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江苏省扬州中学2013届高三下学期期中考试 数学


江苏省扬州中学 2012-2013 高三第二学期期中测试

数学Ⅰ
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:

2013.4

1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题) .本卷满分为 160 分. 考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请您

务必将自己的姓名、班级用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题纸 的规定位置. 3.作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题纸的指定位置作答,在其它 位置作答一律无效. 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 参考公式: 球的体积 V ?
4 3

? R ,其中 R 为球的半径.
3

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.把答案填写在答题纸相应位置上. ........ 1.设集合 U ? {1, 2 ,3 , 4 ,5 , 6} , M ? {1, 2 , 4 } ,则 C U M ? 2.记 (1 ? 2 i ) ? a ? bi ( a , b ? R ) ,则点 P ( a , b ) 位于第
2





▲ 象限.

3.有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下: 分组 频数 [1.5,3.5) 6 [3.5,5.5) 14 [5.5,7.5) 16 [7.5,9.5) 20 ▲ . ▲ . [9.5,11.5) 10

根据样本的频率分布估计,数据落在[5.5,9.5)的概率约是

? ? ? ? 4.已知向量 a ? (co s ? , sin ? ) ,向量 b ? ( 3 ,1) ,则 2 a ? b 的最大值为

5.设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列正确命题的序号 是



m n , ? ? , 则n ? ? ; m , // ?
2 2

①.若m //

②.若 m // ④.若n

m n , // ? , 则n // ? ;

③. 若m // ?

则 , ? // ? ;
2 2

n 则 ? ? , ? ? ,? ? ? . 开始

6.已知双曲线

x a

?

y b

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的一条渐近线的斜率为

2 ,且右焦点与抛物线 y ? 4 3 x
2

x←1, y←1 z←x + y
z ? 20


的焦点重合,则该双曲线的方程为




·1·

否 输出
y x

x←y

7.设等比数列 { a n } 的各项均为正数,其前 n 项和为 S n . 若 a 1 ? 1 , a 3 ? 4 , S k ? 6 3 ,则 k ? ___▲___.
? x ? y ? ?1 ? ? 8.若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函 ? ?3 x ? y ? 3 ?

数 z ? 2 x ? 3 y 的最小值是___▲___. 9.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的 结果为 ▲ .
1 2 ? cos ? ,且 ? ? ( 0 ,

10.已知 sin ? ?

?
2

) ,则

cos 2 ? sin( ? ?

?
4

的值为____▲____.
)

11.已知函数 f ( x ) ? ? 值范围是 ▲

? ? x ? a x , x ? 1,
2

? a x ? 1,

x ? 1,

若 ? x1 , x 2 ? R , x1 ? x 2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立,则实数 a 的取



12.四棱锥 P ? ABCD 的五个顶点都在一个球面上,且底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,
PA ? ABCD , PA ?

2 ,则该球的体积为





13.在 ? ABC 中,已知 AB ? AC ? 9 , sin B ? cos A ? sin C , S ? ABC ? 6 , P 为线段 AB 上的点, 且 CP ? x ?
CA | CA | ? y? CB | CB |
b x ? a

,则 xy 的最大值为 ▲ .

14.我们把形如 y ?

?a

? 0 , b ? 0 ? 的函数称为“莫言函数” ,并把其与 y 轴的交点关于原点的

对称点称为“莫言点” ,以“莫言点”为圆心凡是与“莫言函数”图象有公共点的圆,皆称之为“莫 言圆” .当 a ? 1 , b ? 1 时,在所有的“莫言圆”中,面积的最小值 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 ....... 过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 函数 f ( x ) ? 6 cos
2

?x
2

?

3 sin ? x ? 3 ( ? ? 0 ) 在一个周期内的图象如图所示, A 为

图象的最高点, B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ? A B C 为正三角形.
·2·

(Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的值域; (Ⅱ)若 f ( x 0 ) ?
8 3 5

,且 x 0 ? ( ?

