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【解析】浙江省杭州二中2015届高三年级第二次月考数学理试题


2014 学年杭州二中高三年级第二次月考 数学试卷(理科)
命题:胡克元 审核:黄宗巧 校对:李 鸽

【试卷综析】本试卷是高三理科试卷,以基础知识和基本技能为载体,以能力测试为主导,在注重考查学 科核心知识的同时,突出考查考纲要求的基本能力,重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常 规、注重主干知识,兼顾覆盖面.试题重点考查:集合、不等式、

向量、三视图、导数、简单的线性规划、 直线与圆、数列、充要条件等;考查学生解决实际问题的综合能力,是份较好的试卷.

第 I 卷(共 50 分)
【题文】一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
- x 【题文】1、若集合 M = { y | y = 2 } , P = { y | y =

x - 1} ,则 M

P=

A. { y | y ? 1}

B. { y | y ? 1}

C. { y | y ? 0}

D. { y | y ? 0}

【知识点】集合的运算 A1 【答案】 【解析】C 解析:因为集合 M ? y y ? 0 , P ? y y ? 0 ,所以 M ? P ? y y ? 0 ,故选择 C. 【思路点拨】先求得集合 M,P,然后利用交集的定义可求得 M ? P 的值. 【题文】2、实数等比数列 ?a n ?中, a1 ? 0 ,则“ a1 ? a 4 ”是“ a3 ? a5 ” 的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

?

?

?

?

?

?

【知识点】等比数列性质 充分必要条件 A2 D3 A 解析: 【答案】 【解析】 设等比数列的公比为 q , 由 a1 ? a4 得 a1 ? a1q , 因为 a1 ? 0 , 所以 q3 ? 1 , 即 q ? 1,
3 2 4 由 a3 ? a5 得 a1q ? a1q ,因为 a1 ? 0 ,所以 q2 ? 1 即 q ? ?1或q ? 1 ,所以“ a1 ? a 4 ”是“ a3 ? a5 ” 的充分

而不必要条件,故选择 A. 【思路点拨】结合等比数列的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【题文】3、已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ,直线 l : y ? k ( x ? 1) ? 1 ,则与 C 的位置关系是 A.一定相离 B..一定相切 C.相交且一定不过圆心 D.相交且可能过圆心
[

【知识点】直线与与圆的位置关系 H4 【答案】 【解析】C 解析:因为直线恒过点 ?1,1? ,且该点在圆的内部,所以直线与圆相交,又因为圆的圆 心坐标为 ?1,0 ? ,直线的斜率存在所以直线不能过圆心,故选择 C. 【思路点拨】根据直线恒过点在圆的内部,可得直线与圆相交,又因为直线恒过的点与圆心在一条斜率不
页 1第

存在的直线上,而直线斜率存在,所以不过圆心. 【题文】4、已知实数等比数列 ?a n ?公比为 q ,其前 n 项和为 Sn ,若 S3 、 S9 、 S6 成等差数列,则 q3 等于 A. ?

1 2

B.1

C. ?

1 或1 2

D. ?1或

1 2

【知识点】等差数列的性质 等比数列前 n 项和 D2 D3 A 解析: 【答案】 【解析】 因为 S3 、S9 、S6 成等差数列, 所以 2S9 ? S3 ? S6 , 若公比 q ? 1 ,2S9 ? S3 ? S6 , 所以 q ? 1 ,当 q ? 1 时,可得 2

a1 ?1 ? q9 ? 1? q

?

a1 ?1 ? q3 ? 1? q

?

a1 ?1 ? q 6 ? 1? q

,整理可得: q ? ?

1 ,故选择 A. 2

【思路点拨】根据等差数列的性质列的 2S9 ? S3 ? S6 ,当公比 q ? 1 ,等式不成立,当 q ? 1 时,再根据等 比数列的求和公式进行化简即可得到,

?y ? x ? 【题文】5、已知 x 、 y 满足 ? x ? y ? 2 ,且 z ? 2 x ? y 的最大值是最小值的 4 倍,则 a 的值是 ?x ? a ?
A.

3 4

B.

1 4

C.

2 11

D. 4

【知识点】线性规划 E5

?y ? x ? 【答案】 【解析】B 解析:画出 x, y 满足 ? x ? y ? 2 的可行域如下图: ?x ? a ?

由?

