当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

第5题


No.5

求不定方程组 x3 ? y3 ? z 3 ? x ? y ? z ? 3 的所有整数解.

讲解:第一步,此类题目常用方法是找出某个取值范围,然后枚举法; 第二步,由于轮换对称式即 x 换成 y , y 换成 z , z 换成 x ,式子不变; 可考虑用 x 表示其余两个,其中尽可能出现分式,进而约数分析; 第三步,具体操作:由

于 y3 ? z 3 ? ( y ? z )3 ? 3 yz ( y ? z ) ; 所以 3 ? x3 ? (3 ? x)3 ? 3 yz(3 ? x) ,即 yz ? 3(3 ? x) ? 第四步,约数分析:由于 x, y, z 都是整数,因而

8 ?9; 3? x

8 也是整数; 3? x

于是 3 ? x 是 8 的约数即 3 ? x | 8 ; (这里记号 3 ? x | 8 ,表示 3 ? x 整除 8) 第五步,考虑对称性:由于 (3 ? x) ? (3 ? y) ? (3 ? z ) ? 6 ; 所以 3 ? x 、 3 ? y 、 3 ? z 中至少有一个不小于 2;可让 3 ? x ? 2 ; 于是有 3 ? x ? 2, 4, 8 ; 第六步,分类讨论:①当 3 ? x ? 2 时, x ? 1 ,此时 y ? z ? 2 且 yz ? 1 ;从而 y ? z ? 1 ; ②当 3 ? x ? 4 时, x ? ?1,此时 y ? z ? 4 且 yz ? 5 ;无整数解; ③当 3 ? x ? 8 时, x ? ?5 ,此时 y ? z ? 8 且 yz ? 16 ;从而 y ? z ? 4 ; 第七步,考虑对称性,写出结果;由于 x, y, z 是轮换对称,分别交换可知有四组解:
( x, y, z ) ? (1,1,1) ? (?5, 4, 4) ? (4, ?5, 4) ? (4, 4, ?5) .

点评:本题要知三点:①轮换对称式的处理方法;②约数分析法;③对称式的结果依然对称. 解答:∵ y3 ? z 3 ? ( y ? z )3 ? 3 yz ( y ? z ) ; ∴ 3 ? x3 ? (3 ? x)3 ? 3 yz(3 ? x) ,即 yz ? 3(3 ? x) ? ∵ x, y, z 都是整数,∴

8 ?9; 3? x

8 也是整数;∴ 3 ? x | 8 ; 3? x

∵ (3 ? x) ? (3 ? y) ? (3 ? z ) ? 6 ;∴ 3 ? x 、 3 ? y 、 3 ? z 中至少有一个不小于 2; 令 3 ? x ? 2 ;于是有 3 ? x ? 2, 4, 8 ; ①当 3 ? x ? 2 时, x ? 1 ,此时 y ? z ? 2 且 yz ? 1 ;从而 y ? z ? 1 ; ②当 3 ? x ? 4 时, x ? ?1,此时 y ? z ? 4 且 yz ? 5 ;无整数解; ③当 3 ? x ? 8 时, x ? ?5 ,此时 y ? z ? 8 且 yz ? 16 ;从而 y ? z ? 4 ; 由于 x, y, z 是轮换对称,分别交换可知有四组解:
( x, y, z ) ? (1,1,1) ? (?5, 4, 4) ? (4, ?5, 4) ? (4, 4, ?5) .


相关文章:
第5题
第5题_理化生_高中教育_教育专区。5、已知正常人乙酰胆碱酯酶活力的平均数为 1.44U,现测得 13 名慢性支气管炎患者的乙酰 胆碱酯酶活力为:1.50,2.19,2.32,2....
第5题
第5题_交规考试_资格考试/认证_教育专区。第 5 题:2.4.2.7 图中警察手势为减速慢行信号。 答案:错第 12 题:5.6.2.3 车辆撞击无法避免时,驾驶人应当尽力...
现代管理学P134练习第5题,请用决策树方法进行决策
现代管理学P134练习第5题,请用决策树方法进行决策_管理学_高等教育_教育专区。上海交通大学网络教育,现代管理学第二次作业,1.P134练习第5题,请用决策树方法进行...
第5题 阅读下图
第5题 阅读下图_中考_初中教育_教育专区。第 5 题 阅读下图,回答问题 (1)据图,说说唐玄奘西天取经的回程路线。 (2)唐僧玄奘取经的“西天”指哪里?玄奘求取...
第5题
第5题 隐藏>> No.5 求不定方程组 x3 ? y3 ? z 3 ? x ? y ? z ? 3 的所有整数解. 讲解:第一步,此类题目常用方法是找出某个取值范围,然后枚举法...
第5题
第5题_自然科学_专业资料。自然科学的练习题。第1 题: 礼宾次序亦称礼宾序列。它主要适用于在多边性商务交往中如何同时兼顾( 尊卑 有序 )平等待人这两项基本礼...
1.5 第5题解答
1.5 第 5 题解答 1 打开文件 第 1 步:打开文件 C:\2003PS7\Yps1-05.tif,选择魔棒工具,改变容差值为 40,在“消除锯 齿”前打钩,点击图像以外的区域,按...
第5题
第​5​题 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档5.报告期居民可支配收入 6800 亿元,当期消费支出 4950 亿元,实物投资支出 800 亿元,银行 存款 860 亿元,购买...
第5题
第​5​题 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 S​P​S​S统计量 gpa N 有效 缺失 百分位数 25 50 75 50 0 3.3475 3.5500 3.7100 areagpa...
2011年高考物理江苏卷第5题的解析
2​0​1​1​年​高​考​物​理​江​苏​卷​第​5​题​的​解​析 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 本​文​从...
更多相关标签:
托福口语第5题 | 高考便携背题本第5版 | 朗读者第5期主题 | 剑桥bec真题集第5辑 | 材料力学第5版思考题 | 2017信息技术第5题 | 赛尔号第5季主题曲 | 中考便携背题本第5版 |