10 2 , ) ,求 f ( x 0 ? 1) 的值. 3 3

16. (本小题满分 14 分)
AB ? BB 1 ? 直三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 中, 1 2 BC ? a , ABC ? 90 ? , 、 分别为 A 1 C 1 、 1 C 1 B ? N F

的中点. (Ⅰ)求证: CF ? 平面 NFB ; (Ⅱ)求四面体 F ? BCN 的体积.

17. (本小题满分14分) 提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.一般情况下,大桥上的车流 速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当车流密度不超过50辆/千米时,车流 速度为30千米/小时. 研究表明: 当50<x≤200时, 车流速度v与车流密度x满足 v ( x ) ? 40 ? 桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时. (Ⅰ)当0<x≤200时,求函数v(x)的表达式; (Ⅱ)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数,单位: 辆/小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到个位,参考数据 5 ? 2 . 236 )
k 250 ? x

. 当

18. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 C 1 :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 过点 ( 2 ,

3 ) ,且它的离心率 e ?

1 2

.直线

l : y ? kx ? t 与椭圆 C 1 交于 M 、 N 两点.

y (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)当 k ?
3 2

N

时,求证: M 、 N 两点的横 O
2 2

坐标的平方和为定值; (Ⅲ)若直线 l 与圆 C 2 : ( x ? 1) ? y
? 1 相切,椭

x

M

圆上一点 P 满足 OM ? ON ? ? OP ,求实数 ? 的取值范围.

·3·

19. (本小题满分 16 分) 设各项均为正实数的数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且满足 4 S n ? ( a n ? 1) ( n ? N ) .
2
*

(Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 { b n } 的通项公式为 b n ? 数列,求 t 和 m 的值; (Ⅲ) 证明: 存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形, 其三边长为数列 { a n } 中的三项 a n ,
1

an an ? t

(t ? N * ) ,若 b 1 , b 2 , b m ( m ? 3 , m ? N * )成等差

an ,an . 2 3

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? e
? x ? (1 ? ? ) a

? ? e ,其中 a, ? 是常数,且 0 ? ? ? 1 .
x

(I)求函数 f ( x) 的极值;
e ?1
x

(II)对任意给定的正实数 a ,是否存在正数 x ,使不等式 不存在,说明理由;

? 1 ? a 成立?若存在,求出 x ,若

x

? ? (III)设 ? 1 , ? 2 ? ( 0 , ?? ) ,且 ?1 ? ?2 ? 1 ,证明:对任意正数 a1 , a 2 都有: a1 a2 ? ?1a1 ? ? 2 a2
1 2



高三数学测试答题纸
?不?????要?????答?????题?????? 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1. 6. 11. 2. 7. 12. 3. 8. 13. 4. 9. 14. 成绩 5. 10.

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分) 15.解:

姓名_____________

·4·

16.解:

17.解:

18.解:

·5·

19.解:

(20 题做在反面)

数学Ⅱ(附加题)
21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作 ................... 答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .. A.[选修 4 - 1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,在梯形 A B C D 中, A D ∥BC,点 E , F 分别在
CD

A G E

D

边 AB , 点 共

上,设 E D 与 A F 相交于点 G ,若 B , C , F , E 四
? DG ? GE

圆,求证: A G ? G F



F

B

C

(第 21—A 题图) B.[选修 4 - 2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) 已知矩阵 M ??
?1 ?c b? ? 2? ? 有 特 征 值 ?1 ? 4 及 对 应 的 一 个 特 征 向 量 e1 ? ? ? , 求 曲 线 2? ?3 ?

·6·

5 x ? 8 xy ? 4 y
2

2

? 1 在 M 的作用下的新曲线方程.

C.[选修 4 - 4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
? ? x ? ? 在直角坐标系 xo y 中,直线 l 的参数方程为 ? ?y ? ? ? 1 2 2 2 ? 3 2
? 2 c o s (? ?

t

( t 为参数) ,若以直角坐标系 x O y 的 O 点
t

为极点,O x 为极轴, 且长度单位相同, 建立极坐标系, 得曲线 C 的极坐标方程为 ? 线 l 与曲线 C 交于 A , B 两点,求 A B .

