 , s、t 是互不相等的正整数,则
13.已知 ?ABC ,若存在 ?A1 B1C1 ,满足 有 (s ? 1 )at ? (t ? 1 )as ? 0 ”。类比此命题,给出等比数列 ?bn ?相应的一个 正确命题是:“若 ?bn ?是 等比数列, b1 ? 1 , s、t 是互不相等的正整数,则有 三、解答题(共 34 分.解答题应写出推理、演算步骤) ”。

15. (本小题 10 分)设复数 z 满足 z ? 1 ,且 (3 ? 4i ) ? z 是纯虚数,求 z 。
2 2 16.已知命题 p ?? 4 ? x ?? 6 , q : x ? 2x ? 1 ? a ? 0? (a ? 0) ,若 ?p 是 q 的充分不必要条件,求 a 的

取值范围。 17.2011 年 3 月,日本发生了 9.0 级地震,地震引发了海啸及核泄漏.某国际组织用分层抽样的方法 从心理专家、核专家、地质专家三类专家中抽取若干人组成研究团队赴日本工作,有关数据见表 1(单位: 人).核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响,随机选取了 110 只羊进行了检测,并将有 关数据整理为不完整的 2×2 列联表(表 2). 表1 心理专家 核专家 地质专家 表2 高度辐射 轻微辐射 合计
2

相关人员数 24 48 72

抽取人数

x y
6

身体健康 身体不健康 合计 (1)求研究小组的总人数;

30

A
10

B C

50 60

D

E

(2)写出表 2 中 A、B、C、D、E 的值,根据列联表的独立性检验,能否在犯错误的概率不超过 0.01 的 前提下认为羊受到高度辐射与身体不健康有关 第二卷(50 分) 四、选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题纸上。 18.已知命题 p :函数 y ? log 2 命题 q : ?x0 ? (0,?? ), 2 A. p 是假命题 C. p ? (?q ) 是真命题
x0

?

x2 ? 1 ? x 是奇函数;

?

?

1 ,则下列判断正确的是 2 B. q 是真命题 D. (?p) ? q 是真命题

19. 对任意 x, y ? R , x ?1 ? x ? y ?1 ? y ? 1 的最小值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2 2 2 20.已知抛物线 y =4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 y1 +y2 的最小值 是 21. 设 f ( x ) 的定义域为 D ,若 f ( x ) 满足条件 : 存在 ? a, b? ? D , 使 f ( x ) 在 ? a, b? ? D 上的值域是 A.8 B.32 C.16 D. 4

?a b? , ? ,则称 f ( x) 为“倍缩函数”。若函 数 f ( x) ? log2 (2x ? t ) 为“倍缩函数”,则 t 的取值范围是 ? 2 ? 2? ?1 ? ? 1? ? 1? A. ? , ?? ? B. ? 0,1? C. ? 0, ? D. ? 0, ? ?4 ? ? 2? ? 4?
五、填空题(8 分,每题 4 分) 22.已知 x ? 2 y ? 1 ,则 x ? y 的最小值为________.
2 2

?x(1-x),0≤x≤1, ? 23. 若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函数, 且在[0, 2]上的解析式为 f(x)=? ? ?sin π x,1<x≤2,

则f?

? 29 ? ?? ? 4 ?

? 17 ? f ? ? =______. ? 6?

六、解答题(共 22 分) 24.(10 分)已知函数 f ?x? ? x ? 2 ? 2x ? a , a ? R . (Ⅰ)当 a ? 2 时,解不等式 f ?x ? ? 5 ; (Ⅱ)若存在 x0 满足 f ?x0 ? ? x0 ? 2 ? 3,求 a 的取值范围. 25. (12 分)设函数 f ( x) , g ( x) 的定义域均为 R ,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,

f ( x) ? g ( x) ? e x ,其中 e 为自然对数的底数. (Ⅰ)求 f ( x) , g ( x) 的解析式,并证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 , g ( x) ? 1 ;
(Ⅱ)若关于 x 的不等式 2mf(x)≤ 2 g ( x) ? e ? m ? 1 在(0,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围.
x

3

福州八中 2015—2016 学年第二学期期中考试 高二数学(文) 试卷参考答案及评分标准 第一卷(100 分) 一、选择题 1-10 ADBDD ACCAB s ?1 二、填空题 11.i, 12.