? y=x ?x ? a ,得 A ?1,1? ,由 ? ,得 B ? a,a ? , ? x ? y=2 ?y ? x

当直线 z ? 2 x ? y 过点 A ?1,1? 时,目标函数 z ? 2 x ? y 取得最大值,最大值为 3; 当直线 z ? 2 x ? y 过点 B ? a,a ? 时,目标函数 z ? 2 x ? y 取得最小值,最小值为 3a ; 由条件得 3 ? 4 ? 3a, 所以 a ?

1 ,故选择 B. 4

【思路点拨】由题意可得先作出不等式表示的 平面区域,由 z ? 2 x ? y 可得 y ? ?2 x ? z ,则 z 表示直线

y ? ?2 x ? z 在 y 轴上的截距,截距越大, z 越大,可求 z 的最大值与最小值,即可求解 a .
页 2第

【题文】6、等差数列 ?a n ?前 n 项和为 Sn ,已知 A.125 B.85 C.45

S25 S S ? 5, 45 ? 25 ,则 65 ? a23 a33 a43

D.35

【知识点】等差数列前 n 项和 D2

S25 S ? 5, 45 ? 25 , a23 a33 a13 1 a23 5 a S a 5? 4 9 9 ? , ? , 根据合比定理可得: 33 ? ? ,所以 65 ? 65 33 ? 65 ? 45 ,故选择 可得 a23 5 a33 9 a43 9 ? 4 13 a43 a43 13
【答案】 【解析】C 解析:根据等差数列前 n 项和的性质可得 S2n?1 ? ? 2n ?1? an ,所以 C. 【思路点拨】根据等差数列前 n 项和的性质可得 S2n?1 ? ? 2n ?1? an ,可得

a33 5 ? 4 9 ? ? ,即可求得. a43 9 ? 4 13 1 1 1 9 ? 【题文】7、若正数 a,b 满足 ? ? 1 ,则 的最小值 a b a ?1 b ?1
可得: A.1 B.6 C.9 D.16 【知识点】基本不等式 E6 【答案】 【解析】B 解析:∵ 正数 a, b ,满足

a13 1 a23 5 ? , ? , 根据合比定理 a23 5 a33 9

a 1 1 ? ? 1 ,? b= >0 ,解得 a>1, 同理 b>1 , a b a ?1

1 9 1 9 1 1 1 ? ? ? ? ? 9 ? a ? 1? ? 2 .9 ? a ? 1? ? 6 ? 9 ? a ? 1? , 所以 a ? 1 b ? 1 a ? 1 , 当且仅当 a a ? 1 a ? 1 ?1 a ?1 a ?1
即a ?

4 等号成立,所以最小值为 6.故选择 B. 3 a 1 9 ? >0 , 代 入 , 整 理 可 得 a ?1 b ?1 a ?1

【 思 路 点 拨 】 根 据 已 知 可 得 b=

1 1 ? 9 ? a ? 1? ? 2 .9 ? a ? 1? ? 6 ,可得结果. a ?1 a ?1
【题文】8、已知 F1 , F2 分别是椭圆的左,右焦点,现以 F2 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆 于点 M , N ,若过 F1 的直线 MF1 是圆 F2 的切线,则椭圆的离心率为 A. 3 ? 1 B. 2 ? 3 C.

2 2

D.

3 2

【知识点】椭圆的几何性质 H5 【答案】 【解析】A 解析:因为过 F1 的直线 MF1 是圆 F2 的切线,所以可得 ?F 1MF 2 ? 90 , MF 2 ? c ,因为

F1F2 ? 2c ,所以可得 MF1 ? 3c ,由椭圆定义可得 MF 1 ? MF2 ? c ? 3c ? 2a ,可得题意离心率



3第

为e ?

2 ? 3 ? 1 ,故选择 A. 1? 3

F1F2 ? 2c,?F1MF2 ? 90? ,从而得到 MF1 ? 3c ,由此能求 【思路点拨】由已知条件推导出 MF2 ? c,
出椭圆的离心率.
2 2 【题文】9、若等差数列 {an } 满足 a1 ? a10 ? 10 ,则 S ? a10 ? a11 ? ... ? a19 的最大值为

A.60

B.50

C. 45

D.40

【知识点】等差数列的性质 D2
2 【答案】 【解析】B 解析:设等差数列的公差为 d ,因为 a1 ? a10 ? 10 ,所以 ? a10 ? 9 d ? ? a10 ? 10, 而

2

2

2

S ? a10 ? a11 ? ... ? a19 ? 10a10 ? 45d , 可 得 a10 ?

