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3.1.3导数的几何意义修改


1.函数平均变化率: f ( x0 ? ? x) ? f ( x0 )

?x 思考:函数平均变化率的几何意义?

过曲线 y ? f ( x ) 上的点?x0 , f ?x0 ?? 和?x0 ? ?x, f ?x0 ? ?x ?? y Y=f(x 的割线的斜率。 ? 观察函数f(x)的图象
直线AB 的斜率
f(X0

+△x)

B)

f(x0) O x0

A

△x

x X0+△x

2.导数的定义
函数y=f ? x ? 在x=x 0处的导数,记作:f ? ? x 0 ? 或y?
x =x 0

f ?x0+?x ?-f ?x0? ?y 即:f ??x 0 ?= lim = lim ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ?x

它表示函数f ?x ?在x=x 0处的瞬时变化率, 反映了函数在x=x 0附近的变化情况。

其几何意义是?

观察: 如图,当点Q沿着曲线趋近于点P时,
割线PQ的变化趋势是什么?
y
y=f(x) 割 线

Q

T
切线

P

?
x

o

导数的几何意义 : y

y=f(x)

Q

割 线
T 切线

P

?

x o 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P时,割线PQ趋近于 确定的位置,这个确定的位置PT称为曲线在点P处的切线.

此处切线的定义与以前学过的切线的定义有什 么不同?

初中平面几何中圆的切线的定义:直线和圆有唯一

公共点时,叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的
切线,唯一的公共点叫做切点。 割线趋近于确定的位置的直线定义为切线.

此处切线的定义与以前学过的切线的定义有什 么不同?
y
l1
M

l2
N

O

x

曲线与直线相切,并不一定只有一个公共点。

y

l1
A

圆的切线定义并不适
用于一般的曲线。

通过逼近的方法,将
l2
B

割线趋于的确定位置的 直线定义为切线(交点
x

可能不惟一)适用于各 种曲线。所以,这种定 义才真正反映了切线的

C

割线与切线的斜率有何关系呢?
y=f(x) y Q(x1,y1)
△y

k PQ ?

?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) = ?x ?x

P(x0,y0) o
△x

M

即:当△x→0时, 割线PQ的斜率的极限,就是 曲线在点P处的切线的斜率 ,

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y 所以:k=lim ? lim ?x ?x ?0 ?x ?x ?0

x

继续观察图像的运动过程,还有什么发现?
y=f(x) y Q1 Q2 P o Q4 Q3
观察图像,可以发现, 在点P附近, PQ 2比PQ 1更贴紧曲线f ?x ?, PQ 3比PQ 2 更贴紧曲线f ?x ?, PQ 4比PQ 3 更贴紧曲线f ?x ?,

T??? 过点P的切线PT最贴紧点P

曲线f ?x ?就可以用过点P的切线PT

附近的曲线f ?x ?。因此,在点 P附近, 近似代替。这是微积分 中的重要思 想方法--以直代曲!

x

y

函数 y=f(x) 在点x0处的导数 的几何意义,就是曲线 y=f(x) 在 点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率。
o
'

y= Q f( x) P
?

割 线 T 切 线 x

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim 即: k切线 ? f ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.

要注意,曲线在某点处的切线:
(1)与该点的位置有关; (2)要根据割线是否有极限位置来判断与 求解.如有极限,则在此点有切线,且切线 是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; (3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个 交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.

导数的几何意义的应用
例1.求抛物线y=x2过点(1,1)的切线的斜率。 解:过点(1,1)的切线斜率是

f (1 ? ?x) ? f (1) (1 ? ?x) ? 1 f ’(1)= lim ? lim ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ?x
2

? lim (2 ? ?x) ? 2
?x ? 0

因此抛物线过点(1,1)的切线的斜率为2.

1 1 例2.求y= 过点(2, )的切线方程。 x 2
解:因为
1 1 ? f (2 ? ?x) ? f (2) ?1 1 2 ? ? x 2 lim ? lim ? lim ?? ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 2(2 ? ?x ) ?x ?x 4

1 1 所以这条双曲线过点(2, )的切线斜率为- , 4 2
由直线方程的点斜式,得切线方程为

1 y ? ? x ?1 4

变式:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
y
Q

求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②利用切线斜率的定义求 出切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程.

y = x +1
?y

2

P
?x

M

1 -1 O

j

x

1

例3.求抛物线y=x2过点( 5 ,6)的切线方程。

2

5 解:点( ,6)不在抛物线上,设此切线过抛物线上的 22 点(x0,x0 ),因为

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ( x0 ? ?x) ? x lim ? lim ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ?x
2

2 0

2 x0 ? ?x ? (?x) ? lim ? 2 x0 ?x ? 0 ?x
2

所以此切线方程的斜率为2x0, 又因为此切线过点( 5 ,6)和点(x0,x02),

2

2 x ? 6 0 所以 ? 2 x0 即x02-5x0+6=0, 5 x0 ? 2 解得x0=2,或x0=3,

所以切线方程为y=4x-4或 y=6x-9.