?
4

)

. 直

D.[选修 4 - 5:不等式选讲](本小题满分 10 分)
2 设 f ( x ) ? x ? x ? 1 3 ,实数 a 满足 x ? a ? 1 ,求证: f ( x ) ? f ( a ) ? 2 ( a ? 1) .

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说 ........ 明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 在某社区举办的《有奖知识问答比赛》中,甲、乙、丙三人同时回答某一道题,已知甲回答对 这道题的概率是
3 4

,甲、丙二人都回答错的概率是

1 12

,乙、丙二人都回答对的概率是

1 4



(Ⅰ)求乙、丙二人各自回答对这道题的概率; (Ⅱ)设乙、丙二人中回答对该题的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望.

23. (本小题满分 10 分) 已知数集 A ? { a 1 , a 2 ,? ? ?, a n } , 其中 0 ? a 1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n , n ? 3 , 且 若对 ? i, j( 1 ? i ? j ? n ) ,
a j ? a i 与 a j ? a i 两数中至少有一个属于 A ,则称数集 A 具有性质 P .

(Ⅰ)分别判断数集 { 0 ,1, 3} 与数集 { 0 , 2 , 4 , 6} 是否具有性质 P ,说明理由;
·7·

(Ⅱ)已知数集 A ? ?a 1 , a 2 , ? , a 8 ? 具有性质 P ,判断数列 a 1 , a 2 , ? , a 8 是否为等差数列,若是等差 数列,请证明;若不是,请说明理由.

??封?????线?????内?????不?????要?????答?????题??????

数学Ⅱ(附加题)
A.[选修 4 - 1:几何证明选讲] 解:

A G E

D

F

B

C

(第 21—A 题图) B.[选修 4 - 2:矩阵与变换] 解:

班级___________

姓名_____________

C.[选修 4 - 4:坐标系与参数方程] 解:

学号_____

·8·

_

D.[选修 4 - 5:不等式选讲] 解:

22.解:

23.解:

高三数学期中测试参考答案
{ 1. 3 , 5 , 6 }

2. 二

3.

6

4. 4

5. ①

x 6. ?
2

y

2

?1

7. 6

8. 2

11

2

·9·

9. 1 3
8

10. ?

14 2

11. a < 2
2

12.

4? 3

13.3

14. 3 ?

15.(Ⅰ)由已知可得: f ( x ) ? 6 c o s

?x
2

?

3 c o s ? x ? 3( ? ? 0 )

=3cosω x+ 3 sin ? x ? 2 3 sin( ? x ?

?
3

)

又由于正三角形 ABC 的高为 2 3 ,则 BC=4 所以,函数 f ( x )的周期 T ? 4 ? 2 ? 8,即 所以,函数 f ( x )的值域为 [ ? 2 3 , 2 3 ]
8 3 5

2?

?

? 8,得 ? ?

?
4

????????????????7 分

(Ⅱ)因为 f ( x 0 ) ?

,由 (Ⅰ)有

f ( x 0 ) ? 2 3 sin (

?x0
4

?

?
3

) ?

8 3 5

, 即 sin (

?x0
4

?

?
3

) ?

4 5

由 x0 ? ? (

10

?x 0 2 ? ? ? , ),得 ( ? ) ? (? , ) 3 3 4 3 2 2

所以, 即 cos (

?x0
4

?

?
3

) ?

4 2 3 1? ( ) ? 5 5

故 f ( x 0 ? 1) ? 2 3 sin (
?x 0
4 ? 2 3( 4 5
7 5 6

?x0
4

?

?
4

?

?
3

) ? 2 3 sin[ (

?x0
4

?

?
3

)?

?
4

]

? 2 3 [sin ( ?

? ?

?
3 3 5

) cos ? 2 2

?
4 )

? cos(

?x 0
4

?

