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81教研联合体2013年高三第一次模拟数学理


黑龙江省教研联合体 2013 年高三第一次模拟考试

数 学 试 题(理)
注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自 己的姓名、准考证号填写在试题和答题卡上。 2.回答第 I 卷时,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 3. 回答第 I 卷时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔

把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试题上无效。 4.回答第Ⅱ卷时,须用 0,5 毫米黑色签字笔将答案写在答题卡相对应的答题区域内, 写 在本试题上无效。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8}, A ? {1,3,5,7}, B ? {2, 4,5} ,则 CU ( A ? B) 等于 ( A. {6,8} ) C. {4, 6, 7} D. {1,3,5, 6,8} ( D. ) )

B. {5, 7}

2.已知 i 为虚数单位,复数 z ? A. ? i
3

3 5

1 ? 2i ,则复数 z 的虚部是 2?i 3 4 B. ? C. i 5 5

4 5

x?2 3.函数 y ? x 与 y ? ( ) 图形的交点为 (a, b) ,则 a 所在的区间是(

1 2

A.(0,1)

B. (1, 2)

C. (2,3)

D. (3, 4)
开始

x2 y 2 4.已知 F1、F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,以 a b
线段 F1 F2 为边作正 ?MF1 F2 ,若边 MF1 的中点在双曲线上,则双 曲线的离心率为( ) A . 4?2 3 B.

i=1

3 ?1

S=2

C.

3+1 2

D. 3+1

i=i+2

5.阅读右边的程序框图,若输出的 S 的是-14,则判断框内可填写 ( ) A. i ? 6? B. i ? 8?

S=S-i 是


第5题图 输出S

结束

C. i ? 5? D. i ? 7? 6.函数 f ( x) ? A.在 [0,

1 ? cos 2 x cos x





? 3? 3? ),( , ? ] 上递增,在 [? , ), ( , 2? ] 上递减 2 2 2 2 ? 3? ? 3? B.在 [0, ),[? , ) 上递增,在 ( , ? ] , ( , 2? ] 上递减 2 2 2 2 ? 3? ? 3? C.在 ( , ? ] , ( , 2? ] 上递增,在 [0, ),[? , ) 上递减 2 2 2 2 3? 3? ? ? D.在 [? , ), ( , 2? ] 上递增,在 [0, ), ( , ? ] 上递减 2 2 2 2
7.若某几何体的三视图如图所示,则几何体的体积是( A. ) D.2

?

2 1

??? ? ??? ? ??? ? ???? 8. 已知点 O 是边长为 1 的等边 ?ABC 的中心, 则 (OA ? OB) ? (OA ? OC ) 等
于 ( A. ) B. ?

1 3

B.

2 3

C.1

第7题图 2

1 9

1 9

C. ?

3 6

D. ?

1 6

9.从 6 名 同学中选 4 人分别到四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个 城市,且这 6 人中甲乙两人不去城市游览,则不同的选择方案共有( ) ( ) A.96 种 B.144 种 C.240 种 D. 300 种 10. 在直角坐标系 xoy 中, 已知三边所在的方程分别为 x ? 0, y ? 0, 2 x ? 3 y ? 30 , 则 ?A O B 内部和边上的挣点(即横纵坐标均是整数的点)的总数为( ) A.95 B.91 C.88
2

D.75

11.已知抛物线 y ? ? x ? 3 上存在关于直线 x ? y ? 0 对称相异两点 A、B ,则 | AB | 等于 ( A.3 12.设函数 f ( x) ? x ? 值范围是 A. (?1,1) B. m ? R, m ? 0 C. (-?, -1) D. 或 (-?, -1) ) B.4 C. 3 2 D. 4 2

1 ,对任意 x ?[1, ??), f (mx) ? mf ( x) ? 0 恒成立,则实数 m 的取 x

(1, +?)

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答。第

22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 已知函数 f ( x)=

ax ? 1 在区间 (?2, ??) 上为增函数, 则实数 a 的取值范围是 x?2
?



14 . 已 知 向 量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ), | a ? b |?

?

? ?