?1 3 5?
2

42?5 d

S ? 45d 2 2 1, 0整 理 得 , 代 入 ? a1 0? 9 d? ? a1 0 ? 10
d 的 二 次 方 程 有 实 根 可 得

2

?

3 d6 S0 ?

S2 2 ?

1, ? 00 0 关0 于 由

? ? 3602 S 2 ? 4 ?1352 ? 452 ?? 2 S 2 ? 1000 ? ? 0, 化简可 S 2 ? 2500 得,解得 S ? 50 ,故选择 B.
2 【思路点拨】设等差数列的公差为 d ,易得 ? a10 ? 9d ? ? a10 ? 10, 由求和公式可得 a10 ? 2

S ? 45d ,代入 10

? a10 ? 9d ?

2

? a10 2 ? 10, 整理可得关于 d 的方程,由 ? ? 0 可得 S 的不等式,解不等式可得.

【题文】10、已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,在 (0, 2] 上是增函数,且 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,给出下 列结论: ① 若 0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 4 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ; ② 若 0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 5 , 则 ③ 若方程 f ( x) ? m 在 [?8,8] 内恰有四个不同的实根 x1 , x2 , x3 , x4 , 则 x1 ?x2 ?x3 ?x4 ?? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; 或 8;④函数 f ( x ) 在 [?8,8] 内至少有 5 个零点,至多有 13 个零点 其中结论正确的有 A.1 个 B.2 个 【知识点】函数的性质 B3 B4 C.3 个 D.4 个

8

【答案】 【解析】C 解析:因为 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 f ? x ? 8? ? f ? x ? ,即函数的周期为 8,因此函数 是周期函数,又是奇函数,且在[0,2]上为增函数,综合条件得函数的示意图,由图看出,
页 4第

f x) ① 若 0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 4 ,由图像可得正确;② 若 0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 5 , ( 在 (0, 2] 上
是增函数,则 0<x1<5 ? x1<4 ,即 1< x1< ,由图可知: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;故②正确;③当 m>0 时,四 个 交 点 中 两 个 交 点 的 横 坐 标 之 和 为 2 ? ? ?6? ? ?12, 另 两 个 交 点 的 横 坐 标 之 和 为 2 ? 2 ? 4 , 所 以

5 2

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ? 8 .当 m<0 时,四个交点中两个交点的横坐标之和为 2×(-2) ,另两个交点的横坐标
之和为 2×6,所以 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 8 .故③正确;④如图可得函数 f ( x ) 在 [?8,8] 内有 5 个零点,所以不 正确.故选择 C. 【思路点拨】由条件 f ( x ? 4) ? ? f ( x) 得 f ? x ? 8? ? f ? x ? ,说明此函数是周期函数,又是奇函数,且在

(0, 2] 上为增函数,由这些画出示意图,由图可解决问题.

第 II 卷(共 100 分)
【题文】二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 【题文】11、如图为了测量 A , C 两点间的距离,选取同一平面上 B , D 两点,测出四边形 ABCD 各边的 长度(单位:km ):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,如图所示,且 A、B、C、D 四点共圆, 则 AC 的长为_________ km .

【知识点】解三角形 C8 【答案】 【解析】7.解析:因为 A、B、C、D 四点共圆,所以 ?D ? ?B ? ? ,在 ABC 和 ADC 中,由 余弦定理可得: 8 ? 5 ? 2 ? 8 ? 5 ? cos ?? ? D? ? 3 ? 5 ? 2 ? 3? 5 ? cos D , cos D ? ?
2 2 2 2

? 1? AC 2 ? 32 ? 52 ? 2 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? 49 ,故答案为 7. ? 2? 1 【思路点拨】根据 A、B、C、D 四点共圆,可得 ?D ? ?B ? ? ,再由余弦定理可得解得 cos D ? ? , 2
代入余弦定理可得. 【题文】 12、 在△ABC 中,A ?