?
3

) sin

?
4

2 2

?



????????????????14 分

16.(Ⅰ)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, B1B⊥AB, BC⊥AB,又 B1B ? BC=B, ∴AB⊥平面 BB1C1C. 又N、 F分别为 A1 C1、B1 C1 的中点 ∴AB∥A1B1∥NF. ∴NF⊥平面 BB1C1C. [来源:Zxxk.Com]
·10·

因为 FC ? 平面 BB1C1C.所以 NF⊥FC . 取 BC 中点 G,有 BG=GF=GC.∴BF⊥FC ,又 NF ? FB=F, ∴FC⊥平面 NFB. ·························7 分 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ··· (Ⅱ)由(Ⅰ)知,
NF ? 平面BCC1 B1 , NF ?

1 2

A1 B1 ?

1 2

a

, [来源:学科网]

V F ? BCN ? V N ? BCF ? ? 1 6 ? 2a ? a ? 1 2 a ? 1 6

1 3

S ? BCF ? NF ?
3

1 1 ? ? BC ? BB 1 ? NF 3 2

a .

????????????????14 分

17.解:(1) 由题意:当0<x≤50时,v(x)=30; 当50≤x≤200时,由于 v ( x ) ? 40 ?
k 250 ? k



再由已知可知,当x=200时,v(0)=0,代入解得k=2000.
0 ? x ? 50 ? 30 , ? 故函数v(x)的表达式为 v ( x ) ? ? .??????6分 2000 , 50 ? x ? 200 ? 40 ? 250 ? x ? 0 ? x ? 50 ? 30 x , ? (2) 依题意并由(1)可得 f ( x ) ? ? , 2000 x 40 x ? , 50 ? x ? 200 ? 250 ? x ?

当0≤x≤50时,f(x)=30x,当x=50时取最大值1500.
f ( x) ? 40 x ?
2000 x 250 ? x ? ?40(250 ? x) ? 40 ? 250 ? 500000 250 ? x

当50<x≤200时,
250 ? x 500000 250 ? x

2000(250 ? x) ? 2000 ? 250

? 12000 ? [40(250 ? x) ? ? 12000 ? 4000

] ? 12000 ? 2

40(250 ? x) ?

5 ? 1 2 0 0 0 ? 4 0 0 0 ? 2 .2 3 6 ? 3 0 5 6

取等号当且仅当 40 ( 250 ? x ) ?

500000 250 ? x

,即 x ? 2 5 0 ? 5 0 5 ? 1 3 8 时,f(x)取最大值.

(这里也可利用求导来求最大值) 综上,当车流密度为138 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3056辆/小时. ????????????????14 分 18.解:(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0)

·11·

3 ? 4 ? 2 ?1 ? 2 a b ? ?a 2 ? 8 1 ? ?c 由已知得: ? ? ,解得 ? 2 2 ?b ? 6 ? ?a 2 2 2 ?c ? a ? b ? ?
x
2

所以椭圆的标准方程为:
? ?y ? ? (Ⅱ) 由 ? 2 ?x ? ? 8 ?
2 2

?

y

2

?1

????????????4 分

8

6

3 2 y
2

x?t

,得 6 x ? 4 3 tx ? 4 t ? 24 ? 0 ,设 M ( x 1 , y 1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ,
2 2

?1

6
4 3t 6
2 2

则 x1 ? x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 ? ( ?
2

) ?2?
2

4t

2

? 24 6

? 8 ,为定值.????9 分

(Ⅲ)因为直线 l : y ? kx ? t 与圆 ( x ? 1) ? y ? 1 相切
|t ? k | 1? k
2

所以,

? 1 ? 2k ?

1? t t

2

(t ? 0 )

把 y ? kx ? t 代入

x

2

?

y

2

? 1 并整理得: ( 3 ? 4 k ) x
2

2

? 8 ktx ? 4 t

2

? 24 ? 0

8

6
x1 ? x 2 ? ? 8 kt 3 ? 4k 6t 3 ? 4k
2 2

设 M ( x 1 , y 1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ,则有

y 1 ? y 2 ? kx 1 ? t ? kx 2 ? t ? k ( x 1 ? x 2 ) ? 2 t ?