? ??,0? ? ?1, ??? ,

? 13. 45 ,

14.

bt

三、解答题 15. (本小题 10 分) 解:设 z ? a ? bi,(a, b ? R) ,-------------------1 分 由 z ? 1 得 a2 ? b2 ? 1 ;????????????2 分

bs

t ?1

?1

(3 ? 4i)? (a ? bi) ? 3a ? 4b ? (4a ? 3b)i 是纯虚数,-------4 分 ?3a ? 4b ? 0 则? -------------------6 分 ?4a ? 3b ? 0 4 ? 4 ? a1 ? a2 ? ? 2 2 ? ? ? ? a ?b ?1 ? 5 ? 5 ?? ?? ,? ? ?b1 ? ? 3 ?b2 ? 3 ?3a ? 4b ? 0 ? 5 ? 5 ? ?
--------9 分

?z ?

4 3 4 3 ? i z ? ? ? i ?????10 分 5 5 或 5 5
2

16.解析: ?p ?? 4 ? x ?? 6? 解得x ? 10或x ? ?2? 记 A={x|x>10 或 x<-2},---------2 分 q: x ? 2 x ? 1 ? a ? 0? 解得 x ? 1 ? a 或 x ? 1-a,记 B={x| x ? 1+a 或 x ? 1 ? a }. --------4 分 而 ? p ? q? q ? / ?p? ----------------------------------------------------------6 分 ∴A ? ? B ,-----------------------8 分
2

?1 ? a ? ?2? ? 即 ?1 ? a ? 10? --------------11 分 ? a ? 0? ?
∴ 0 ? a ? 3 .------------------12 分 72 48 24 17.解:(1)依题意知 = = ,-----1 分 6 y x 解得 y=4,x=2.-----3 分 所以研究小组的总人数为 2+4+6=12.----4 分 (2)根据列联表特点得 A=20,B=50, C=80,D=30,E=110.-----------6 分 2 110×?30×10-50×20? 2 可求得 χ = ≈7.486>6.635.-----------10 分 50×60×80×30 所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为羊受到高度辐射与身体不健康有关---------12 分
4

第二卷(50 分)

一、选择题 CCBD

二、填空题

24、解:(Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 2 | . 由 f ( x) ? 5 得. | x ? 2 | ? | 2 x ? 2 |? 5 当 x ? 2 时,不等式等价于 x ? 2 ? 2 x ? 2 ? 5, 解得x ?

1 5

5 16

5 ,所以 x ? 2 ;?1 分 3

当 ?1 ? x ? 2 时,不等式等价于 2 ? x ? 2 x ? 2 ? 5,即x ? 1 , 所以1 ? x ? 2 ,?2 分 当 x ? ?1 时,不等式等价于 2 ? x ? 2 x ? 2 ? 5, 解得x ? ?

5 5 ,所以 x ? ? .??3 分 3 3

所以原不等式的解集为 {x | x ? ? 或x ? 1}

5 3

????5 分

(Ⅱ) f ( x) ? x ? 2 ? 2 x ? 2 ? 2x ? a ? 2x ? 4 ? 2x ? a ? 2x ? a ? (2x ? 4) ? a ? 4 ?7 分 因为原命题等价于 ( f ( x)? | x ? 2 |)min ? 3 , 所以 ????9 分 ???10

a?4 ?3

,所以 ?7 ? a ? ?1 为所求实数 a 的取值范围.

1 1 25.解: (Ⅰ) f ( x) ? (e x ? e ? x ) , g ( x) ? (e x ? e ? x ) .----------2 分 2 2 x ?x 证明:当 x ? 0 时, e ? 1 , 0 ? e ? 1 ,故 f ( x) ? 0. 1 又由 基本不等式,有 g ( x) ? (e x ? e ? x ) ? e x e ? x ? 1 ,即 g ( x) ? 1. -------4 分 2 x -x -x (Ⅱ)由条件知 m(e -e +1)≤e -1 在(0,+∞)上恒成立. x 令 t=e (x>0),则 t>1,----5 分

因为 p( x) ? e x ? e? x ? 1在 R 上为增函数,所以 p( x) ? p(0) ? 1 ? 0 ,-----6 分 所以 m≤-

t ?1 =- t ? t ?1
2

1 1 (t ? 1) ? ?3 t ?1
(t-1)·

对任意 t>1 成立.-------8 分

因为 t-1+ 所以-

1 1

t-1

+ 3≥2

1

t - 1

+3=5, -----10 分

≥- , m ? ? ? 2 ? =- 5 ---------11 分 1 5 t ? t ? 1 ? ?min t-1+ + 1 t-1 当且仅当 t=2, 即 x = ln 2 时等号成立. 因此实数 m 的取值范围是 ? ??, ? ? -------12 分 5

1

?

t ?1 ?

1

? ?

1? ?

5


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