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22.1.4二次函数的图像和性质第一课时课件


y ? ax ? bx ? c
2

第一课时

2 y ? ax 1.二次函数 的图像和性质: 2 y ? ax ? k 的图像和性质: 2.二次函数

3.抛物线 y ? a( x ? h)2的图像和性质: 4.抛物线 y ? a( x ? h)2 ? k的图像和性质: 2 2 2 y ? a ( x ?

h ) ?k 5.抛物线 y ? ax ? k 、y ? a( x ? h) 、 2 与抛物线 y ? ax 有怎样的关系?

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2 y ? ax ? bx ? c ? a ? 0? 的图象. 画二次函数

1 2 我们来画 y ? x ? 6 x ? 21 的图象,并讨论一般地怎样 2

探究

我们知道,像 y ? a?x ? h?2 ? k 这样的函数的图像和性
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质,容易确定相应抛物线的顶点为(h,k),二次函 数
1 2 y ? x ? 6 x ? 21 也能化成这样的形式吗? 2

配方可得 y ?

1 2 由此可知,抛物线 y ? x ? 6 x ? 21 的顶点是(6,3),对 2 称轴是直线 x = 6

1 2 1 2 ? ? ? x ? 6 ?3 x ? 6 x ? 21 2 2

接下来,利用图象的对称性列表(请填表)
x · · · 3 4 5 6 7 8 9 · · · · · ·

y?

1 2 x ? 6 x ? 21 · · · 2
y?

7.5

5 3.5

3

3.5

5 7.5

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y 10

1 2 x ? 6 x ? 21 2

1 2 先画出二次函数 y ? 2 x

5

O

5

10 x

的 图像,然后把这个图像向 右平移6个单位长度,再向 上平移3个单位长度,得到 1 二次函数 y ? 2 x ? 6 x ? 21
2

观察归纳
1 2 从二次函数 y ? x ? 6 x ? 21 的图像可以看出: 2

在对称轴的左侧,抛物线从左到右下降; 在对称轴的右侧,抛物线从左到右上升. 当x<6时,y随x的增大而减小; 当x>6时,y随x的增大而增大.
y 10
y?

1 2 x ? 6x ? 2

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5

O

5 x?6

10 x

一般地,我们可以用配方求抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的顶点与对称轴 y ? ax2 ? bx ? c
b 因此,抛物线 y ? ax ?2bx ? c 的对称轴是 x ? ? 2a ? b 4ac ? b ?
2

b ? 4ac ? b 2 ? ? a? x ? ? ? 2a ? 4a ?

2

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顶点坐标是

?? , ? 2a

4a

? ?

这是确定抛物线顶 点与对称轴的公式

二次函数

y=ax2+bx+c(a≠0)
b 4ac ? b 2 另 2a ? h, 4a =k

配方

b ? 4ac ? b2 ? y ? a? x ? ? ? 2a ? 4a ?

2

所以,有y=a(x-h)2+k

因此,任何一个二次函数都可以通过将y=ax2进行平移 得到. 当h>0时,向左平移h个单位,当h<0时,向右平移|h| 个单位,
倍 当k>0时,向上平移k个单位,当k<0时,向下平移|k| 速 个单位, 课 时 就可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图像. 学 练

例如,y=2x2-8x+12,通过配方得y=2(x-2)2+4就 可以通过平移y=2x2得到,如演示所示 把抛物线y=2x2先向右平移2个单位, 再向上平移4个单位就得到抛物线 y=2x2-8x+12.
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8 6 4 2

-4

-2

2

4

从二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像可以看出:

y ? ax ? bx ? c
2

b ? 4ac ? b 2 ? ? a? x ? ? ? 2a ? 4a ?
b 2a

2

y
y ? ax 2 ? bx ? c

如果a>0,当x<
当x>
? b 2a

?