2 5 。 则 c o s? 的值 ( ?? ) 5

为 。 15.在三次独立重复试验中,事件 A 在每次试验中发生的概率相同,若事件 A 至少发生一 次的概率为

63 ,则事件 A 恰好发生一次的概率为 64



16 底面半径为 1,高为 3 的圆锥,其内接圆柱的底面半径为 R,内接圆柱的体积最大时 R 值为 。 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x ? x ,在点 x ? 0 处取极值
2

(Ⅰ)求实数 a 的值 (Ⅱ) 若关于 x 的方程 f ( x) ? ? 18. (本小题满分 12 分) 某班同学利用国庆节进行社会实践活动,对 [25,55] 岁得人群随机抽取 n 人进行了一次 生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ,否则 称为“非低碳族” ,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图: 组数 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 分组 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55] 低碳族人数 120 195 100 a 30 15 占本组的频率 0.6 p 0.5 0.4 0.3 0.3

5 求 b 的取值范围 x ? b 在区间 [0, 2] 上有两个不等的实根, 2

频率 组距 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 25 30

35 40 45 50 55 年

(Ⅰ)补全频率分布直方图并求的值 (Ⅱ)从 [40,55) 岁年龄段的“低碳族”中采取分层抽样法抽取 18 人参加户外低碳体验活 动,其中选取 3 人作为领队,记选取的 3 名领队中年龄在岁得人数为 X,求 X 的分布

列和期望 E(X)。

19. (本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD ,侧面 PAD 为边长为 2 的正三角形,底面 ABCD 为菱 形, ?BDA ? 60? (Ⅰ)证明: ?PBC ? 90? P (Ⅱ)若 PB ? 3 ,求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正玄值
M

D Q A 第19题图 B

C

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,右焦点到直线 ? ? 1 的距离 2 a b 2 a b

d?

21 ,O 为坐标原点 7

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 O 作两条互相是垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 A,B 两点,证明点 O 到直线 AB 的距离为定值。并求定值

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) 定义在 (?1,1) 上, f ( ) ? 1 ,满足 f ( x) ? f ( y ) ? f (

1 2

x? y ) ,且数列 1 ? xy

2 xn 1 。 x1 ? , xn ?1 ? 2 1+xn 2

(Ⅰ)证明: f ( x) 定义在 (?1,1) 上为奇函数 (Ⅱ)求 f ( xn ) 的表达式; (Ⅲ)若 a1 ? 1, an ?1 ?

12n f ( xn ) ? an , (n ? N * ) ,试求 an 2n

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分,作 答时请把 答题卡上所选题目后的方框涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 A 如图, ?ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E (Ⅰ)证明: ?ABE ~ ?ADC (Ⅱ)若 ?ABC 的面积 S ?

1 AD ? AE ,求 ?BAC 的大小 2

B

D C E 第22题图

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 1 ,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,

t ? x ? 1? ? 2 ? (t为参数) 直线 l 的参数方程 ? ?y ? 2? 3 t ? ? 2
(Ⅰ)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程 (Ⅱ) 设曲线 C 经过伸缩变换 ?
' ? ? x ? 3x ' ' 得到曲线 C , 设曲线 C 上任意一点为 M ( x, y ) , 求 ' ? ?y ? y

x ? 2 3 y 的最小值

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 a ? R ,设关于 x 的不等式 | 2 x ? a | ? | x ? 3|? 2 x ? 4 的解集为 A (Ⅰ)若 a ? 1 ,求 A (Ⅱ)若 A ? R ,求 a 的取值范围

2012~2013 学年度高三年级第一次模拟考试 数学(理科)试卷参考答案
一、选择题: 1A,2B,3B,4D,5B,6A,7C,8D,9C,10B,11C,12C 二、填空题: 1 2 9 13.a>2. 14.(3/5) 15. 16.R=3. 64 三. 解答题: 1? 2x ? x ? a ? ? ? x ? a ? 17.解析: (Ⅰ) f ? ? x ? ? x?a 由题意, f ? ? 0 ? ? 0 解得 a ? 1 ………………………………4 分
? 5 ? (Ⅱ)构造函数 h( x) ? ln ? x ? 1? ? x 2 ? x ? ? ? x ? b ? ? x ? ?0, 2?? ,则 ? 2 ? 2 2 (4 x ? 5)( x ? 1) ?4 x ? x ? 5 4x ? x ? 5 h?( x) ? ?? =2 ? x ? 1? 2 ? x ? 1? 2( x ? 1)

令 h?( x) ? 0

得 x=-5/4,或 x=1 又知 x ? ? 0, 2?

