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2013淮北市高三二模数学试题(理科 含答案)


淮北市 2013 年高三第二次教学质量检测,

数学试题(理)
(考试时间:120 分钟满分:150 分) 注意事项: 1.答题前,务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位. 2.答第 I 卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.答第

II 卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写,要求字体工整、 笔 迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出, 确认后再用 0.5 毫米的黑色 墨水签字 笔描清楚.必须在题号对应的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效, 在试题卷、 草稿 纸上答题无效

第 I 卷(满分 50 分)
一、选择题(本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,
只有一个选项符合题目要求)
1、复数
2 -i 1? i

对应的点在(

) B.第二象限 C.第三象限
2

A.第一象限
x

D.第四象限

2、集合 M ? { y | y ? 2 ? 1 , x ? R } , N ? { x | y ? A. ? B. ( ? 1, ?? ) C. ( ? 3 , 3 )

3 ? x , x ? R } ,则 M ? N ? ( )

D. ( ? 1, 3 ]

3、某几何体的三视图均为直角三角形,如图所示,该几何体的外接球表面积是 ( ) A. 192 ? B. 48 ? C. 16 ? D. 96 ?

* 4、已知数列 { a n } 满足: a 1 ? 1 , a n ? 1 ? 2 a n ? 1 ( n ? N ) ,则 a 12 ? (



A.2 -1

10

B.2 -1

11

C.2 -1
9n ? 3n
2

12

D.2 -1 ,由 n=k 的假设到证明 n=k+1 时,

13

5、用数学归纳法证明等式: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 3 n ? 等式左边应添加的式子是( A . k ?1 3 )

2

( ( B. 3 k ? 1)? 3k ? 2)

C. k ? 3 3

( ( ( D. 3 k ? 1)? 3k ? 2) ? 3k ? 3)

6、为了研究高中学生中性别与对乡村音乐态度(喜欢和不喜欢两种态度)的关系,运用 2×2 2 列联表进行独立性检验,经计算χ =8.026,则所得到的统计学结论是:有( )的把握认
2013 淮北二模第 1 页 共 10 页 交流 学习 提高

为“性别与喜欢乡村音乐有关系”( A.0.1% B.1% 附:P(χ ≥k0) k0
2

) C.99% 0.050 3.841 0.025 5.024 D.99.9% 0.010 6.635 0.001 10.828

0.100 2.706

7、如右图,如果执行右面的程序框图,输入正整数 n,m,满足 n
≥m,那么输出的 P 等于( A. C nm ? 1 B. A nm ? 1 ) C. C nm D. A nm

8、一款智能手机预装了 3 个阅读软件和 3 个资讯软件,这 6 个软件 图标排成一排,要求阅读软件 A 的图标不在两端, 3 个资讯软件的 图标有且只有 2 个相邻,则软件图标的不同排法是( ) A.96 B.216 C. 288 D.360

9、已知函数 f(x)=sinπ x 的图象的一部分如图(a),有以下 四个函数解析式: ①y=f(2-x) ② y=f(-x+1) ③y=f(x- )
2 1



y=f(x+1) )

其中与图(b)所对应的函数解析式为(

A.①②

B.①④

C.③④

D.②③

10、定义域 R 的偶函数 f ( x ) ,当 x ? 0, ? )时 f ( x ) ? x f '( x ) ? 0 恒成立,若 ( ?
a ? 3 f ( 3 ) , b ? ( lo g ? 3 ) ? f ( lo g ? 3 ) , c ? - 2 f ( - 2) ,则(

) D. a ? b ? c

A. b ? c ? a

B. c ? b ? a

C. b ? a ? c

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、 填空题 (本大題共 5 小题,每小题 5 分, 25 分.把答案填在答題卡的相应位置) 共
1 x

11、二项式 ( 2 x -

) 的展开式中常数项为
4

2013 淮北二模第 2 页 共 10 页

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y B A 12、曲线 C1 : ? - 2 ? cos ? - 1 ? 0 上的点到曲线
2

F1

O

F2

x

C2 : ?

?x ? 3 ? t ?y ?1? t

,( t 为参数)上的点
(第 14 题图)

的最短距离为
? x ? y ?1 ? 13、已知 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,若目标函 ?2 x ? y ? 2 ?

数 z ? ax ? by (a ? 0, b ? 0) 的最大值为 7,则 14、如图,F1,F2 是双曲线 C:
x a
2 2

3 a

?