时,y随x的增大而减小,
O
x?? b 2a

a>0
x

时,y随x的增大而增大;
? b 2a

如果 倍 a<0,当x<
速 当 课 x> 时 学 练
b ? 2a

时,y随x的增大而增大,

y

时,y随x的增大而减小.
O

y ? ax 2 ? bx ?

a<0
x

b x?? 2a

探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的
变化而变化,当l是多少时,场地的面积S最大? 分析:先写出S与l的函数关系式,再求出使S最大的l值. 矩形场地的周长是60m,一边长为l,
s

则另一边长为 ?30 ? l ?m ,场地的面积

S=l ( 30-l )
倍 速 课 时 学 练 即 S=-l
2

200

+30l

( 0 < l < 30 ) 100
5 10 15 20 25 30 l

可以看出,这个函数的图象是一条抛物线 的一部分,这条抛物线的顶点是函数的图 O 象的最高点,也就是说,当l取顶点的横 坐标时,这个函数有最大值.由公式可求 出顶点的横坐标.

S=-l 2 +30l

( 0 < l < 30 )

b 30 ? 15 时, 因此,当 l ? ? ? ? 2a 2 ? ?? 1?

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4ac ? b 2 ? 302 S有最大值 ? ? 225 , 4a 4 ? ?? 1?

也就是说, 当l是15m时,场地的面积S最大 (S=225m2)

一般地,因为抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 的顶点是最 低(高)点,所以当 x ? ?
4ac ? b 2 有最小(大)值 4a
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b 2a
2 时,二次函数y ? ax ? bx ? c

练习
1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.当x 为何值时y的值最小(大)?
( 1) y ? 3 x ? 2 x
2

2 y ? ? x ? 2x ( 2)

(3) y ? ?2 x ? 8x ? 8
2

( 4) y ?

1 2 x ? 4x ? 3 2

解: (1) a = 3 > 0抛物线开口向上

2 1 x顶 ? ? ?? 2?3 3
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?22 1 y顶 ? ?? 4?3 3

? 1 1? ? 顶点坐标为? ? , ? ? ? 3 3?

1 1 当x ? ? 时,y最小值=3 3

1 对称轴x ? ? 3

2 y ? ? x ? 2x ( 2)

解: a = -1 < 0抛物线开口向下

?2 x顶 ? ? ? ?1 2 ? ? ?1?

? ? ?2 ? y顶 ? ?1 4 ? ? ?1?
2

?顶点坐标为? ?1,1?
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对称轴x ? ?1
当x ? ?1时,y最大值=1

(3) y ? ?2 x ? 8x ? 8
2

解: a = -2 < 0抛物线开口向下

8 x顶 ? ? ?2 2 ? ? ?2 ?

4 ? ? ?2 ? ? ? ?8? ? 82 y顶 ? ?0 4 ? ? ?2 ?

?顶点坐标为? 2,0?
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对称轴x ? 2
当x ? 2时,y最大值=0

( 4) y ?

1 2 x ? 4x ? 3 2

解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上

?4 x顶 ? ? ?4 2 ? 0.5

4 ? 0.5 ? 3 ? ? ?4 ? y顶 ? ? ?5 4 ? 0.5
2

?顶点坐标为? 4, ?5?

对称轴x ? 4
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当x ? 4时,y最小值=-5

2.已知直角三角形两条直角边的和等于8,两条直 角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大,最 大值是多少?

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利用表格归纳各种形式二次函数的性质:
二次函数 开口 方向
2

顶点坐标

对称轴

最大(小)值 增减性

y ? ax

y ? ax2 ? k
y ? a( x ? h)2
倍 速 y ? ax2 ? bx ? c 课 时 学 练
y ? a( x ? h)2 ? k

各种形式二次函数图像的位置关系:
K>0,向上平移k个单位 K<0,向下平移-k个单位

y ? ax2 ? k
y ? a( x ? h)2

y ? ax
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h>0,向右平移h个单位 h<0,向左平移-h个单位 2 先左右平移, 再上下平移
或者先上下平移, 再左右平移

y ? a( x ? h)2 ? k
配方法转化
y ? ax2 ? bx ? c

P41习题22.1:6,7

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