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珠海一中高三阶段考理科数学试题0925(参考答案)


珠海一中 2015 届高三阶段考试数学(理)试题参考答案
一、选择题:1-8 C D B B CCCC 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.请将答案填在答题卡相应位置. 9. ?

3 . 2

10.

f ( x)=3sin(2 x ? ) . 3

?

/>
11.

2.

12. e

2

? 2 .13.-1.

14.

? ??,

2? ?.

三、解答题:本题共有 6 个小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤,格式要规范. 15.解: (Ⅰ)由 3-tan x≥0,得 tan x≤ 3, …………………………………………………………3 分. ∴kπ - ∴ π 2

? x≤kπ + 3 (k∈Z),
π π

π

? f ( x) 的定义域为? ?kπ - 2 ,kπ + 3 ?(k∈Z).…………………………………………………6 分. ? ?
1+sin x 得 sin x-ycos x=3y-1, 3+cos x -y 1 .…………………………………8 分. 2, sin φ= 1+y 1+y2

(Ⅱ)由 y=

∴ y2+1sin(x+φ)=3y-1,这里 cos φ= ∵|sin(x+φ)|≤1,∴|3y-1|≤ y2+1,

………………………………………………………………10 分.

3 ? 3 ? . …………………………………………………………12 分. 解得 0≤y≤ ,∴原函数的值域为 0, 4 ? 4? ? ? 16.解:原函数可化为 y=sin xcos x-2(sin x+cos x)+4. …………………………………………………2 分. 令 sin x+cos x=t(|t|≤ 2),则 sin xcos x= ∴y= t2-1 -2t+4 2 t2-1 ,………………………………………………………4 分. 2

………………………………………………………………………………………6 分.

1 3 = (t-2)2+ …………………………………………………………………………………………7 分. 2 2 ∵t=2?[- 2, 2],且函数在[- 2, 2]上为减函数, ……………………………………………8 分. π 9 ∴当 t= 2,即 x=2kπ + (k∈Z)时,ymin= -2 4 2 3π 9 当 t=- 2,即 x=2kπ - (k∈Z)时,ymax= +2 4 2 17.解: (Ⅰ) f ( x) ? 2; ……………………………………………10 分. 2. ……………………………………………12 分.

3 sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? 2(

3 1 ? sin 2 x ? cos2 x) ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ………3 分 2 2 6

f ( x) 的最小正周期为 ? 。 ……………………………………………………………………………4 分
当 2kπ - π π π ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z)时,函数 f ( x ) 单调递增,………………………………6 分 2 6 2

π π 解得 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z) ……………………………………………………………………7 分 3 6 ∴函数 f ( x ) 的单调递增区间为?kπ -

? ?

π π ,kπ + ? ?(k∈Z).………………………………………8 分 3 6?

高三阶段考试理科数学参考答案第 1 页(共 4 页)

π (Ⅱ) 将 f ( x ) 的图像向右平移 个单位长度, 12 得到函数 g ( x) ? 2 sin 2 x ?

? ? ?

? ?
?
12

?

??

? 6?

? 1 ? 2 sin 2 x ? 1 ………………………………………11 分

因为函数 g ( x ) 的周期为π ,若将其周期变为 2π ,再将函数 g ( x ) 的图像向下平移 1 个单位 则得函数 h( x) ? 2sin x . ……………………………………………………………………………14 分 (本题中解析式化简错误,不影响周期的结果的,可以给部分分数;第 2 问写解析式只要写对的就给分) 18. (Ⅰ)证明:令 m ? 0, n ? 1 ,则 f (0 ? 1) ? f (0) ? f (1) 即 f (1) ? f (0) ? f (1) …………………………1 分 ∵当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 ,故 f (1) ? 0 ,∴ f (0) ? 1 ,……………………………………………………2 分 ∵当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 ∴当 x ? 0 时, ? x ? 0 , ? 0 ? f ( ? x) ? 1 ……………………………3 分

由 f (? x ? x) ? f (? x) ? f ( x) ? f ( x) ?