4 b

的最小值为 的左、右焦点,过 F1 的直线与 C

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)

的左、右两支分别交于 A,B 两点.若 | AB | : |BF2|: | AF2 |=3 : 4 : 5,则双曲线的离心率为 15、在△ABC 中, 下列命题正确是 → → ① 命题“AB ? AC ? 0”是命题“△ABC 为钝角三角形”的充要条件, → → → ② P 是边长为 2 的正△ABC 边 BC 上的动点,则AP· +AC)是定值, (AB ③
AP ? ? ( AB | AB | ? cos B ? AC | AC | ? cos C ),( ? ? R ) ,则直线 AP 必过△ABC 的垂心,

点 O 是△ABC 内一点,且满足 OA ? 2 OB ? 3 OC ? 0 ,则 S ? AOC : S ? ABC ? 1 : 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16、(本小题满分 12 分) 已知 a ? ( 2 3 sin x , cos x ), b ? (cos x , 2 cos x ) ,函数 f ( x ) ? a ? b (1)若 y ? f ( x ) 在区间 [ 0 ,

?
2

] 的值域;

(2)在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边是 a , b , c ,若 f(A)= 2, sin B ? 3sin C ,
?ABC 面积为

3 3 4

.求边长 a .

17、(本小题满分 12 分) 学校组织了一场科普知识大赛,共分两组.其中甲组优胜者有 2 名女生和 m (1 ? m ? 3 , m ? N ) 名男生,乙组优胜者有 1 名女生和 4 名男生;现从优胜的同学中,每
*

组各任选 2 名同学,组成校科普知识宣讲团. (1)若选出的 4 名同学中恰有 1 名女生的概率是
7 15

,求 m 的值;
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2013 淮北二模第 3 页 共 10 页

(2) m=2 时, 当 设选出的 4 名同学中女生人数为 x, 男生人数为 y,记 ? ? | x ? y | 求 ? 的 分布列和数学期望.

18、(本小题满分 12 分) 如图:在等边 ? ABC 中,边长为 4,点 E,F 分别是边 AB、AC 的中点,沿 EF 将 ? AEF 翻折 到 ? PEF 的位置,使平面 PEF ? 平面 BCFE (1)G 为线段 PC 的中点,求证: FG // 面 PBE ; (2)求点 F 到平面 PBC 的距离; (3)求棱 PF 与面 PBC 所成角的余弦值.

19、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1 ? ?
1 2 ax
2

? 2x ?1

?a

? 1? .

(1)若 a ? 1 ,求 y=f(x)在区间[2,4]上的值域; (2) 若曲线 C : y ? f ? x ? 在点 P ? 0 ,1 ? 处的切线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点, a 的值. 求

20、(本小题满分 13 分)
x
2

已知椭圆 C: 4

?

y b

2 2

? 1 ( 0 ? b ? 2 ) 的左右顶点分别为 A、B.且与双曲线

x

2

-y

2

2

? 1 有相同

2 2 的焦点,圆 T: x ? y ? 4 上有一动点 P,P 在 x 轴上方,M(1,0)为 x 轴一点。直线 PA 交椭

圆 C 于 D 点,连 DM、PB. (1)若 AD ? DM ? 0 ,求 ? ADM 的面积;

2013 淮北二模第 4 页 共 10 页

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(2)若 直 线 PB 、 DM 的 斜 率 存 在 且 分 别 为
k 1 , k 2 , 若 k 1 ? ? k 2,求 ? 的取值范围.

21、(本小题满分 14 分) 已知无穷数列 ?a ? 满足 a 、 a 、 a 、 ? a 是 ? n 1 3 5 2 m ?1 以 2 为 首 项 ,-2 为 公 差 的 等 差 数 列, a 、 a 、 a 、 ? a 是以2为首项,2为公比 ? 2 4 6 2m 的等比数列,且对于任意的 n ? N , a , ? an ? n?2m 试研究下列问题: (1) 若m=12,求 a (2) 若 a
118

2013

;

?

? 128 , 求 m 的值 ;

(3) 记 S 是数列 ?a ? 的前n项和,且 S 求m的最大值? ? 2013 , n n 2 m ?1

数学(理科)参考答案及评分标准
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.)
题号 答案 1 D 2 D 3 A 4 C 5 D 6 C 7 D 8 C 9 B 10 A

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.)
11. 24 12.
2 2

.

13. 7.

14.

13 .

15. ②?④.

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分.)
16. (本小题满分 12 分) 解:解:(1) f ( x ) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos
2

x ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)? 1

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? y ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)?1

∵ x ? ? 0,
?

?

??
2? ?

?0 ? y ? 3

??????6 分 ∴ 2 sin(2 A ?
1 2 a sin A ? b sin B ? c sin C

(2)∵ f(A)= 2 ∴ sin(2 A ?
?
6 )?

?
6

) ?1

,解得 A ? 0 (舍去)或 A ?

?
3

∵ sin B ? 3sin C ,

∴ b ? 3c



∵ ?ABC 面积为

3 3 4

∴ S ?ABC ?

1 2

bc sin A ?

1 2

bc sin

?
3

?