1 ,代入可得 2

?
6

, D 是 BC 边上任意一点 (D 与 B、 C 不重合) , 且 | AB |2 ?| AD |2 ? BD ? DC ,
5第

则角 B 等于



【知识点】向量的线性运算 解三角形 F1 C8 【答案】 【解析】
2 2

? ? ? BD. ? AB ? AD ? DC ? ? BD. ? AB ? AC ? ? 0 ,即 BD ? ? AB ? AC ? ,又因为 D 在 BC 上,所以 ? 5? ? ? BC ? ? AB ? AC ? ,即 AB ? AC 三角形为等腰三角形,所以 ? ,故答案为 . 6 ?B ? ? 12 2 12 【思路点拨】由已知变形可得 AB ? AD ? ? AB ? AD ? . ? AB ? AD ? ? ? AB ? AD ? .BD ? BD.DC ,可得 BC ? ? AB ? AC ? ,即 AB ? AC ,三角形为等腰三角形,可求得.
AB ? AD ? AB ? AD . AB ? AD ? AB ? AD .BD ? BD.DC ,整理得
2 2

?

5? .解析:由已知可得: 12

??

【题文】13、函数 f ( x) ? ?

?x ?1 ?log 2 x
B9

x?0 x?0

,则函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的所有零点所构成的集合为________.

【知识点】函数的零点问题

【答案】 【解析】 ??3, ? , , 2 ? .解析:当 x ? ?1 时, f ? x ? ? x ? 1 ? 0 ,

? ?

1 1 2 4

? ?

f x) ] ? 1 ? x ? 1 ? 1 ? 1 ? 0, >0 , ∴f[( ∴x ? ?3; 当 ?1 ? x ? 0 时, f ? x ? ? x ? 1
( ) ? 1 ? 0, ?x ? ? ∴ f [ f ? x ?] ? 1 ? log 2 x ?1 1 ;当 0 ? x ? 1 时, 2 1 f ? x ? ? log2 x ? 0, ? f [ f ? x ?] ? 1 ? log 2 x ? 1 ? 1 ? 0, ?x ? ; 4

? f [ f ? x ?] ? 1 ? log( ) ? 1 ? 0, ?x ? 当 x>1 时, f ? x ? ? log2 x>0, 2 log 2 x
? ? 1 1 2 4 ? ?

2
? ? 1 1 2 4 ? ?

所以函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的所有零点所构成的集合为: ??3, ? , , 2 ? ,故答案为 ??3, ? , , 2 ? . 【思路点拨】 欲求函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 函数的零点, 即求方程 f ? 下面分: 当 x ? 0 时, ? f ? x ?? ? ? 1 ? 0 的解, 当 x>0 时分别求出函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的所有零点所构成的集合即可. 【题文】 14、 已知正三棱柱 ABC - A1B1C1 体积为 与平面 ABC 所成角的大小为 【知识点】求线面角 G7 【答案】 【解析】

9 , 底面是边长为 3 .若 P 为底面 A1B1C1 的中心, 则 PA1 4

? .解析:因为 AA1 ? 底面 A1B1C1 ,所以 ?APA1 为 PA 与平面 A1B1C1 所成角,因为平面 3 9 ABC ∥平面 A1 B1C1 ,所以 ?APA1 为 PA 与平面 ABC 所成角,因为正三棱柱 ABC - A1B1C1 体积为 , 4 AA1 1 9 ? 3, A P ? 1 ,所以 tan ?APA1 ? 底面是边长为 3 ,所以 V ? S ABC AA1 ? ,可得 AA 1 ? 3, 1 A1 P 3 4 ? ? 即 ?APA1 ? ,故答案为 . 3 3
页 6第

【思路点拨】利用三棱柱 ABC - A1B1C1 的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知, ?APA1 为 PA 与平面

A1B1C1 所成角, ,即为 ?APA1 为 PA 与平面 ABC 所成角.利用三棱锥的体积计算公式可得 AA ,再 1 ? 3
tan ?APA1 ? 利用正三角形的性质可得 A 1P ,在 Rt AA 1P 中,利用
2

AA1 ? 3 即可得出. A1 P

【题文】15、已知 sin ? ,cos ? 是关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 0 的两个根,则

1 + cos 2a - sin 2a 1- sin 2a - cos 2a + = 1- sin 2a - cos 2a 1 + cos 2a - sin 2a



【知识点】二倍角公式 同角三角函数基本关系式 韦达定理 C6 C2 【答案】 【解析】 2 ? 1 解析:根据二倍角公式

1 ? cos 2? ? 2cos2 ? ,1 ? cos 2? ? 2sin 2 ? ,sin 2? ? 2sin ? cos ? ,可将已知式子化简为:
2cos 2 ? ? 2sin ? cos ? 2sin 2 ? ? 2sin ? cos ? cos ? sin ? 1 ,由韦达定理可得: ? ?? ? ?? 2 2 2sin ? ? 2sin ? cos ? 2cos ? ? 2sin ? cos ? sin ? cos ? sin ? cos ? ?sin ? ? cos ? ? a ,根据同角三角函数基本关系式可得: ? ?sin ? .cos ? ? a

? sin ? ? cos ? ?