f (0) 1 ? ? 1 …………………………………………4 分 f (? x) f ( ? x)

(Ⅱ)证明: 任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 , ……………………………………………………………………5 分 ∵ x2 ? x1 ? 0 ,∴0< 0 ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 ,故 f ( x2 ? x1 ) ?1 <0,……………………………………………6 分 由(Ⅰ)知: f ( x1 ) ? 0, ∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? [ f ( x2 ? x1 ) ?1] f ( x1 ) <0 故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴函数 f ( x ) 是 R 上的单调减函数.……………………………………………………9 分 (Ⅲ)∵ A ? ( x, y ) f ( x ) ? f ( y ) ? f (1) ? ( x, y ) f ( x ? y ) ? f (1)
2 2 2 2

?

? ?

?

由(Ⅱ)知 f ( x ) 是 R 上的减函数,∴ x 2 ? y 2 ? 1………………………………………………………10 分 ∵B={ ( x, y) f (ax ? y ? 2) ? 1, a ? R }=

?? x, y ? ax ? y ? 2 ? 0, a ? R? …………………………………11 分

? x2 ? y 2 ? 1 ∵ A B ? ? ,∴方程组 ? 无解即直线 ax ? y ? 2 ? 0与单位圆x2 ? y 2 ? 1 的内部无公共点 ax ? y ? 2 ? 0 ?


2 a2 ? 1

? 1 ? a2 ? 3 ? ? 3 ? a ? 3 ,……………………………………………………………13 分

故 a 的取值范围是- 3 ? a ? 3 ……………………………………………………………………………14 分 19. 解: (Ⅰ)? 当 a ? 1 时 f ( x) ? x ? ln x ,定义域为

? 0, e?

高三阶段考试理科数学参考答案第 2 页(共 4 页)

1 x ?1 ? ……………………………………………………………………………………1 分 x x 当 0 ? x ? 1 时, f / ( x) ? 0 ,当 1 ? x ? e 时, f / ( x) ? 0 ,……………………………………………2 分 f ?( x) ? 1 ?
∴函数 f ( x ) 在 ? 0,1? 上单调递减;函数 f ( x ) 在 ? 0, e ? 上单调递增;…………………………………3 分 ∴ f ( x ) 的极小值为 f (1) ? 1 ………………………………………………………………………………4 分 (Ⅱ)? 当 a ? 1 时,由(Ⅰ)知 f ( x ) 的极小值为 1,即 f ( x ) 在 (0, e] 上的最小值为 1, ∴ f ( x) ? 0 , f ( x)min ? 1…………………………………………………………………………………5 分

1 ? ln x 1 ln x 1 ? ? , h '( x)= ,……………………………………………………6 分 2 x 2 x2 当 0 ? x ? e 时, h ?( x) ? 0 , h( x) 在 (0, e] 上单调递增 ………………………………………………7 分 1 1 1 1 ∴ h( x) max ? h(e) ? ? ? ? ? 1 ?| f ( x) | min = f (1) …………………………………………8 分 e 2 2 2 1 ∴ f ( x ) ? g ( x ) ? …………………………………………………………………………………………9 分 2 1 ax ? 1 / (Ⅲ)假设存在实数 a ,使 f ( x) ? ax ? ln x ( x ? (0, e] )有最小值 3,则 f ( x ) ? a ? ? 10 分 x x . 4 ① 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? (不合题意,舍去) , e 所以,此时 f ( x) 无最小值 3. …………………………………………………………………………11 分
令 h( x ) ? g ( x ) ?

1 1 1 1 ? e 时,即 a ? 时, f ( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增 a a a e 1 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e 2 ,满足条件. ………………………………………………12 分 a 1 1 4 ③ 当 ? e 时,即 0 ? a ? 时, f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 ,得 a ? (不 a e e
②当 0 ? 合题意,舍去) ,所以,此时 f ( x) 无最小值 3……………………………………………………………13 分
2 综上所述,存在实数 a ? e ,使得当 x ? (0, e] 时 f ( x ) 有最小值 3. ……………………………………14 分

20.解(I)函数 f ( x)的定义域为 (?

