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2014年高三文科统计概率大题


(专题六)概率与统计综合题的解答
1.某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度 (学历)的调查,其结 果(人数分布)如下表: 学历 35 岁以下 35~50 岁 50 岁以上 80 30 20 本科 x 20 y 研究生 (1)用分层抽样的方法在 35~50 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为 5 的样本,将该 样本看成一个总体,从中任取 2 人,求至少有 1 人的学历为研究生的概率; (2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取 N 个人, 其中 35 岁以下 48 人,50 岁以上 10 人,再从这 N 个人中随机抽取出 1 人,此人的年龄为 50 岁以上的概率 5 为 ,求 x、y 的值. 39

2.某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅 球测试,成绩在 8.0 米以上的为合格.把所得数据进行整理后,分成 6 组画出频率分布直方 图的一部分(如图),已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04,0.10,0.14,0.28,0.30.第 6 小 组的频数是 7.

(1)求这次铅球测试成绩合格的人数; (2)若由直方图来估计这组数据的中位数,指出它在第几组内,并说明理由; (3)现欲从这个班的同学中抽取 10 人来调查他们的体育锻炼时间与他们的铅球测试成绩之间 是否有关系,则第 5 小组应抽取几人? .

3.设函数 f(x)= x2-2?a-1?x+b2的定义域为 D. (1)a∈{1,2,3,4},b∈{1,2,3},求使 D=R 的概率; (2)a∈[0,4],b∈[0,3],求使 D=R 的概率.

4.设连续掷两次普通立方体骰子得到的点数分别为 m、n,令平面向量 a=(m,n),b=(1, -3). (1)求使得事件“a⊥b”发生的概率; (2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率; m (3)求使得事件“直线 y= x 与圆(x-3)2+y2=1 相交”发生的概率. n

1

5.某校从参加高三年级期中考试的学生中抽取 50 名学生,并统计了他们的数学成绩(成绩 均为整数且满分为 100 分),数学成绩分组及各组频数如下: [40,50),2;[50,60),3;[60,70),14;[70,80),15;[80,90),12;[90,100),4. 样本频率分布表: 分组 频数 频率 [40,50) 2 0.04 [50,60) 3 0.06 [60,70) 14 0.28 [70,80) 15 0.30 [80,90) [90,100) 4 0.08 合计 (1)请把给出的样本频率分布表中的空格都填上; (2)估计成绩在 85 分以上学生的比例; (3)为了帮助成绩差的学生提高数学成绩,学校决定成立“二帮一”小组,即从成绩[90,100) 中选两位同学,共同帮助[40,50)中的某一位同学.已知甲同学的成绩为 42 分,乙同学的成 绩为 95 分,求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率. 6.某校高一年级共有学生 320 人,为调查高一年级学生每天晚自习自主支配学习时间(指除 了完成老师布置的作业后学生根据自己的需要进行学习的时间)情况,学校采用随机抽样的 方法从高一学生中抽取了 n 名学生进行问卷调查. 根据问卷得到了这 n 名学生每次晚自习自主支配学习时间的数据(单位:分钟),按照以下区 间分为七组:①[0,10),②[10,20),③[20,30),④[30,40),⑤[40,50),⑥[50,60),⑦[60,70), 得到频率分布直方图如图,已知抽取的学生中每天晚自习自主支配学习时间低于 20 分钟的 人数是 4 人. (1)求 n 的值; (2)若高一全体学生平均每天晚自习自主支配学习时间少于 45 分钟,则学校需要减少作业 量.根据以上抽样调查数据,学校是否需要减少作业量?(注:统计方法中,同 1 组数据常 用该组区间的中点值作为代表) (3)问卷调查完成后,学校从第 3 组和第 4 组学生中利用分层抽样的方法抽取 7 名学生进行 座谈, 了解各学科的作业布置情况, 并从这 7 人中随机抽取两名学生聘为学情调查联系人. 求 第 3 组中至少有 1 名学生被选聘为学情调查联系人的概率.