3 3 4

即 bc ? 3

由①和②解得 b ? 3, c ? 1 ∵ a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A ? 32 ? 12 ? 2 ? 3 ? 1? cos
?
3

∴ a?

7 ??????12 分

17. (本小题满分 12 分) 解:(1)设“从甲组内选出的 2 个同学均为男同学;从乙组内选出的同学中,1 男 1 女”为 事件 A , “从乙组内选出的 2 个同学均为男同学; 从甲组内选出的同学中 1 男 1 女”为事件 B , 由于事件 A ? B 互斥,且 p ( A ) ?
Cm C m?2
2 2

C1C 4 C5
2

1

1

, p(B) ?

C 2C m C 4 C m?2 C 5
2

1

1

2 2

,

∴选出的 4 个同学中恰有 1 个女生的概率为
p( A ? B ) ? P ( A) ? P (B ) ? Cm C m?2
2 5 m m
2 2

2

C1C 4 C5
2

1

1

2

?

C 2C m C 4 C m?2 C 5
2

1

1

2 2

?

7 15

?

? 5m

? 3m ? 2

?

7 15

, ? m ? 2 或 m ? (舍) 7

??????6 分

(2) ? 可能的取值为 0, 2 ,4 ∴ ? 的分布列为
?

0

2

4

2013 淮北二模第 6 页 共 10 页

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P ∴ ? 的数学期望 E ? ?
22 15

11 30

8 15

1 10

??????12 分

18. (本小题满分 12 分) 解:证明:(1)G 为 PC 中点。证明如下: 取 PB 中点 H,连接 GH,EH.
? G 、 H 分别为 E 、 F 分别为 PC 、 PB 中点,

AB 、 AC 中点

? GH // BC , 且 GH ? EF // BC , 且 EF ? 1 2
? GH // EF , GH ? EF ,

1 2

BC

BC

∴四边形 GHEF 为平行四边形,

? GF // HE , ? GF // 面 PBE

??????4 分

(2)在三角形 ABC 中,取 EF 的中点为 O,BC 的中点为 D,
? E 、 F 分别为 AB 、 AC 中点
? OD ? BC , PO ? EF , EF // BC , EF // 面 PBC , ? PEF 为等边三角形

? 点 F 到面 PBC 的距离等于点

O 到面 PBC 的 距 离

? 面 PEF ? 面 BCFE ? PO ? 面 BCFE

? PO ? BC , 又 ? OD ? BC ? BC ? 面 POD ? 面 PBC

? 面 POD

, 连 接 PD, 在 ? POD 中 做 ON ? PD , 则
ON ? 面 PBC

? ON 就是 O 到面 PBC 的距离。

2013 淮北二模第 7 页 共 10 页

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在 ? POD 中, PO ? OD ?
1 2

3

且 PO ? OD ? ON ?

PD ?

6 2

??????8 分

(3) PC 的中点 G,
? N 为 PD 的中点, ? GN // CD , GN ? 又 ? OF // CD , OF ? 1 2
? 四边形 FGNO 为平行四边形, ? FG // ON

1 2

CD

CD ? GN // OF , GN ? OF

? FG ? 面 PBC , ? ? FPC 就是 PF 与面 PBC 所成的角

在 Rt ? FGP 中, FG ?

6 2

, PF ? 2

? Sin ? FPG

?

FG PF

?

6 4

? Cos ? FPG

?

10 4

?????????12 分

方法二:以点 o 为原点建系,用向量法可证 B.(本小题满分12分) 解:(1) f ? ? x ? ? x ? 2 ?
1 x ?1 ? x
2

?????????????12 分

? x ?1 x ?1
5 1? 2 5

? f ?? x ? ?

x

2

? x ?1 x ?1

? 0, x ? ?

1? 2

或x ?

? x ? [ 2 , 4 ], y ? f ( x ) 单调增

又 f(2)=ln3-1,f(4)=1+ln5, ? y=f(x)在区间[0,4]上的值域[ln3-1,ln5+1] (2)函数 f ? x ? 的定义域为 ? ? 1, ?? ? , f ? ? x ? ? mx ? 2 ?

?????????6 分
1 x ?1 , f ? ? 0 ? ? ? 1,

所以曲线 C : y ? f ? x ? 在点 P ? 0 ,1 ? 处的切线方程为: y ? ? x ? 1 因为切线与曲线有唯一的公共点, 所以方程 令 g ?x ? ?
1 2
1 2
? ? 1 ?? ax ? x ? ? ? 1?? a ? ?? ? x ?1

ax

2

? x ? ln ? x ? 1 ? ? 0 有且只有一个实数解,显然 x ? 0 是方程的一个解.
? x ? ln ? x ? 1 ?

ax

2



则 g ?? x ? ?

ax ? 1 ?

