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由数列的递推公式求数列的通项公式


由数列的递推公式求数列的通项公式
【问题】 1,已知数列 ?an ? ,其中 a1 =1,且 an?1 ? an ? 4 ,求 an 。 2,已知数列 ?an ? ,其中 a1 =1,且 an?1 ? 3an ,求 an 。 1.【就题讲题】 分析题干:给出了数列的一个递推关系要求数列的通项公式。 引导思路: Q: 求什么? A: 求数列的通项公式 Q: 有什么? A:

给出数列的首项,及数列的递推关系 Q: 怎么求? A: 有递推关系可以判断出数列是等差数列还是等比数列,从而套用公式。 过程讲解: 解: 1,由 an?1 ? an ? 4 可以知道数列 ?an ? 是以公差为 d ? ?4 的等差数列,其首项为 a1 =1 ∴ an ? a1 ? ? n ?1? ? d ? 1? ? n ?1? ? ? ?4? ? ?4n ? 5 2,由 an?1 ? 3an 可以知道数列 ?an ? 是以公比为 q ? 3 的等比数列,其首项为 a1 =1 ∴ an ? a1 ? qn?1 ? 1? 3n?1 ? 3n?1 2.【内容扩展】 将原题变一变: 1,已知数列 ?an ? ,其中 a1 =1,且
1 1 ? ? 4 ,求 an 。 an?1 an

2,已知数列 ?an ? ,其中 a1 =1,且 (an?1 ? 2) ? 3(an ? 2) ,求 an 。 小结: 1,在题目中,数列没有说明是什么数列时,要用等差数列或者等比数列的公式时,一定要 有一步的证明或者说明。 2,在等差数列中,要注意 an ?1 与 an 的系数一定是相同的; 在等比数列中,除了可以看成一个整体外,不能再有其他的尾巴存在 3.【拔高层次】 例 1、已知数列 ?an ? ,其中 a1 =1,且 3an?1 ? an ? an?1 ? an ,求 an 。
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例 2、已知数列 ?an ? ,其中 a1 =1,且 an?1 ? 2an ? 4 ,求 an 。 思路解析: 1,由这个式子 3an?1 ? an ? an?1 ? an ,可以知道 ?an ? 中的任意一项都不会为 0。如果我们两边 同时除以 an?1 ? an ,就可以转化成了等差数列的形式。 2,由 an?1 ? 2an ? 4 ,可以得到 an?1 ? 4 ? 2(an ? 4) ,转化成了等比数列的形式。 Q: an?1 ? 4 ? 2(an ? 4) 这个式子是怎么来的呢? A: 这个式子是通过设待定系数求出,具体步骤如下: 由 an?1 ? 2an ? 4 ,设 an?1 ? ? ? 2(an ? ? ) ,即有 an?1 ? 2an ? ? 。 比较给出的式子,可以得到 ? ? ?4 。这样就可以得到了 an?1 ? 4 ? 2(an ? 4) 题型归纳: 1,已知数列 ?an ? , a1 已知,且有 k ? an?1 ? an ? an?1 ? an ,求 an 这里注意 k ? an?1 ? an ? an?1 ? an ,还有其他形式,如
an ?1 ? an k ? an 1 等等 ?k, ? an?1 an ?1 ? an an ?1 ? an

2,已知数列 ?an ? , a1 已知,且有 an?1 ? kan ? c ,求 an 。 例 3、已知数列 ?an ? ,其中 a1 =1,且 an?1 ? an ? 4n ,求 an 。 思路解析:利用迭加法。 练一练:已知数列 ?an ? ,其中 a1 =1,且 an?1 ? 4n ? an ,求 an 。 题型归纳: 1,已知数列 ?an ? ,已知 a1 ,且 an?1 ? an ? f (n) ,求 an 。则利用迭加法 2,已知数列 ?an ? ,已知 a1 ,且 an?1 ? an ? f (n) ,求 an 。则利用迭乘法

例 4、已知数列 ?an ? ,其中 a1 =1,且 an?1 ? 3an ? 4n ,求 an 。 思路解析:对比前面的式子,发现,这里后面的尾巴中是含有 n 的一个式子。 由 an?1 ? 3an ? 4n ,这时可设 an?1 ? ? ? (n ?1) ? c ? 3? an ? ? ? n ? c ? ,
2

即有 an?1 ? 3an ? 2 ? ? ? n ? 2c ? ?

?2? n ? 4n ?? ? 2 与原式比较可以得到 ? ,解得 ? ?2c ? ? ? 0 ?c ? 1
所以有 an?1 ? 2 ? (n ?1) ?1 ? 3? an ? 2 ? n ?1? ,即数列 ?an ? 2 ? n ? 1? 是公比为 3 的等比数列。之后 求出 an ? 2 ? n ? 1 的通项,再一步变形就可以得到结果。 练一练: 1,已知数列 ?an ? ,其中 a1 =1,且 an?1 ? 3an ? 4n ,求 an 。 2,已知数列 ?an ? ,其中 a1 =1,且 an?1 ? 4an ? 3 ? 4n ,求 an 。 题型归纳: 已知数列 ?an ? ,已知 a1 ,且 an?1 ? k ? an ? f (n) ,求 an 。 思路解析: 1,如果 f (n) 是等差的形式时,设 an?1 ? ? ? f (n ?1) ? c ? k ?an ? ? ? f (n) ? c? , 化简得
an ?1 ? k ? an ? k ? ? ? f (n) ? k ? c ? ? ? f (n ? 1) ? c ? k ? an ? k ? ? ? f ( n ) ? k ? c ? ? ? ? f ( n ) ? d ? ? c ? k ? an ? ( k ? ? ? ? ) ? f ( n ) ? k ? c ? ? ? d ? c

1 ? ?? ? 1? k ?k ? ? ? ? ? 1 ? 后与原式比较,得 ? ,解出 ? 与 c 的值, ? 。 d ?k ? c ? ? ? d ? c ? 0 ?c ? ? 2 ? ? k ? 1? ?
之后就转化成了等比数列的形式,求通项,最后再变形。 2,如果 f (n) 是等比的形式时,先两边同时除以 f (n) , 得
an ?1 k ? an k ? an an k ? ?1 ? ?1 ? ? ?1 , f ( n) f ( n) q ? f (n ? 1) q f (n ? 1)

令 bn ?1 ?

an ?1 k ,即 bn ?1 ? ? bn ? 1 ,这就是前面形如 an?1 ? kan ? c 的形式了。 f ( n) q

4.【课堂延伸】

an c-4a ?? n 2( ?1 ,2 ,? ?) ), a1 ? 1 , 1,已知数列 ?an ? 中,a n? 2 =4a n?S 4a,n(? n ? 1, 2, n?1 n 1 n, , 2n ⑴设数列 bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列;
⑵求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和。

3

2,设二次方程 an x 2 - an +1x+1=0(n∈N)有两根α 和β ,且满足 6α -2α β +6β =3. (1)试用 an 表示 a n?1 ;

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