1 1 1 1 ,?? ). f ( x) ? ln( 2 x ? 1) ? mx ( x ? ? ), f ?( x) ? ? m. 1 分 2 2 2 1 ? 2x

? 2 x ? 1 ? 0,?当m ? 0时, f ?( x) ? 0. 函数 f ( x ) 在定义域上单调递增 …………………………2 分
当 m ? 0时, 令f ?( x) ? 0, 解得 x ?

x
f ?( x) f ( x)

1? m 1 ? ? . 将 x, f ? ( x ) , f ( x 取值情况列表如下: ) 2m 2 1 1? m 1? m 1? m (? , ) ( ,?? ) 2 2m 2m 2m
+ 单调递增 0 极大值

?
单调递减

…………………………………………………………………………………………………………3 分
高三阶段考试理科数学参考答案第 3 页(共 4 页)

当 m ? 0时, f ( x)的增区间是 ( ?

1 1? m 1? m , ), 减区间是 ( ,?? ). ………………………………4 分 2 2m 2m

(II)若函数 2 f ( x) ? m ? 1恒成立, 只需2 f ( x)的最大值小于等于 m ? 1. 当 m ? 0时,2 f ( x) ? ln(2 x ? 1) ? 2mx,当 x ? ??时,2 f ( x) ? ?? ,故不成立…………………5 分

1? m ) ,且是极大值,同时也是最大值。 2m 1? m 1 1 ) ? ln ? (1 ? m) ? m ? 1, 解得 m ? 2 . ……………………………………7 分 从而 2 f ( x) ? 2 f ( 2m m e
当 m ? 0时, 由(I)知 f ( x)有唯一的极值 f ( 故函数 2 f ( x) ? m ? 1恒成立时, m的取值范围是 ?

?1 ? ,?? ?. ………………………………………8 分 2 ?e ?

(III)由(II)过程中,当 m ? 1 时, f ( x)取得最大值 f (0) ? 0, 所以 ln 论: ln

1 ? 2 x ? x ? 0 ,得到一个结

1 ? 2 x ? x 对 x ? ? , ? 恒成立,当且仅当 x ? 0 时等号成立………………………9 分
2

? ?
1

当m

? ?1时 f ( x) ? ln 2 x ? 1 ? x( x ? ? ). 当 0 ? b ? a ? 1时 a ? b ? 0 ,
2
2b ? 1 2a ? 1

1

f (b) ? f (a ) ? (ln 2b ? 1 ? b) ? (ln 2a ? 1 ? a ) ? ln

? (b ? a) ? ln 1 ? 2 ?

b?a 2a ? 1

? (b ? a)

b?a 2a ? 1

??

1 b?a 且 ? 0 ,由结论 ln 1 ? 2 x ? x 对 x ? 2 2a ? 1
1? 2 ?
2a ? 2 2a ? 1
b?a 2a ? 1

? ?
? 1 2

, ? 恒成立,当且仅当 x

? 0时

等号成立,知 ln

? 2?

b?a 2a ? 1

? f (b) ? f (a) ?

b?a 2a ? 1

? (b ? a) ? (b ? a) ?

2a ? 2 2a ? 1

?

f (a) ? f (b) a ?b

?

………………………………………………………………………………11 分

同理可以证得:

f ( a ) ? f (b ) a?b

?

2b ? 2 2b ? 1

………………………………………………………………12 分

0 ? b ? a ? 1?
f (a) ? f (b) a ?b
所以不等式

f (a) ? f (b) a ?b ? 1?
1 2b ? 1

?

2a ? 2 2a ? 1

? 1?

1 4 ? 1? ? 2a ? 1 3 3
1

?

2b ? 2 2b ? 1

? 1 ? 1 ? 2 …………………………………………………………13 分

4 3

?

f ( a) ? f (b) a?b

? 2 成立. ……………………………………………………………14 分

注:还可利用第一问中结论,令 m=1 和 1/3 即可证明,也可构造函数,证明单调性来证明。
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