2

? a 2 ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 1 ? 2a ,即 a 2 ? 2a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 1 ? 2 ,又因为

sin ? ? cos ? ? 2 ,所以 a ? 1 ? 2 ,所以 ?

1 1 ? ? ? 2 ? 1 ,故答案为 2 ? 1 . sin ? cos ? a
2

【思路点拨】 由韦达定理以及同角三角函数基本关系式可求得 a ? 2a ? 1 ? 0 , 再根据 sin ? ? cos ? ? 2 , 确定 a 值,利用二倍角公式将已知式子降角升幂化简为 ?

1 ,即可求得. sin ? cos ? 2 1 【题文】16、已知 O 是 ?ABC 外心,若 AO ? AB ? AC ,则 cos ?BAC ? 5 5



【知识点】向量的数量积 F3
页 7第

【答案】 【解析】

2 2 1 1 6 . 解析:因为 O 为三角形的外心,所以 AO AB ? AB , AO AC ? AC , , 由 2 2 4

AO AB ?
2

2 2 2 1 2 1 AB ? AC AB 整理得: AB2 ? 2 AC AB ,同理 AO AC ? AB AC ? AC 整理可得: 5 5 5 5

AC ?

AC AB 1 6 4 cos ?BAC ? ? ? 6 AB AC ,所以 . 4 ,故答案为 4 AC AB 3 2? 4 3
2 2 1 1 AB , AO AC ? AC , 再让已知式子分别与向量 2 2

【思路点拨】根据 O 为三角形外心,可得 AO AB ?

2 4 2 AB, AC 求数量积,可得到 AB ? 2 AC AB 与 AC ? AB AC ,再结合向量夹角公式求得结果. 3

【题文】17、已知函数 f ( x) ?

a ? x ,对 ?x ? (0,1) ,有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 1恒成立,则实数 a 的取值范围 x

为 . 【知识点】不等式恒成立问题 E8 【答案】 【 解 析 】 a ? ? 或a ? 1 解 析 : 因 为 ?x ? (0,1) , 有 f ( x)? f ( 1 ,即 ? x) ? 恒 1成立, 4
2 2 ?a ?? a ? ? ?1 ? x ? ? ? 1 , 整 理 可 得 a2 ? a ??1 ? x ? ? x2 ? ? x2 ?1 ? x ? ? x ?1 ? x ? , 令 ? ? x ?? ? ? ?x ?? 1 ? x ?

1

1 x ?1 ? ?x ? t ? ( 0 ,上式为 , ] a2 ? a ?1 ? 2t ? ? t 2 ? t ? 0 ? ? a ? t ?? a ? t ?1? ? 0 ,所以 a ? ?t或a ? 1 ? t 因 4
为 t ? (0, ] ,所以 a ? ? 或a ? 1 ,故答案为 a ? ? 或a ? 1

1 4

1 4

1 4

1 ?a ?? a ? ? x ?? ? ?1 ? x ? ? ? 1 ,令 x ?1 ? x ? ? t ? (0, ] , 4 ?x ?? 1 ? x ? 1 2 2 整 理 可 得 a ? a ?1 ? 2t ? ? t ? t ? 0 ? ? a ? t ?? a ? t ?1? ? 0 , a ? ?t或a ? 1 ? t 因 为 t ? ( 0 , ], 所 以 4 1 a ? ? 或a ? 1 . 4
【思路点拨】根据题意可得 f ?1 ? x ? f ? x ? ? 1 ,即 ? 【题文】三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答请写在答卷纸上,应写出文字说明,证明过程或 演算步骤. 【题文】18、在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 b cos C ? 3b sin C ? a ? c ? 0 . (Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 b ? 3 ,求 2a + c 的取值范围. 【知识点】解三角形 三角函数的性质 C3 C8 【答案】 (Ⅰ)


? ; (Ⅱ) ( 3, 2 7] . 3

8第

【解析】 (1)由正弦定理知: sin B cos C ? 3sin B sin C ? sin A ? sin C ? 0

sin A ? sin( B ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C 代入上式
得: 3sin B sin C ? cos B sin C ? sin C ? 0
sin C ? 0

? 3sin B ? cos B ? 1 ? 0
即 sin( B ?