因为, ? OP ? ( x 1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) , 所以, P ? ?
8k t
2 2 2 2 2

?

? 8 kt
2

? (3 ? 4 k ) ?
6t
2 2 2 2

,

? ? ? (3 ? 4 k ) ? ? 6t
2

又因为点 P 在椭圆上, 所以,

(3 ? 4 k ) ?

?

(3 ? 4 k ) ?

?1

? ?

2

?

2t

2 2

3 ? 4k

? (

2 1 t
2

) ?
2

1 t
2


?1

2 因为 t ? 0

所以 (

1 t
2

) ?(
2

1 t
2

)?1?1,

所以

0 ? ?

2

? 2 ,所以 ? 的取值范围为 ( ?

2 ,0 ) ? ( 0 ,
·12·

2).

??????????16 分

19,解: (Ⅰ)由题意, 4 S n ? ( a n ? 1) ①,当 n ? 2 时,有 4 S n ?1 ? ( a n ?1 ? 1) ②,
2 2

②-①,得 ( a n ? a n ?1 )( a n ? a n ?1 ? 2 ) ? 0 ,? { a n } 各项为正,? a n ? a n ? 1 ? 0 , 从而 a n ? a n ? 1 ? 2 ,故 { a n } 成公差 2 的等差数列.又 n ? 1 时, 4 a 1 ? ( a 1 ? 1) ,解得 a 1 ? 1 .故
2

an ? 2n ? 1 .

????????????????4 分 ,要使 b 1 , b 2 , b m 成等差数列,须 2 b 2 ? b 1 ? b m ,
2m ? 1 2m ? 1 ? t

(Ⅱ) b n ? 即2 ?
3 2?t

2n ? 1 2n ? 1 ? t ? 1 1? t ?

,整理得 m ? 3 ?

4 t ?1

,因为 m ,t 为正整数,t 只能取 2,3,5.故

?t ? 2 ?t ? 3 ?t ? 5 ,? ,? . ? ?m ? 7 ?m ? 5 ?m ? 4

????????????????

10 分
* (Ⅲ)作如下构造: a n ? ( 2 k ? 3 ) , a n ? ( 2 k ? 3 )( 2 k ? 5 ) , a n ? ( 2 k ? 5 ) ,其中 k ? N ,它

2

2

1

2

3

们依次为数列 { a n } 中第 2 k ? 6 k ? 5 项,第 2 k ? 8 k ? 8 项,第 2 k ? 10 k ? 13 ,显然它们成等比
2 2 2

数列,且 a n ? a n ? a n ,所以它们能组成三角形.
1 2 3

由 k ? N 的任意性,知这样的三角形有无穷多个.
*

下面用反证法证明其中任意两个 ? A1 B 1 C 1 和 ? A 2 B 2 C 2 不相似: ? A1 B 1 C 1 ∽ ? A 2 B 2 C 2 , k 1 ? k 2 , 若 且 则
( 2 k 1 ? 3 )( 2 k 1 ? 5 ) ( 2 k 2 ? 3 )( 2 k 2 ? 5 ) ? ( 2 k 1 ? 3) ( 2 k 2 ? 3)
2 2

,整理得

2k1 ? 5 2 k 2 ? 5)

?