1 x ?1

?

2013 淮北二模第 8 页 共 10 页

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当 a=1

时, g ? ? x ? ?

x

2

x ?1

? 0

,所以 g(x)

在定义域内单调增,x=0 是唯一实数解 ⑤ 当 a? 1

时,
g ?? x ? ? a x ? 1 ? 1 x ?1 ? ? 1 ?? ax ? x ? ? ? 1?? ? a ?? ? x ?1

?

? 0

x 1 ? 0, x

2

?

1 a

? 1 ? ( ? 1, 0 )

在区间 (
( 1 a - 1, ) 0

1 - 1, - 1 ) a

上 g(x)单调增, 在区间

上 g(x)单调减,
?)

在区间 0, ( ? 而x

上 g(x)单调增,
1 a - 1) ? g ( 0 ) ? 0

? ? 1, g ( x ) ? 0 , g (

因此 g ? x ? ? 0 在 ? ? 1 ,
?

?

? ? 1 ? 内也有一个解. a ? 1

即当 a ? 1 时,不合题目的条件.综上讨论得 a ? 1

? ????????12 分

20. (本小题满分13分) 解:(1)由题意得: 4 - b ? 2 ? 1 ? b ? 1 ? b ? 1
2 2

? 椭圆 C :

x

2

? y

2

? 1, 设 D ( x , y )

4
由 AD
2

? DM

2

? AM

2

,得(

x ? 2) ? y
2

2

? x ? 1) ? y (
2

2

? 9

? x ? y
2

2

? x? 2 ? 0





x

2

? y

2

?1

4



由①②得 x ?

2 3

或 x ? ? 2 ( 舍) ,代入得 y ?

2 3

2

? ? ADC 的面积 S ?

1 2

? 3?

2 3

2

?

2

? ????????6 分

(2)设: l PA : y ? k ( x ? 2 ), D ( x D , y D ), P ( x P , y P )
2013 淮北二模第 9 页 共 10 页 交流 学习 提高

yP ?? ? k1 k2 ? xP ? 2 yD xD ? 1 ?

k (xP ? 2) xP ? 2 k (xD ? 2) xD ? 1 ? xP ? 2 xP ? 2 ? xD ? 1 xD ? 2

? y ? k (x ? 2) 2 2 2 ? x ? 4k ( x ? 4 x ? 4) ? 4 ? 0 而 D 满足: ? 2 2 ?x ? 4 y ? 4 ? 0
16 k
2

? 1 ? 4 k ) x ? 16 k x ? 16 k (
2 2 2

2

? 4 ? 0 ? - 2) x D ? ( ?

? 4
2

1 ? 4k

? xD ?

2 ? 8k 1 ? 4k
2

2 2

2 ? y ? k (x ? 2) 2 ? 2k ? xP ? ,同理:点 P 满足: ? 2 2 2 1? k ?x ? y ? 4 ? 0

2 ? 2k ?? ? 1? k 1? k
2

? 2
2

2 ? 8k ? 1 ? 4k 2 ? 8k 1 ? 4k

2 2 2 2

?1 ? 3? ? 2

1 4k
2

2 ? 2k
2

? 3

? 2

( 0 ( 又 k 1 , k 2 均不为 0,则 ? ? 0 ,? ? ? - ? ,)? 0 , 3)? ????????12 分

21. (本小题满分 14 分)
( ? 解:(1) a 2013 ? a 83 ? 24 ? 21 ? a 21 ? 2 ? 11 - 1)( - 2)? - 18 ? ????????4 分

(2) 128 ? 2 7 ,? a 是第K个周期的第14项,则 118
? ?

2mk + 14=118 ( m ? 7 ) ????????9 分

mk=52, m ? N , k ? N
*

*

m=13 或 m=26
? a 2 m ?1 ? 2 ? ( m ? 1) ? ( ? 2 ) ? 4 ? 2 m a2m ? 2 ? 2
m ?1

(3)

? 2
m

m

? S 2 m ?1 ?

(1 - 2 ) 2 1? 2
2 m ?1

?

m ( 2 ? 4 - 2m ) 2

? 2 ? 2

m ?1

? m

2

? 3m

m=1,2,3时,有 S

? 2013 ,

下面证明 f ( m ) ? 2 m ? 1 ? m 2 ? 3 m , ( m ? 4 ) 单调增
f ( m ? 1) - f ( m ) ? 2
m ?1

? 2 m ? 2 ? 1 ? 1) ? 2 m ? 2 ? 0 (
m



f (10 ) ? 2 f (11 ) ? 2

11

? 100 ? 30 ? 2013 ? 121 ? 33 ? 2013
10 .

12

? m 最大值为

????????14 分

2013 淮北二模第 10 页 共 10 页

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