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2013年高考文科数学复习圆锥曲线专题测试


圆锥曲线专题测试题
一、填空题(共 14 小题,每题 5 分,计 70 分) 1. 称焦距与短轴长相等的椭圆为“黄金椭圆” ,则黄金椭圆的离心率为 2.中心在原点,焦点在坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为 y =
2 2



2 x ,其离心率是

x y 点 M 在双曲线上且 MF1 ^ x 轴,

则 F1 到直线 F2 M F2 , = 1 的焦点为 F1 、 6 3 的距离为 ____________ 4.抛物线 y = 4 x2 的焦点坐标为 ____________
3. 已知双曲线 5. 已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆
2 2

x2 + y 2 = 1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另 3
____________

外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是 6. 椭圆 面积为

x y + = 1 的焦点 F1 、F2 ,P 为椭圆上的一点,已知 PF1 ^ PF2 ,则△ F1 PF2 的 25 9
____________

7.已知抛物线 y 2 = 4 x ,一定点 A(3,1) ,F 是抛物线的焦点,点 P 是抛物线上一点, |AP|+|PF|的最小值____________。 8.正四棱锥的侧棱长和底面边长都是 1,则侧棱和底面所成的角为____________。 9. 以下同个关于圆锥曲线的命题中①设 A、 B 为两个定点, k 为非零常数, | PA | - | PB |= k , 则动点 P 的轨迹为双曲线;②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若

1 (OA + OB), 则动点 P 的轨迹为椭圆;③方程 2 x2 - 5x + 2 = 0 的两根可分别作为 2 x2 y 2 x2 = 1与椭圆 + y 2 = 1 有相同的焦点.其中真 椭圆和双曲线的离心率;④双曲线 25 9 35 OP =
命题的序号为
2

____________。 (写出所有真命题的序号) .

x y2 ? ? 1 表示椭圆的充要条件是 10.方程 9 ? k k ?1
11.在区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数,记为 m 和 n,则方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x m2 n2

轴上的椭圆的概率是 . 12.嫦娥一号奔月前第一次变轨后运行轨道是以地球中心 F 为焦点的椭圆,测得近地点 A 距 离地面 m(km) ,远地点 B 距离地面 n(km) ,地球半径为 R(km) ,关于这个椭圆有以下四 种说法:①焦距长为 n ? m ;②短半轴长为 (m ? R)(n ? R) ;③离心率 e ? 其中正确的序号为______ __. .

n?m ; m ? n ? 2R

x2 y 2 ? ? 1 内的点 M (1,1) 为中点的弦所在直线方程为 13.以椭圆 16 4
14. 设 F1,F2 分别是双曲线 x ?
2

y2 ? 1的左、 右焦点. 若点 P 在双曲线上, 且 PF 1 ? PF 2 ?0, 9

则 PF1 ? PF2 ?



二、解答题(6 大题共 90 分,要求有必要的文字说明和步骤)

1

x2 y2 15.点 A、B 分别是椭圆 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭 36 20 圆上,且位于 x 轴上方, PA ? PF .求点 P 的坐标;
. 16. (1) 已知椭圆 C 的焦点 F1(- 2 2 ,0)和 F2( 2 2 ,0) ,长轴长 6,设直线 y ? x ? 2 交椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标。 (2) 已知双曲线与椭圆

14 x2 y2 ? ? 1 共焦点,它们的离心率之和为 ,求双曲线方程. 5 9 25 1 2 x +6, 点 P(2, 4) 、A、B 在抛物线上, 且直线 PA、PB 的倾斜角互 2

17.已知抛物线 C: y=-

补. (Ⅰ)证明:直线 AB 的斜率为定值; (Ⅱ)当直线 AB 在 y 轴上的截距为正数时, 求△PAB 面积的最大值及此时直线 AB 的方程.

x2 y2 ? ? 1 (a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线 l 的 a2 b2 4 距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥ c.求双曲线的离心率 e 的取值范围 5
18.双曲线 19.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上方
2

的点,A 到抛物线准线的距离等于 5.过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M.。 (1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN ? FA ,垂足为 N,求点 N 的坐标; (3)以 M 为圆心,MB 为半径作圆 M,当 K (m,0) 是 x 轴上一动点时,讨论直线 AK 与圆 M 的位置关系.

20. 椭 圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 两 个 焦 点 为 F1,F2, 点 P 在 椭 圆 C 上 , 且 a 2 b2
4 14 ,PF | ? . 2 | 3 3

PF1 ? F 1F 2 , | PF 1? |

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心,交椭圆 C 于 A、B 两点,且 A、B 关于点 M 对 称,求直线 l 的方程.

2

高三数学圆锥曲线测试答案
1.

2 2

2.

3或

6 2
°

3.

6 5

4.

(0,

1 ) 16

5.

4 3

6. 9

7. 4

8. 45

9.③④

10. 1 ? k ? 9(k ? 5)

11.

1 2

12.① ② ③

13. x ? 4 y ? 5 ? 0

14. 2 10

15. 解:由已知可得点 A(-6,0) ,F(4,0) 设点 P 的坐标是 ( x, y),则AP ? {x ? 6, y}, FP ? {x ? 4, y} ,由已知得

? x2 y2 ?1 3 ? ? 则2 x 2 ? 9 x ? 18 ? 0, x ? 或x ? ?6. ? 36 20 2 ?( x ? 6)(x ? 4) ? y 2 ? 0 ?
3 5 3 5 , 于是 y ? 3,? 点P的坐标是 ( , 3 ). 2 2 2 2 16 解:由已知条件得椭圆的焦点在 x 轴上,其中 c= 2 2 ,a=3,从而 b=1,所以其标准方程是:
由于 y ? 0, 只能 x ?