2k1 ? 3 2k 2 ? 3

,所以 k 1 ? k 2 ,这与 k 1 ? k 2 矛盾,

因此,任意两个三角形不相似.故原命题正确. 分 20.解:为方便,我们设函数 g ( x) ? e ,于是
x

????????????????16

(1)∵ f ?( x) ? ? g ?[? x ? (1 ? ? )a ] ? ? g ?( x) , 由 f ?( x) ? 0 得, g ?[? x ? (1 ? ? )a ] ? g ?( x) , ∴ ? x ? (1 ? ? )a ? x ,即 (1 ? ? )( x ? a ) ? 0 ,解得 x ? a , 故当 x ? a 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? a 时,
f ?( x ) ? 0 ;∴当 x ? a 时, f ( x ) 取极大值 f ( a ) ? (1 ? ? ) e ,但 f ( x ) 没有极小值.
a

??4 分

·13·

????????????????10 分 (3)对任意正数 a1 , a2 ,存在实数 x1 , x2 使 a1 ? e x , a2 ? e x ,
1 2

? ? 则 a1 a2 ? e? x ? e? x ? e? x ? ? x , ?1a1 ? ?2 a2 ? ?1e x ? ?2 e x ,
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2

原不等式 a1 a2 ? ?1a1 ? ?2 a2 ? e

?1

?2

?1 x1 ? ?2 x2

? ?1e 1 ? ?2 e 2 ,
x x

? g (?1 x1 ? ?2 x2 ) ? ?1 g ( x1 ) ? ?2 g ( x2 )

由(1) f ( x) ? (1 ? ? ) g (a ) 恒成立,故 g[? x ? (1 ? ? )a ] ? ? g ( x) ? (1 ? ? ) g (a ) , 取 x ? x1 , a ? x2 , ? ? ?1 ,1 ? ? ? ?2 ,即得 g (?1 x1 ? ?2 x2 ) ? ?1 g ( x1 ) ? ?2 g ( x2 ) , 即e
?1 x1 ? ?2 x2

? ?1e 1 ? ?2 e
x

x2

,故所证不等式成立.
B,C , F , E

???????????????16 分
?ABC ? ∠ EFD

21 . A 证 明 : 连 结 EF . ∵
?BAD ? ?ABC ?

四点共圆,∴





AD



BC

,∴

180° . 180° ∴ A , D , F , E 四点共圆.∵ E D 交 A F 于点 G,∴ A G ? G F .
? DG ? GE

∴ ?BAD 10 分

? ?EFD ?

.?

21.B 由 ?

?1 ?c ?1 ?3

b ? ?2? ?8 ? ? ? ? ? ? ? ,即 2 ? 3 b ? 8 , 2 c ? 6 ? 12 , b ? 2 , c ? 3 , 2 ? ?3 ? ?12 ? 2? / / / ? .设曲线上任一点 P ( x , y ) , P 在 M 作用下对应点 P ( x , y ) , 2?

所以 M ? ?

·14·

则?

?x ? ?1 ? ? ? / ?y ? ?3 ? ?
/

2 ??x ? ?? ? 2?? y?

/ / ? y ? x x ? ? ?x ? x ? 2 y ? ? 2 ,即 ? / ,解之得 ? , / / ? y ? 3x ? 2 y ? ? y ? 3x ? y ? 4 ?
/

代入 5 x 2 ? 8 xy ? 4 y 2 ? 1 ,得 x

/2

? y

/2

? 2.
2 2

2 2 即曲线 5 x ? 8 xy ? 4 y ? 1 在 M 的作用下的新曲线方程是 x ? y ? 2 .???????10 分

21 . C
2 2 10 2

l

的直角坐标方程为
2 2

y ?

3x ?

2 2

, ?
? ? ? ?

? 2 c o s (? ?

?
4

)

的直角坐标方程为
6 4

(x ?

) ? (y ?
2

) ?1
2

, 所 以 圆 心

? 2 2 , ? ? 2 2 ?

到 直 线 l

的 距 离

d ?



? AB ?