?
6

)?

1 2

B ? (0, ? )

?B ?

?
3 b ?2 sin B

(Ⅱ)由(1)得: 2R ?

2a ? c ? 2R(2 sin A ? sin C) ? 5 sin A ? 3 cos A ? 2 7 sin(A ? ? )
其中, sin ? ?

3 2 7

, cos? ?

5 2 7

2? A ? (0, ) 3

2 7 sin(A ? ? ) ? ( 3,2 7 ]
【思路点拨】由正弦定理可得 3sin B sin C ? cos B sin C ? sin C ? 0 , ? 3sin B ? cos B ? 1 ? 0 ,化一得

? 1 sin( B ? ) ? 即可得角 B 的值; 由正弦定理可得 2a ? c ? 5sin A ? 3 cos A ? 2 7 sin( A ? ? ) 再根据正弦 6 2
函数的范围求得 2a + c 的范围. 【题文】19、如图,在三棱锥 P ? ABC 中, BC ? 平面 PAB .已知 PA ? AB ,点 D , E 分别为 PB , BC 的中点. (Ⅰ)求证: AD ? 平面 PBC ; (Ⅱ)若 F 在线段 AC 上,满足 AD // 平面 PEF ,求

AF 的值. FC

P

D A F E B
页 9第

C

【知识点】线面垂直 线面平行 G4 G5 【答案】 (Ⅰ)略; (Ⅱ) 【解析】 (Ⅰ)证明:

1 . 2
? BC ? AD

BC ? 平面 PAB

PA ? AB ,D 为 PB 中点 ? AD ? PB
PB ? BC ? B

? AD ? 平面 PBC

(Ⅱ)连接 DC 交 PE 于 G, 连接 FG ,
AD / / 平面 PEF ,平面 ADC ? 平面 PEF ? FG

? AD / / FG

又 G 为 ?PBC 重心

?

AF DG 1 ? ? FC GC 2

【思路点拨】证明 AD ? PB, AD ? BC ,即可证明 AD ? 平面 PBC ,连接 DC 交 PE 于 G, 连接 FG ,
AD / / 平面 PEF ,平面 ADC ? 平面 PEF ? FG ,? AD / / FG ,即可得 G 为三角形重心.

【题文】20、已知数列 ?an ? 的首项为 a(a ? 0) ,前 n 项和为 Sn ,且有 Sn?1 ? tSn ? a(t ? 0) , bn ? Sn ? 1 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
* (Ⅱ)当 t ? 1 时,若对任意 n ? N ,都有 bn ? b5 ,求 a 的取值范围;

(Ⅲ)当 t ? 1 时,若 cn ? 2 ? b1 ? b2 ? ... ? bn ,求能够使数列 ?cn ? 为等比数列的所有数对 (a, t ) . 【知识点】等比数列的性质 数列求的和 D3 D4



10 第

【答案】 (Ⅰ) an ? at

n?1

; (Ⅱ) [? , ?

2 9

2 (Ⅲ) (1, 2) . ]; 11

【解析】解析: (Ⅰ)当 n ? 1 时,由 S2 ? tS1 ? a 解得 a2 ? at 当 n ? 2 时, Sn ? tSn ?1 ? a ,

?(Sn?1 ? Sn ) ? t (Sn ? Sn?1 ) ,即 an ?1 ? tan
又 a1 ? a ? 0 ,综上有

an ?1 ? t (n ? N *) ,即 {an } 是首项为 a ,公比为 t 的等比数列,? an ? at n ?1 an

(Ⅱ)当 t ? 1 时, Sn ? an, bn ? an ? 1 , 当 a ? 0 时, {bn } 单调递增,且 bn ? 0 ,不合题意; 当 a ? 0 时, {bn } 单调递减,由题意知: b4 ? 0, b6 ? 0 ,且 ? 解得 ? ? a ? ?

?b4 ?| b5 | ??b6 ?| b5 |

2 9

2 , 11

综上 a 的取值范围为 [? , ?

