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2012年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷2


2012 年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高二试卷
考生注意事项: 1 本卷共有 17 道题目,全卷满分 100 分,考试时间 120 分钟. 2 答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3 本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4 本卷解答一律不准使用计算器. 一、 选择题(本大题共 8 小题, 每小

题 4 分, 满分 32 分, 每小题有且仅有一个正确的答案)
1、已知 x ? R, y ? R ? ,集合 A ? {x ? x ? 1,? x,? x ? 1}, B ? {? y,?
2

y , y ? 1} ,若 A=B,则 2

x 2 ? y 2 的值是(
A. 5 2、命题 P: ? ? B. 4

) C. 25 D. 10

?
6

, 命题 q: sin ? ?

1 ,则 p 是 q 的( 2

) D. 既不充分又不必要条件

A. 充分且必要条件

B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 A B

AB 3、 如图, 四边形 ABCD 中, ? AD ? CD ? 1 ,

A?

BD ? 2 , BD ? CD .将四边形 ABCD 沿
对角线 BD 折成四面体 A? ? BCD ,使平面 D C B. ?BA?C ? 90
?

B C

D

A?BD ? 平面 BCD ,则下列结论正确的是
( ) A. A?C ? BD
? C. CA? 与平面 A?BD 所成的角为 30

D. 四面体 A? ? BCD 的体积为

4、多面体 ABCD ? A B1C1D1 的直观图,正视图,俯视图,侧视图如下所示. 1

1 3

C1 D1 A1 B1
a 2

a
a

D A B

a

C a
正视图 图 ) B.

2 a 2 2 俯视图

a
侧视图

直观图 则此多面体的体积是( A.

11 3 a 12

1 3 a 2

C.

3 3 a 4

D.

5 3 a 6

1

5、 f ? x ? ? 设

1? x , 又记 f1 ? x ? ? f ? x ? , fk ?1 ? x ? ? f ? f k ? x ?? , k ? 1,2,?, 则 f2012 ? x ? ? ( 1? x 1? x x ?1 1 A. B. C. x D. ? 1? x x ?1 x
2 2



6、 设点 A(1, 0) ,B(2,1) , 如果直线 ax ? by ? 1 与线段 AB 有一个公共点, 那么 a ? b 有 (



A. 最小值为

1 5

B. 最小值为

5 5

C. 最大值为

1 5

D. 最大值为

5 5


7、已知函数 f ( x) ? ? A. 1

x ? 0, ? x ? 1, 则函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的零点个数是( ?log 2 x , x ? 0,
B. 2
2 2

C. 3

D. 4 )

8、 a, b, c 为互不相等的正数, a ? c ? 2bc ,则下列关系中可能成立的是( A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. b ? a ? c D. a ? c ? b

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,满分 36 分.)
9 、 已 知 点 P(2, t ) 在 不 等 式 组 ?

? x ? y ? 4 ? 0, 表 示 的 平 面 区 域 内 , 则 点 P(2, t ) 到 直 线 ?x ? y ? 3 ? 0
D F E . A B C

3x ? 4 y ? 10 ? 0 距离的最大值为____________.
10、如图,在边长为 1 的正方形 ABCD 中, E 为 BC 的中点,若 F 为

??? ??? ? ? 正方形内 (含边界) 任意一点, AE ? AF 的最大值为 则

11、已知长方体的三条面对角线的长分别为 5,4,x,则 x 的取值范围 为 .

12、在平面直角坐标系中,定义 d (P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 为两点 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 之间 的“折线距离”. 则圆 x ? y ? 1上一点与直线 2x ? y ? 2 5 ? 0 上一点的“折线距离”的
2 2

最小值是____________________. 13、对任意 x ? R ,函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? 数列 {an } 的前 15 项的和为 ?

f ( x) ? [ f ( x)]2 ?


1 ,设 an ? [ f (n)]2 ? f (n) , 2

31 ,则 f (15) ? 16

14、 f ( x ) 是定义在R上的奇函数, 设 且满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ; 又当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? 则 ? x f ( x) ? ? ? =

1 x, 2

? ?

1? 2?



2

2012 年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高二答题卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题有且仅有一个正确的答案)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,满分 36 分. 请将正确的答案填在横线上)
9.________________________ 11._______________________ 13._______________________ 10._____________________________ 12._____________________________ 14._____________________________

三、 解答题(本大题共 3 小题,第 15、16 题各 10 分,第 17 题 12 分,满分 32 分.要求写出 必要的解答过程)
15、 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a cos C ? (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的周长 l 的取值范围.

1 c ? b. 2

3

16、设函数 f(x)定义在 R 上,对于任意实数 m、n,恒有 fm ( ?? · n fm ( ,且当 x>0 ) () fn ) 时,0<f(x)<1. (1)求证:f(0)=1,且当 x<0 时,f(x)>1; (2)设集合 A,|( ·(, ? )xf )f) ( f )( ? x y y 1
2 2

?

?

B y x 2 a ,若 A B?? ?)a?, ∩ ( f ? 1R x , ) ,求 a 的取值范围。 ?|( y ?? ?

4

17、定义:对于任意 n ? N ,满足条件
*

an ? an ? 2 ? an ?1 且 an ? M ( M 是与 n 无关的常数)的 2

无穷数列 ?an ? 称为 T 数列. (1)若 an ? ?n ? 9n ( n ? N ),证明:数列 ?an ? 是 T 数列;
2
*

?3? (2)设数列 ?bn ? 的通项为 bn ? 50n ? ? ? ,且数列 ?bn ? 是 T 数列,求常数 M 的取值范围; ?2?
(3)设数列 cn ?

n

p ? 1 ( n ? N* , p ? 1 ),问数列 ?cn ? 是否是 T 数列?请说明理由. n

5


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