∴ 当 0 ? x ? 1 时,函数 h( x) 单调递增,当 1 ? x ? 2 函数 h( x) 单调递减 5 2 ? 上有两个不同的实根,等价于函数 h( x) 在 方程 f ( x) ? ? x ? b 在区间 ? 0, 2 2 ? 上有两个不同的零点,则只需 ? 0,
? h ( 0) ? ?b ? 0 ? 3 ? ?h(1) ? ln 2 ? 1 ? ? b ? 0 即 2 ? ? ?h( 2) ? ln 3 ? 4 ? 3 ? b ? 0 ?b ? 0 ? 1 ? ?b ? ln 2 ? 2 ? ? ?b ? ln 3 ? 1

∴ 所求实数 b 的取值范围是 ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ?

1 2

…………………12

分 18.解析: (Ⅰ)第二组的频率为 1 ? (0.04 ? 0.04 ? 0.03 ? 0.02 ? 0.01) ? 5 ? 0.3 ,所以高 0.3 ? 0.06 .频率直方图如下: 为 5

-------------------------------2 分
120 200 ? 200 ,频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 ,所以 n ? ? 1000 . 0.6 0.2 195 第二组的频率为 0.3, 所以第二组的人数为 1000 ? 0.3 ? 300 , 所以 p ? ? 0.65 . 300 第四组的频率为 0.03 ? 5 ? 0.15 ,第四组的人数为 1000 ? 0.15 ? 150 , 所以 a ? 150 ? 0.4 ? 60 . -------------------------------6 分 (Ⅱ)因为 [40,45) 岁年龄段的“低碳族”与 [45,50) 岁年龄段的“低碳族”的比值

第一组的人数为

为 60 : 30 ? 2 :1 ,所以采用分层抽样法抽取 18 人, [40,45) 岁中有 12 人, [45,50) 岁中有 6 人.随机变量 X 服从超几何分布.
P( X ? 0) ? P ( X ? 2) ?
0 3 1 C12 C6 C12 C62 15 5 P ( X ? 1) ? ? ? , , 3 3 C18 68 C18 204 2 1 3 0 C12 C6 33 C12 C6 55 ? P ( X ? 3) ? ? , . 3 3 C18 68 C18 204

分 2
33 68

所以随机变量 X 的分布列为 0 X
P
5 204

1
15 68

3
55 204

5 15 33 55 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 .--------------------12 分 204 68 68 204 19.(1)取 AD 中点 O,连 OP、OB,由已知得:OP⊥AD,OB⊥AD,又 OP∩OB =O,∴AD⊥平面 POB, ∵BC∥AD,∴BC⊥平面 POB,∵PB? 平面 POB, ∴BC⊥PB,即∠PBC=90°. …………………………5 分

∴数学期望 EX ? 0 ?

(2)如图,以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系 O-xyz,则 A(1,0,0),B(0, 3,0),C(-1, 3,0),由 PO=BO= 3,PB=3,得∠POB=120° , ∴∠POz=30° , 3 3 → =(-1, 3,0),BC → =(-1,0,0),PB → =(0,3 3, ∴P(0,- 2 ,2),则AB 2 3 -2),设平面 PBC 的法向量为 n=(x,y,z),

?-x=0 则?3 3 3 ? 2 y-2z=0

,取 z= 3,则 n=(0,1, 3),

设直线 AB 与平面 PBC 所成的角为 θ,则 → ,n〉|= 3. sinθ=|cos〈AB …………………………12 分 4 1 c 1 20、解: (I)由 e ? 得 ? 即a ? 2c,? b ? 3c. 2 a 2 21 x y , 由右焦点到直线 ? ? 1 的距离为 d ? 7 a b | bc ? ab | 21 ? , 得: 解得 a ? 2, b ? 3. 7 a2 ? b2
x2 y2 ? ? 1. 4 3 (II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,

所以椭圆 C 的方程为

…………5 分
x2 y2 ? ? 1 联立消 4 3

(10) :当 k 存在时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m, ,与椭圆 去y得 3x 2 ? 4(k 2 x 2 ? 2kmx ? m 2 ) ? 12 ? 0,
8km 4m 2 ? 12 , x x ? . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 OA ? OB,? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0, x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 x1 ? x2 ? ?