2 9

2 ] 11

(Ⅲ) t ? 1 ,? bn ? 1 ?

a ? at n 1? t

? cn ? 2 ? (1 ?

a a a at (1 ? t n ) at a at n ?1 )n ? (t ? t 2 ? ... ? t n ) ? 2 ? (1 ? )n ? ? 2 ? ? (1 ? ) n ? t ?1 1? t t ?1 (1 ? t )2 (1 ? t ) 2 t ?1 (1 ? t ) 2

at ? 2? ?0 ? ?a ? 1 ? (1 ? t ) 2 由题设知 ?cn ? 为等比数列,所以有, ? ,解得 ? ,即满足条件的数对是 (1, 2) . ?t ? 2 ?1 ? t ? a ? 0 ? ? 1? t
(或通过 ?cn ? 的前 3 项成等比数列先求出数对 (a, t ) ,再进行证明) 【思路点拨】 (Ⅰ)由数列递推式求得首项,得到 an?1 ? ant, 由此说明数列是等比数列,由等比数列的通项 公式得答案; (Ⅱ)根据题意可得 bn ? na ? 1 ,因为 bn?1 ? bn ? a ,所以得到 ?bn ? 为等差数列,当 a ? 0 时,

?bn ? 为单调递增数列,且对任意 n ? N *,an>0 恒成立,不合题意.当 a ? 0 时, ?bn ? 为单调递减数列,
由题意知得 b4>0,b6<0, 结合去 bn ? b5 绝对值后求解 a 的取值范围; (Ⅲ)由题意得 bn ? 1 ?

a ? at n , 1? t

代 入 可 得 Cn ? 2 ?

at

?1 ? t ?

2

a ? at n ?1 ? ? ?1 ? ?n? 2 ,由等比数列通项的特点列式,可得需满足 ? t ?1 ? ?1 ? t ?



11 第

at ? 2? ?0 ? ? (1 ? t ) 2 . ? 1 ? t ? a ? ?0 ? ? 1? t
【题文】21、如图,已知圆 G:x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 ,经过椭圆 顶点 B,过圆外一点 (m,0)(m ? a) 倾斜角为

5? 的直线 l 交椭圆于 C,D 两点, 6

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F 及上 a2 b2

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部,求 m 的取值范围.

【知识点】椭圆方程 直线与椭圆 H5 H8 【答案】 (Ⅰ)

x2 y2 (Ⅱ) 3 ? m ? 2 3 . ? ? 1; 6 2

【解析】解析: (Ⅰ)∵圆 G: x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 经过点 F、B. ∴F(2,0) ,B(0, 2 ) , ∴c ? 2 ,b ?

2 . ∴ a 2 ? 6 .故椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 6 2

? x2 y2 ? ?1 ? ?6 2 3 ( Ⅱ ) 设 直 线 l 的 方 程 为 y?? 消去 y 得 ( x ? m)(m ? 6 ) . 由 ? 3 3 ?y ? ? ( x ? m) ? 3 ?

2x 2 ? 2mx ? (m2 ? 6) ? 0 .
设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? m , x1 x 2 ?

m2 ? 6 , 2

∴ y1 y 2 ? [?

3 3 1 m m2 . ( x1 ? m)] ? [? ( x2 ? m)] ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 3 3 3 3 3

∵ FC ? ( x1 ? 2, y1 ) , FD ? ( x2 ? 2, y2 ) ,



12 第

∴ FC ? FD = ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y 2 ? =

4 (m ? 6) m2 x1 x2 ? ( x1 x2 ) ? ?4 3 3 3

2m( m ? 3) . 3

∵点 F 在圆 G 的外部, ∴ FC ? FD ? 0 , 即

2m( m ? 3) ? 0 ,解得 m ? 0 或 m ? 3 . 3

由△= 4m 2 ? 8(m 2 ? 6) ? 0 ,解得 ? 2 3 ? m ? 2 3 .又 m ? 6 , 6 ? m ? 2 3 . ∴3? m ? 2 3. 【思路点拨】根据圆与 x 轴的交点求得 F ( 2 , 0 ) , B (0 , 2 ) ,可得椭圆方程;设直线 l 的方程为

m2 ? 6 3 , ( x ? m)(m ? 6 ) 与椭圆方程联立,得到 x1 ? x2 ? m , x1 x 2 ? 2 3 因为点 F 在圆 G 的外部, 所以 FC ? FD ? 0 ,即 FC ? FD = ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y 2 >0,求得 3 ? m ? 2 3 .
y??
【题文】22、已知函数 f ( x) ? x2 ? 1, g ( x) ? a | x ? 1| . (Ⅰ)若当 x ? R 时,不等式 f ( x) ≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求函数 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最大值. 【知识点】含绝对值不等式 二次函数求最值 E2

【答案】 (Ⅰ) a ≤ ?2 ; (Ⅱ)

?3a ? 3 ? a ? 0 ? ? h ? x ? ? ?a ? 3 ? ?3 ? a ? 0 ? ? ?0 ? a ? ?3?

