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黑龙江省哈六中2015届高三上学期期中考试数学理试题


黑龙江省哈六中 2015 届高三上学期期中考试数学理试题
考试时间:120 分钟 一、选择题: (每题 5 分共 60 分) 1.函数 y ? A. (?4, ? 1) 满分:150 分

ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为(



B. (?4, 1)

C. (?1, 1)

D. (?1,1] )

2.已知命题 p : ?x ? R, x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R, x 2 ? 0 ,则( A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? (?q ) 是真命题 3.已知 sin( A. B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? (?q ) 是假命题

?
2

? a) ?

1 3

1 ,则 cos 2a 的值为( ) 3 1 7 B. ? C. 3 9

D. ?

7 9


4. ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,若 a ? 15, b ? 10, A ? 60 ,则 cos B ? (

A.

6 3

B. ?

6 3

C.

2 2 3

D. ?

2 2 3

?< 5.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 其中( A>0,
则只需将 f ( x) 的图象( )

?
2

)的图象如图所示,为了得到 g ( x) ? sin 2 x 的图象,

? 个长度单位 6 ? B.向右平移 个长度单位 3 ? C.向左平移 个长度单位 6 ? D.向左平衡 个长度单位 3
A.向右平移

y

? 3
O -1

7? 12
x

6.若 a ? b ? a ? b ? 2 a ,则向量 a ? b 与 b 的夹角为( ) A.

? 6

B.

? 3

C.

5? 6

D.

2? 3
)

7.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a5 ? 8, S 3 ? 6 ,则 a9 ? ( A. 8 B. 12 C. 16 D. 24

8.设 Sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2,3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? ( A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 )

).

AC ? 7, AB ? AC ? 6 ,则 ?ABC 面积的最大值为( 9.在 ?ABC 中,若 AB·
-1-

A. 24
?

B. 16
2

C. 12 ) C. ? ? 2

D. 8 3

10.

? ? (1 ? cos x)dx 等于(
? 2

A. ?

B. 2

D. ? ? 2
2

11. 已知 f ( x) 是定义在 (??, ??) 上的偶函数, 且在 ( ??, 0] 上是增函数, 设 a ? f (log4 7) , b ? f (log 1 3) ,

c ? f (21.6 ) ,则 a, b, c 的大小关系是(
A. c ? a ? b B. c ? b ? a

) C. b ? c ? a D. a ? b ? c

12.已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? b ,若 f ( x) ? 0 恒成立,则 ab 的最大值为( ) A. e B. e
2

C. e

D.

e 2

二、填空题(每题 5 分共 20 分) 13 . ?ABC 内接于以 P 为圆心,半径为 1 的圆,且 3PA ? 4PB ? 5PC ? 0 ,则 ?ABC 的边 AB 的长度 为 .

14.已知数列 ?an ? 中, a3 ? 2, a7

? 1 ,且数列 {

1 } 为等差数列,则 a5 ? an ? 1

.

15.在 ?ABC 中, AB ? 2 ,点 D 在边 BC 上, BD ? 2 DC , cos ?DAC ? 则 AC ? BC 16.给出下列四个命题: ②当 x ? 0且x ? 1 时,有 ln x ? .

3 10 2 5 , cos ?C ? , 10 5

① ?ABC 中, A ? B 是 sin A ? sin B 成立的充要条件;

1 ?2; ln x

③已知 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S7 ? S5 ,则 S9 ? S3 ; ④若函数 y ? f ( x ?

3 3 ) 为 R 上的奇函数,则函数 y ? f ( x ) 的图象一定关于点 F ( ,0 ) 成中心对称. 2 2


其中所有正确命题的序号为 三、解答题

17.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (1)求 ?ABC 的面积; (4 分)

A 2 5 , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

,求a 、 sin B 的值. (6 分) (2)若 c ? 1

-2 -

18.已知函数 f ( x) ? 2 3 sin( x ? (Ⅰ)求常数 a 的值; (4 分)

?

) cos( x ? ) ? sin 2 x ? a 的最大值为1. (12 分) 4 4

?

(Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2 分) (Ⅲ)若将 f ( x) 的图象向左平移 值和最小值. (6 分)

? ? 个单位,得到函数 g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在区间 [0, ] 上的最大 6 2

19. 已 知 数 列 {an } 与 {bn } , 若 a1 ? 3 且 对 任 意 正 整 数 n 满 足 an ?1 ? an ? 2,

数 列 {bn } 的 前 n 项 和

S n ? n 2 ? an .
(1)求数列 {an }{ (5 分) , bn } 的通项公式; (2)求数列 ?

? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn . (7 分) ? bn bn ?1 ?

20.已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 cos ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,

? 3 x ? 5? t ? ? 2 ( t 为参数) 设直线 l 的参数方程为 ? . 1 ?y ? t ? ? 2
(1)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程; (4 分) (2)设曲线 C 与直线 l 相交于 P, Q 两点,以 PQ 为一条边作曲线 C 的内接矩形,求该矩形的面积. (8 分)

21.已知单调递增的等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (6 分)
-3-

(Ⅱ)若 bn ? an ? log 1 an , S n ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? ? ? bn ,求 Sn . (6 分)
2

22.已知函数 f ( x) ? x ln x ( e 为无理数, e ? 2.718 ) (1)求函数 f ( x ) 在点 ? e, f (e) ? 处的切线方程; (3 分) (2)设实数 a ?

1 ,求函数 f ( x ) 在 ? a, 2a? 上的最小值; (3 分) 2e

(3)若 k 为正整数,且 f ( x) ? ? k ?1? x ? k 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值. (6 分)

哈尔滨市第六中学 2014—2015 学年度上学期期中考试 高三(理科)数学答案
CCDAA CCBCD BD 13. 2 17. (1) cos A ? 2 ? ( 14.

7 5

15. 3+ 5

16.①③

2 5 2 3 ) ?1 ? , 5 5

3 bc ? 3, ? bc ? 5 5 4 1 1 4 又 A ? (0, ? ) ,? sin A ? , ? S ? bc sin A ? ? 5 ? ? 2. 5 2 2 5
而 AB ? AC ? AB ? AC ? cos A ? (2)

------------4 分

bc ? 5, 而 c ? 1 ,? b ? 5

? a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 20 , a ? 2 5.

4 5? b sin A a b 5 ? 2 5 . ----------------------------------6 分 ? ? 又 ,? sin B ? a 5 sin A sin B 2 5
18. (1)? f ?x ? ? 3 sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? sin 2 x ? a ? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? a 2?

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? a ? 1 3? ?
? 2 ? a ? 1 ,? a ? ?1 -----------------------------------------------------------4 分 ? ? ? (2)由 ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? ,解得 2 3 2
-4-

?

5? ? ? ? 5? ? ? k? ? x ? ? k? ,所以函数的单调递增区间 ?? ? k? , ? k? ?, k ? Z --------2 分 12 12 12 ? 12 ?

(3)? 将 f ?x ? 的图象向左平移

? 个单位,得到函数 g ?x ? 的图象, 6

? ? ?? ?? ?? 2? ? ? ? ? g ?x ? ? f ? x ? ? ? 2 sin ?2? x ? ? ? ? ? 2 sin? 2 x ? ? 6? 6 ? 3? 3 ? ? ? ? ?
2? ? 2? 5? ? ? ?? ? x ? ?0, ?,? 2 x ? ? , 3 ? ? 2? ? 3 3? ?

?当 2 x ?

2? 2? 2? ? ? 时, sin ? 2 x ? 3 3 3 ?

3 ? , g ?x ? 取最大值 3 ? 1 ?? ? 2

当 2x ?

2? 3? 2? ? ? ? 时, sin? 2 x ? ? ? ?1 , g ?x ? 取最小值-3.-----------6 分 3 2 3 ? ?
--2 分

19. 解: (1)由题意知数列 {an } 是公差为 2 的等差数列 又因为 a1 ? 3 所以 an ? 2n ? 1 当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 4 ; 当 n ? 2 时, bn ? S n ? S n ?1 ? n ? 2n ? 1 ? ?? n ? 1? ? 2 ? n ? 1? ? 1? ? 2n ? 1
2 2

?

?

?

?

对 b1 =4 不成立 所以,数列 {bn } 的通项公式: bn ? ?

?4, (n ? 1) -------------3 分 ?2 n ? 1, (n ? 2)

(2) n ? 1 时, T1 ?

1 1 ? b1b2 20

n ? 2 时,

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bnbn?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3 ? 1 1 ? 1 n ?1 6n ? 1 ? ? ? ?? 2n ? 1 2n ? 3 ? 20 10n ? 15 20(2n ? 3)

所以 Tn ?

1 1?1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 20 2 ? 5 7 7 9

n ? 1 仍然适合上式
综上, Tn ?