???????10 分
2 2 2

21.D 证: ? f ( x ) ? x ? x ? 13 , ?| f ( x ) ? f ( a ) |? | x ? x ? a ? a |
? x ? a ? x ? a ?1 ? x ? a ?1 ,

又? x ? a ? 1 ? ( x ? a ) ? 2 a ? 1 ? x ? a ? 2 a ? 1 ? 1 ? 2 a ? 1 ? 2 ( a ? 1) .???????10 分
1 ? P ( A ) P (C ) ? , ? 3 ? 12 C 则 22. (Ⅰ) 解: 设甲、 丙回答对这道题分别为事件 A 、B 、 , P ( A ) ? , 乙、 且有 ? 4 ? P ( B ) P (C ) ? 1 , ? 4 ?
3 1 ? (1 ? )[ 1 ? P ( C )] ? ? 3 2 4 12 , ? 即? 解得 P ( B ) ? , P ( C ) ? . 8 3 ? P ( B ) P (C ) ? 1 . ? 4 ?

???????4 分

(Ⅱ)由题意, X ? 0 ,1, 2 . P ( X ? 2 ) ?
P ( X ? 1) ? 1 ? P ( X ? 0 ) ? P ( X ? 2 ) ?

1 4 13 24

, P ( X ? 0 ) ? P ( B ) P (C ) ? .

5 8

?

1 3

?

5 24



所以随机变量 X 的分布列为
5 24 13 24 1 4 25 24

E(X ) ? 0 ?

? 1?

? 2?

?



???????10 分

23.解: (Ⅰ)由于 3 ? 1 和 3 ? 1 都不属于集合 ?0 ,1, 3? ,所以该集合不具有性质 P ;
·15·

由于 2 ? 0 、4 ? 0 、6 ? 0 、4 ? 2 、6 ? 2 、6 ? 4 、0 ? 0 、2 ? 2 、4 ? 4 、6 ? 6 都属于集合 ?0 , 2 , 4 , 6 ? , 所以该数集具有性质 P . ????????????????4 分

(Ⅱ)? A ? { a 1 , a 2 ,? ? ?, a 8 } 具有性质 P ,所以 a 8 ? a 8 与 a 8 ? a 8 中至少有一个属于 A , 由 0 ? a 1 ? a 2 ? ? ? ? ? a 8 ,有 a 8 ? a 8 ? a 8 ,故 a 8 ? a 8 ? A ,? 0 ? a 8 ? a 8 ? A ,故 a 1 ? 0 .
? 0 ? a 1 ? a 2 ? ? ? ? ? a 8 ,? a 8 ? a k ? a 8 ,故 a 8 ? a k ? A ( k ? 2 , 3 ,? ? ?,8 ) .



A









P





a 8 ? a k ? A ( k ? 2 , 3 ,? ? ?,8 )





? a 8 ? a 8 ? a 8 ? a 7 ? ? ? ? ? a 8 ? a 2 ? a 8 ? a1 , ? a 8 ? a 8 ? a 1 , a 8 ? a 7 ? a 2 ,? ? ?, a 8 ? a 2 ? a 7 , a 8 ? a 1 ? a 8 , a i ? a 9 ? i ? a 8 ( i ? 1, 2 ,? ? ?,8 ) 即

??①

由 a 2 ? a 7 ? a 8 知, a 3 ? a 7 , a 4 ? a 7 ,?, a 7 ? a 7 均不属于 A , , 由 A 具有性质 P , a 7 ? a 3 , a 7 ? a 4 ,?, a 7 - a 7 均属于 A , ,
? a 7 ? a 7 ? a 7 ? a 6 ? ? ? a 7 ? a 4 ? a 7 ? a 3 ? a 8 ? a 3 ,而 a 8 ? a 3 ? 6 , ? a 7 ? a 7 ? 0 ,a 7 ? a 6 ? a 2 ,a 7 ? a 5 ? a 3 , ?,a 7 ? a 3 ? a 5 即 a i ? a 8 ? i ? a 7 ( i ? 1, 2 , ? , 7 ) ??

② 由 ① ② 可 知 a i ? a 8 ? a 9 ? i ? a 8 ? ( a 7 ? a i ? 1 )( i ? 1, 2 , ? ,8 ) ( i ? 2 , 3 ,? ? ?,8 ) . 故 a 1 , a 2 , ? , a 8 构成等差数列. 分 ??????????10 , 即 a i ? a i ?1 ? a 8 ? a 7

·16·


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