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第5题


No.5

求不定方程组 x3 ? y3 ? z 3 ? x ? y ? z ? 3 的所有整数解.

讲解:第一步,此类题目常用方法是找出某个取值范围,然后枚举法; 第二步,由于轮换对称式即 x 换成 y , y 换成 z , z 换成 x ,式子不变; 可考虑用 x 表示其余两个,其中尽可能出现分式,进而约数分析; 第三步,具体操作:由于 y3 ? z 3 ? ( y ? z )3 ? 3 yz ( y ? z ) ; 所以 3 ? x3 ? (3 ? x)3 ? 3 yz(3 ? x) ,即 yz ? 3(3 ? x) ? 第四步,约数分析:由于 x, y, z 都是整数,因而

8 ?9; 3? x

8 也是整数; 3? x

于是 3 ? x 是 8 的约数即 3 ? x | 8 ; (这里记号 3 ? x | 8 ,表示 3 ? x 整除 8) 第五步,考虑对称性:由于 (3 ? x) ? (3 ? y) ? (3 ? z ) ? 6 ; 所以 3 ? x 、 3 ? y 、 3 ? z 中至少有一个不小于 2;可让 3 ? x ? 2 ; 于是有 3 ? x ? 2, 4, 8 ; 第六步,分类讨论:①当 3 ? x ? 2 时, x ? 1 ,此时 y ? z ? 2 且 yz ? 1 ;从而 y ? z ? 1 ; ②当 3 ? x ? 4 时, x ? ?1,此时 y ? z ? 4 且 yz ? 5 ;无整数解; ③当 3 ? x ? 8 时, x ? ?5 ,此时 y ? z ? 8 且 yz ? 16 ;从而 y ? z ? 4 ; 第七步,考虑对称性,写出结果;由于 x, y, z 是轮换对称,分别交换可知有四组解:
( x, y, z ) ? (1,1,1) ? (?5, 4, 4) ? (4, ?5, 4) ? (4, 4, ?5) .

点评:本题要知三点:①轮换对称式的处理方法;②约数分析法;③对称式的结果依然对称. 解答:∵ y3 ? z 3 ? ( y ? z )3 ? 3 yz ( y ? z ) ; ∴ 3 ? x3 ? (3 ? x)3 ? 3 yz(3 ? x) ,即 yz ? 3(3 ? x) ? ∵ x, y, z 都是整数,∴

8 ?9; 3? x

8 也是整数;∴ 3 ? x | 8 ; 3? x

∵ (3 ? x) ? (3 ? y) ? (3 ? z ) ? 6 ;∴ 3 ? x 、 3 ? y 、 3 ? z 中至少有一个不小于 2; 令 3 ? x ? 2 ;于是有 3 ? x ? 2, 4, 8 ; ①当 3 ? x ? 2 时, x ? 1 ,此时 y ? z ? 2 且 yz ? 1 ;从而 y ? z ? 1 ; ②当 3 ? x ? 4 时, x ? ?1,此时 y ? z ? 4 且 yz ? 5 ;无整数解; ③当 3 ? x ? 8 时, x ? ?5 ,此时 y ? z ? 8 且 yz ? 16 ;从而 y ? z ? 4 ; 由于 x, y, z 是轮换对称,分别交换可知有四组解:
( x, y, z ) ? (1,1,1) ? (?5, 4, 4) ? (4, ?5, 4) ? (4, 4, ?5) .


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