1 n ?1 6n ? 1 ? ? --------------------------7 分 20 10n ? 15 20(2n ? 3)
2 2 2

20. 解: (1)对于 C :由 ? ? 4 cos ? ,得 ? ? 4? cos ? ,进而 x ? y ? 4 x .

2分

-5-

? 3 x ? 5? t, ? 1 ? 2 ( t 为参数) 对于 l :由 ? ,得 y ? ( x ? 5) ,即 x ? 3 y ? 5 ? 0 . 3 1 ?y ? t ? ? 2
(2)由(1)可知 C 为圆,圆心为 (2, 0) ,半径为 2,弦心距 d ?

4分

2? 3?0?5 1? 3

?

3 , 6 分. 2

弦长 PQ ? 2 2 ? ( ) ? 7 ,
2 2

3 2

8 分.

因此以 PQ 为边的圆 C 的内接矩形面积 S ? 2d ? PQ ? 3 7 -------------------------12 分 21. (Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q , 依题意,有 2( a3 ? 2 )= a2 + a4 ,代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 , 得 a3 =8, ∴ a2 + a4 =20

1 ? 3 ? ?q ? 2 ?q ? ? a1q ? a1q ? 20 ∴? 解之得 ? 或? 2 2 a ? 2 a ? a q ? 8 ? ? 1 1 ? 3 ? a ? ? 1 32
又 ?an ? 单调递增,∴ q =2, a1 =2,∴ an =2n -------------------------------6 分 (Ⅱ) bn ? 2n ? log 1 2n ? ?n ? 2n ,
2

∴ ?sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ... ? n ? 2n

① ②

∴ ?2sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? ... ? (n ?1) ? 2n ? n2n?1 ∴①-②得 sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? n ? 2
2 3 n n ?1

2(1 ? 2n ) ? ? n ? 2n ?1 1? 2

=2

n ?1

? n ? 2n?1 ? 2 ------------------------------6 分

22. ⑴∵ f ( x)定义域为(0, ??) f ?( x) ? ln x ? 1 , f (e) ? e又f ?(e) ? 2

?函数y ? f ( x)在点(e,f(e))处的切线方程为 : y ? 2( x ? e) ? e,即y ? 2x ? e ---------3 分
(2)∵ f ?( x) ? ln x ? 1 令f ?( x) ? 0 得x ?

1 e

? 1? 当x ? ? 0, ? 时 , F ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; ? e?

当 x ? ? , ?? ? 时 , F ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增.
-6-

?1 ?e

? ?

当a ?

1 时, f ( x)在[a, 2a]单调递增,[ f ( x)]min ? f ( a) ? a ln a, e



1 1 1 1 ?1? ? a ? 时,得a ? ? 2a,[ f ( x)]min ? f ? ? ? ? -------------------------------3 分 2e e e e ?e?

(3) f ( x) ? (k ? 1) x ? k 对任意 x ? 1 恒成立, 即 x ln x ? x ? k ( x ? 1) 对任意 x ? 1 恒成立, 即 令 g ( x) ?

x ln x ? x ? k 对任意 x ? 1 恒成立 x ?1

x ln x ? x x ? ln x ? 2 ( x ? 1) ? g '( x) ? ( x ? 1) x ?1 ( x ? 1)2
x ?1 ? 0 ? h( x) 在 (1, ??) 上单调递增。 x

令 h( x) ? x ? ln x ? 2( x ? 1) ? h '( x) ?

∵ h(3) ? 1 ? ln 3 ? 0, h(4) ? 2 ? ln 4 ? 0, ∴所以 h( x) 存在唯一零点 x0 ? (3, 4) ,即 x0 ? ln x0 ? 2 ? 0 。 当 x ? (1, x0 ) 时, h( x) ? h( x0 ) ? 0 ? g '( x) ? 0 ; 当 x ? ( x0 , ??) 时, h( x) ? h( x0 ) ? 0 ? g '( x) ? 0 ; ∴ g ( x) 在 x ? (1, x0 ) 时单调递减;在 x ? ( x0 , ??) 时,单调递增; ∴ [ g ( x)]min ? g ( x0 ) ?

x0 (ln x0 ? 1) x0 ( x0 ? 1) ? ? x0 x0 ? 1 x0 ? 1

由题意 k ? [ g ( x)]min ? x0 ,又因为 k ? Z ,所以 k 的最大值是 3----------------------------------6 分

-7-



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