已知f ( x) ? 1 ? x , 求f (1), f (?1), f (5)的值.
2 ' ' '

f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?y lim ? lim ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x
我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数, 记作:

f ' ? x0 ? 或 y '

x ? x0

.

如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x) 在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f(x)在点x0处 不可导.

回顾
称这个函数

导(函)数的定义:

如果函数 f(x)在开区间 (a ,b)内的每一点都可导,此时对于 每一个x ∈(a ,b) ,都对应着一个确定的导数 f ?( x ) ,从而构成 了一个新的函数 f ?( x ) 。

f ?( x ) 为函数 y = f(x )在开区间内的导函数,

简称导数。也可记作 yˊ,即

?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) f ?( x ) ? y ? ? lim ? lim ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x
说明:把x0换成x就是求函数 y =f(x)的导数的一般方法.

例2:如图,已知曲线

1 3 8 y ? x 上一点 P ( 2, ) 3 3

,求 :

1 3 解: (1) y ? x , 1 1 3 3 3 ( x ? ?x ) ? x ?y 3 ? y? ? lim ? lim 3 ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ?x
1 3 x 2 ?x ? 3 x(?x) 2 ? (?x)3 ? lim 3 ?x ?0 ?x

(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
y 4 3 2 1 -2 -1 O -1 -2 1 2

y?

1 3 x 3

P
x

2 ? ? y | x ? 2 ? 2 ? 4.

1 ? lim[3 x 2 ? 3 x?x ? (?x) 2 ] ? x 2 . 3 ?x ?0

即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y16=0.

f (1) ? f (1 ? x ) lim ? ? 1 练:设f(x)为可导函数,且满足条件 x ? 0 , 2x

求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.
f (1) ? f (1 ? x ) 解: ? f ( x )是可导函数且 lim ? ?1, x?0 2x 1 f (1) ? f (1 ? x) ? lim ? ?1, 2 x ?0 1 ? (1 ? x)

f (1 ? x) ? f (1) ? lim ? ?2, x ?0 (1 ? x) ? 1

? f ?(1) ? ?2.

故所求的斜率为-2.

1. P(1,4), (1) 求过点 P 的切线斜率; k ? 8 (2) 求切线方程. 8 x ? y ? 4 ? 0 2. 已知过曲线 y ? x 上点 P 处的切线斜率为

2 y ? 4 x 已知曲线 上一点

1 , 求点 P 的坐标. ? 4, 2 ? 4 3.抛物线y=x2在哪一点处的切线平行于直线y=4x-5? 并求该点处的切线方程. ? 2, 4 ?

4x ? y ? 4 ? 0

1 3 8 4.如图已知曲线 y ? x 上一点 P ( 2, ) ,求: 3 3 (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
1 1 3 3 ( x ? ?x ) ? x 1 3 ?y 3 解: (1) y ? x ,? y? ? lim ? lim 3 ?x ? 0 ?x ?x ? 0 4 3 ?x 3 1 3 x 2 ?x ? 3 x ( ?x ) 2 ? ( ?x ) 3 ? lim 2 3 ?x ?0 ?x 1 1 2 2 2 ? lim [3 x ? 3 x?x ? (?x) ] ? x . 3 ?x ?0 -2 -1 O
y
y? 1 3 x 3

P
x 1 2

? y ? | x ? 2 ? 2 ? 4. 即点P处的切线的斜率等于4.
2

-1 -2

(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.

练习:
1.求函数 y ? 1 x 在x ? 1处的导数。

2.

例5.y=x3在点P处的切线斜率为3,求点P的坐标. 解:设点P的坐标(x0,x03) ∴斜率3=

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) lim ?x ? 0 ?x ( x0 ? ?x)3 ? x03 ? lim ?x ? 0 ?x
3 x0 2 ?x ? 3 x0 (?x) 2 ? (?x)3 ? lim ?x ? 0 ?x

? lim[3 x0 2 ? 3 x0 ?x ? (?x) 2 ] ? 3 x0 2
?x ? 0

∴ 3x02=3,x0=±1. ∴ P点的坐标是(1,1)或(-1,-1) .

练习题 1.曲线y=x2在x=0处的( )D

A.切线斜率为1
B.切线方程为y=2x C.没有切线 D.切线方程为y=0

2.已知曲线y=2x2上的一点A(2,8),则点A处的切 线斜率为( A.4 C.8 ) B.16 D.2 C

3.函数y=f(x)在x=x0处的导数f ’(x0)的几何意义是(
) C A.在点x=x0处的函数值 B.在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切


C.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率

D.点(x0,f(x0)与点(0,0)连线的斜率

4.已知曲线y=x3上过点(2,8)的切线方程为12x-ay -16=0,则实数a的值为( A.-1 B C.-2 B.1 D .2 )

5.若f ’(x0)=-3,则 =( D )

f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ? 3h) lim h ?0 h

A.-3 C.-9

B.-6 D.-12

6.设y=f(x)为可导函数,且满足条件
f (1) ? f (1 ? x) , 则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线 lim ? ?1 x ?0 2x

的斜率为( A.2



D B.-1

C. 1

D.-2

2


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