? x2 2 ? ? y ?1 2 ?9 x ? y2 ? 1 ? y ? x?2 2 9 .联立方程组 ? ,消去 y 得, 10 x ? 36 x ? 27 ? 0 . x ? x2 18 9 x ,y x ,y x,y ?? 设 A( 1 1 ),B( 2 2 ),AB 线段中点为 M( 0 0 )那么: x1 ? x2 ? ? , x0 ? 1 5 2 5 1 所以 y 0 =x 0 +2= 5 9 1 也就是说线段 AB 中点坐标为 ( ? , ) 5 5 4 (2)解:由于椭圆焦点为 F(0, ? 4),离心率为 e= 5 ,所以双曲线的焦点为 F(0, ? 4),离心率为 2,
从而 c=4,a=2,b=2 3 .

y2 x2 ? ?1 所以求双曲线方程为: 4 12 .
(17) (Ⅰ)证: 易知点 P 在抛物线 C 上, 设 PA 的斜率为 k, 则直线 PA 的方程是 y-4=k(x-2). 代入 y=-

1 2 x +6 并整理得 x2+2kx-4(k+1)=0 此时方程应有根 xA 及 2, 2

由韦达定理得: 2xA=-4(k+1) , ∴xA=-2(k+1). ∴yA=k(xA-2)+4.=-k2-4k+4. ∴A(-2(k+1), -k2-4k+4). 由于 PA 与 PB 的倾斜角互补, 故 PB 的斜率为-k. 同理可得 B(-2(-k+1), -k2+4k+4) ∴kAB=2. (Ⅱ) ∵AB 的方程为 y=2x+b, b>0.代入方程 y=-

1 2 1 x +6 消去 y 得 x2+2x+b-6=0. 2 2

3

1 ? 2 2) [4 ? ( 2 b ? 6) ] ? 2 5(16 ? 2b) . |AB|=2 (
∴S=

1 1 b |AB|d= · 2 ( 5 16 ? 2b) ? 2 2 5

16 ? 2b ? b ? b 3 64 3 . (16 ? 2b) ? b ? b ? ( ) ? 3 9 16 此时方程为 y=2x+ . 3
(18) 解:直线 l 的方程为 bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且 a>1, 得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1 =

b(a ? 1)

同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 d2 = s= d1 +d2=

a2 ? b2 b(a ? 1)

.

a2 ? b2

.

ab

a2 ? b2 4 2ab 4 由 s≥ c,得 ≥ c,即 5a c 2 ? a 2 ≥2c2. 5 5 c
于是得 5 e 2 ? 1 ≥2e2.即 4e2-25e+25≤0.

=

2ab . c

5 ≤e2≤5.由于 e>1>0, 4 5 所以 e 的取值范围是 ?e? 5 2
解不等式,得 (19) 解: (1)抛物线 y ? 2 px的准线为 x ? ?
2

p p , 于是 4 ? ? 5,? p ? 2. 2 2

∴抛物线方程为 y2= 4x. (2)∵点 A 的坐标是(4,4) , 由题意得 B(0,4) ,M(0,2) , 又∵F(1,0) , ∴ k FA ? 则 FA 的方程为 y=

4 3 ; MN ? FA,? k MN ? ? , 3 4

4 3 (x-1) ,MN 的方程为 y ? 2 ? ? x. 3 4

8 4 ? ? x? y ? ( x ? 1) ? ? ? ? 5 3 , 得? 解方程组 ? ?y ? 2 ? ? 3 x ?y ? 4 ? ? 5 4 ? ?

8 4 ? N ( , ). 5 5

(3)由题意得,圆 M 的圆心是点(0,2) ,半径为 2. 当 m=4 时,直线 AK 的方程为 x=4,此时,直线 AK 与圆 M 相离, 当 m≠4 时,直线 AK 的方程为 y ?

4 ( x ? m), 4?m

即为 4 x ? (4 ? m) y ? 4m ? 0, ,令 d ? 2, 解得m ? 1

圆心 M(0,2)到直线 AK 的距离 d ?

| 2m ? 8 | 16 ? (m ? 4)
2

?当m ? 1 时,直线 AK 与圆 M 相离;
当 m=1 时,直线 AK 与圆 M 相切; 当 m ? 1 时,直线 AK 与圆 M 相交.
4

20 解法一: (Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2a ? PF 1 ? PF 2 ? 6 ,a=3. 在 Rt△PF1F2 中, F1 F2 ? 从而 b2=a -c2=4,
2

PF2 ? PF1

2

2

? 2 5, 故椭圆的半焦距 c= 5 ,

x2 y2 ? 所以椭圆 C 的方程为 =1. 9 4
(Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1) 、 (x2,y2). 2 已知圆的方程为(x+2) +(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆 C 的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为 A,B 关于点 M 对称.

x1 ? x 2 18k 2 ? 9k ?? ? ?2. 所以 2 4 ? 9k 2
解得 k ?

8 , 9 8 ( x ? 2) ? 1, 9

所以直线 l 的方程为 y ?

即 8x-9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意) 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意 x1 ? x2 且

x1 y ? 1 ? 1, 9 4
由①-②得

2

2



x2 y ? 2 ? 1, ② 9 4


2

2

( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ? 0. 9 4

因为 A、B 关于点 M 对称, 所以 x1+ x2=-4, y1+ y2=2, 代入③得

y1 ? y 2 8 = , 9 x1 ? x2
8 , 9 8 (x+2) , 9

即直线 l 的斜率为

所以直线 l 的方程为 y-1=

即 8x-9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意.)

5


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