4m 2 ? 12 8k 2 m 2 ? ? m ? 0, 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 整理得 7m 2 ? 12(k 2 ? 1) , 并且符合 ? ? 0 . 所以 O 到直线 AB 的距离 |m| 12 2 21 2 21 d? ? ? . 所以定值为 2 7 7 7 k ?1

即 (k 2 ? 1) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 0,

? (k 2 ? 1)

(20):当 k 不存在时, 同理可求得 O 到直线 AB 的距离为 所以定值为
2 21 …………12 分 7

2 21 7

x? y 21. (1)∵ x. y ? (?1.1) 有 f ( x) ? f ( y ) ? f ( ) ,当 x ? y =0 时,可得 f (0) ? 0 . 1 ? xy 0? y 当 x ? 0 时 f (0) ? f ( y ) ? f ( ) ? f (? y ) ,∴ f (? y) ? ? f ( y) ∴ f ( x) 1? 0 ? y

在 (?1,1) 上为奇函数.……….3 分
0? y 当 x ? 0 时 f (0) ? f ( y ) ? f ( ) ? f (? y ) ,∴ f (? y) ? ? f ( y) ∴ f ( x) 1? 0 ? y 在 (?1,1) 上为奇函数.……….3 分
? 2 xn ? ? x ? (? xn ) ? ? f? n (2)∵ f ( xn ?1 ) ? f ? ? = f ? xn ? ? f (? xn ) ? 2 f ( xn ) , 2 ? ? 1 ? xn ? ? 1 ? xn ? (? xn ) ?



f ( xn ? 1) 1 ? 2 ,又 f ( x1 ) ? f ( ) ? 1,∴ ? f ( xn )? 为等比数列,其通项公式为 f ( xn ) 2
f ( xn ) ? f ( x1 ) ? 2n ?1 ? 2n ?1 .…………..6 分

(3)解:∵ a n + an?1 =6n, ∴ an?1 + a n ? 2 =6(n+1),两式相减,得 a n ? 2 - a n =6, ∴ ?a 2 n?1 ? 与 ?a 2 n ? 均为公差为 6 的等差数列,
?3n ? 2(n为奇数) ∴易求得 a n = ? 。………….12 分 ?3n ? 1(n为偶数)

22. 解:证明: (Ⅰ)由已知条件,可得 ?BAE ? ?CAD 因为 ?AEB与?ACB 是同弧上的圆周角,所以 ?AEB=?ACD , 故 ?ABE ∽ ?ADC …….5 分 (Ⅱ)因为 ?ABE ∽ ?ADC ,所以
1 2 1 2
AB AD ,即 AB ? AC ? AD ? AE. ? AE AC

又 S ? AB ? AC sin ?BAC, ,且 S ? AD ? AE ,故 AB ? AC sin ?BAC ? AD ? AE. 则 sin ?BAC ? 1 又 ?BAC 为三角形内角,所以 ?BAC ? 90? …10 分 23.(1) ? : y ? 2 ? 3( x ? 1);圆C : x 2 ? y 2 ? 1 ——————————5 分

(2)曲线 C ' :

? x ? 3cos ? ? x ? 2 3 y ? 3cos ? ? 2 3 sin ? ? 21sin(? ? ? ) 令? ? y ? sin ? ? x ? 2 3 y 最小值 ? 21 ——————————10 分 24.解(1)当 x ? -3 时,原不等式化为-3x-2 ? 2x+4, 得 x ? -3, 1 当-3<x ? ,原不等式化为 4-x ? 2x+4,得 3<x ? 0 2 1 当 x> 时,3X+2 ? 2X+4,得 x ? 2 2 综上,A= ?x | x ? 0, x ? 2? …………5 分 (2)当 x ? -2 时, 2 x ? a ? x ? 3 ? 0 ? 2x+4 成立.

x2 ? y2 ? 1 9

当 x>-2 时, 2 x ? a ? x ? 3 = 2 x ? a ? x+3 ? 2x+4. 得 x ? a +1 或 x ?
a ?1 , 3 a ?1 所以 a +1 ? -2 或 a +1 ? ,得 a ? -2. 3 综上, a 的取值范围为 a ? -2………………10 分


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