.

2 【解析】解析: (1)不等式 f ( x) ≥ g ( x) 对 x ? R 恒成立,即 ( x ? 1) ≥ a | x ? 1| (*)对 x ? R 恒成立,

①当 x ? 1 时, (*)显然成立,此时 a ? R ; ②当 x ? 1 时, (*)可变形为 a ?

x2 ? 1 x 2 ? 1 ? x ? 1, ( x ? 1), ?? ,令 ? ( x) ? | x ? 1| | x ? 1| ??( x ? 1), ( x ? 1).

因为当 x ? 1 时, ? ( x) ? 2 ,当 x ? 1 时, ? ( x) ? ?2 ,所以 ? ( x) ? ?2 ,故此时 a ≤ ?2 . 综合①②,得所求实数 a 的取值范围是 a ≤ ?2 .

? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ≥1), ? 2 2 (2)因为 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) ?| x ? 1| ?a | x ? 1| = ?? x ? ax ? a ? 1, (?1≤ x ? 1), …10 分 ? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ? ?1). ?
①当

a ? 1, 即a ? 2 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增, 2
13 第



且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 ,经比较,此时 h( x) 在 [?2,2] 上的最大值为 3a ? 3 . ②当 0 ≤ ≤1, 即0 ≤ a ≤ 2 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2, ?1] , [? ,1] 上递减,

a 2 a a a2 ? a ?1, 在 [?1, ? ] , [1, 2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , h( ? ) ? 2 4 2
经比较,知此时 h( x) 在 [?2,2] 上的最大值为 3a ? 3 .

a 2

③当 ?1≤ ? 0,即- 2 ≤ a ? 0 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2, ?1] , [? ,1] 上递减,

a a 2 2 a a a2 ? a ?1, 在 [?1, ? ] , [1, 2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , h( ? ) ? 2 4 2
经比较,知此时 h( x) 在 [?2,2] 上的最大值为 a ? 3 .

④当 ? ≤

3 a a a ? ?1, 即- 3 ≤ a ? ?2 时,结合图形可知 h( x) 在 [?2, ] , [1, ? ] 上递减, 2 2 2 2 a a 在 [ ,1] , [? ,2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3 ? 0 , h(2) ? a ? 3≥ 0 , 2 2
经比较,知此时 h( x) 在 [?2,2] 上的最大值为 a ? 3 . 当

a 3 ? ? , 即a ? ?3 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增, 2 2

故此时 h( x) 在 [?2,2] 上的最大值为 h(1) ? 0 . 综上所述,

?3a ? 3 ? a ? 0 ? ? h ? x ? ? ?a ? 3 ? ?3 ? a ? 0 ? ? ?0 ? a ? ?3?

.

2 【思路点拨】根据题意可得 ( x ? 1) ≥ a | x ? 1| (*)对 x ? R 恒成立,讨论当 x ? 1 时, (*)显然成立,此时

a ? R ,当 x ? 1 时, (*)可变形为 a ?

x2 ? 1 x 2 ? 1 ? x ? 1, ( x ? 1), ? ( x ) ? ?? ,令 只需求其最小值即可; | x ? 1| | x ? 1| ??( x ? 1), ( x ? 1).

? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ≥1), a a ? h ? x ? ? ?? x 2 ? ax ? a ? 1, (?1≤ x ? 1), ,讨论对称轴①当 ? 1, 即a ? 2 时,②当 0 ≤ ≤1, 即0 ≤ a ≤ 2 时, 2 2 ? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ? ?1). ?
③当 ?1≤ ? 0,即- 2 ≤ a ? 0 时,④当 ? ≤

a 2

3 2

a ? ?1, 即- 3 ≤ a ? ?2 时,四种情况,分别求得最大值. 2



14 第


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