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(专题六)概率与统计综合题的案答
1. . 解:(1)用分层抽样的方法在 35~50 岁中抽取一个容量为 5 的样本,设抽取学历为本科的人 数为 m, 30 m ∴ = ,解得 m=3. 50 5 ∴抽取了研究生学历的 2 人,本科学历的 3 人,分别记作 S1、S2;B1、B2、B3. 从中任取 2 人的所有基本事件共有 10 个:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2), (S2,B3),(S1,S2),(B1,B2),(B2,B3),(B1,B3). 其中至少有 1 人的学历为研究生的基本事件有 7 个:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1), (S2,B2),(S2,B3),(S1,S2). 7 ∴从中任取 2 人,至少有 1 人的教育程度为研究生的概率为 . 10 10 5 (2)依题意,得 = ,解得 N=78. N 39 ∴35~50 岁中被抽取的人数为 78-48-10=20. 48 20 10 ∴ = = . 80+x 50 20+y 解得 x=40,y=5. 2. 解:(1)第 6 小组的频率为 1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14, 7 ∴此次测试总人数为 =50(人). 0.14 ∴第 4、5、6 组成绩均合格,人数为(0.28+0.30+0.14)×50=36(人). (2)直方图中中位数两侧的面积相等,即频率相等.前三组的频率和为 0.28,前四组的频率 和为 0.56, ∴中位数位于第 4 组内. x 10 (3)设第 5 小组应抽取 x 人,则 = ,解得 x=3. 15 50 即第 5 小组应抽取 3 人. 3. 解:(1)因为 a∈{1,2,3,4},b∈{1,2,3}, 所以(a,b)的所有可能为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1), (4,2),(4,3),共计 12 种. 要使 D=R, 需 4(a-1)2-4b2≤0, 即|a-1|≤|b|, 那么满足 D=R 的(a, b)的所有可能为(1,1), (1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,3),共计 9 种. 9 3 所以其概率为 P= = . 12 4 (2)因为 a∈[0,4],b∈[0,3],所以所有的点(a,b)构成的区域的面积为 12,而 D=R,有 4(a -1)2-4b2≤0,即|a-1|≤|b|,满足|a-1|≤|b|,a∈[0,4],b∈[0,3]的点(a,b)构成的区域的 7 面积为 7,故所求概率 P= . 12 4. 解:(1)由题意,知 m∈{1,2,3,4,5,6},n∈{1,2,3,4,5,6},故(m,n)所有可能的取法共有 36 种, 使得 a⊥b,即 m=3n 的取法共有 2 种,为(3,1),(6,2),所以使得事件“a⊥b”发生的概率 2 1 P= = . 36 18 (2)|a|≤|b|,即 m2+n2≤10. 共有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)这 6 种情况,

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6 1 故使得事件“|a|≤|b|”发生的概率 P= = . 36 6 |3m| (3)由直线与圆的位置关系,得 d= <1, m2+n2 m 2 1 1 1 1 2 即 < ,共有 , , , , 这 5 种情况, n 4 3 4 5 6 6 m 5 所以直线 y= x 与圆(x-3)2+y2=1 相交的概率 P= . n 36 5. 解:(1)样本的频率分布表: 分组 频数 [40,50) 2 [50,60) 3 [60,70) 14 [70,80) 15 [80,90) 12 [90,100) 4 50 合计

频率 0.04 0.06 0.28 0.30 0.24 0.08 1

10 (2)估计成绩在 85 分以上的学生有 6+4=10 人,所以估计成绩在 85 分以上的学生比例为 50 1 = . 5 (3)[40,50)内有 2 人,记为甲、A.[90,100)内有 4 人,记为乙、B、C、D.则“二帮一”小组有 以下 12 种分组情况:甲乙 B,甲乙 C,甲乙 D,甲 BC,甲 BD,甲 CD,A 乙 B,A 乙 C, A 乙 D,ABC,ABD,ACD.其中甲、乙两同学被分在同一小组有 3 种情况:甲乙 B,甲乙 C, 3 1 甲乙 D,所以甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为 P= = . 12 4 6. 解:(1)由频率分布直方图知第 1 组和第 2 组的频率分别是 0.02 和 0.06. 则 n×(0.02+0.06)=4,解得 n=50. (2)设第 i 组的频率和频数分别是 pi 和 xi, 由图知 p1=0.02, p2=0.06,p3=0.3,p4=0.4, p5=0.12,p6=0.08, p7=0.02, 则由 xi=50×pi 可得 x1=1,x2=3,x3=15,x4=20,x5=6,x6=4,x7=1. 则高一学生每天平均自主支配时间是 5x1+15x2+25x3+35x4+45x5+55x6+65x7 t= =33.6<45. 50 则学校应该想办法适当减少教师的作业布置量. (3)第 3 组和第 4 组的频数分别是 15 和 20, 15 20 用分层抽样的方法抽取 7 人,则第 3 组应抽取 7× =3(人),第 4 组应抽取 7× 15+20 15+20 =4(人). 设第 3 组中被抽到的 3 名学生分别是甲、乙、丙,第 4 组被抽到的 4 名学生分别是 a、b、c、 d,则从 7 人中抽取 2 人的基本事件空间 Ω={(甲,乙),(甲,丙),(甲,a),(甲,b),(甲, c),(甲,d),(乙、丙),(乙,a),(乙,b),(乙,c),(乙,d),(丙,a),(丙,b),(丙,c), (丙,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,d),(b,c),(c,d)},共 21 个基本事件. 15 5 其中事件 A=“第 3 组中至少有 1 名学生被选聘”共有 15 个基本事件, 则 P(A)= = , 即 21 7 5 第 3 组中至少有 1 名学生被选聘的概率是 . 7

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