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2014届高考数学理科试题大冲关:2.6对数与对数函数


2014 届高考数学理科试题大冲关:对数与对数函数
一、选择题 1.若点(a,b)在 y=lgx 图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的是 ( 1 A.( ,b) a 10 C.( ,b+1) a B.(10a,1-b) D.(a2,2b) ) )

2.若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,且 f(2)=1,则

f(x)=( 1 A. x 2 C. log 1 x
2

B . 2x

-2

D.log2x )

3.已知 a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则( A.a>b>c C.b>a>c B.a>c>b D.c>a>b )

4.函数 f(x)=2|log2x|的图象大致是(

5.函数 y=log2(x2+1)-log2x 的值域是( A.[0,+∞) C.[1,+∞)

)

B.(-∞,+∞) D.(-∞,-1]∪[1,+∞) )

1 6.若不等式 x2-logax<0 在(0, )内恒成立,则 a 的取值范围是( 2 1 A.( ,1) 16 C.(0,1) 二、填空题 4 7.若 a>0, a 3 = ,则 log 2 a=________. 9
3

1 B.(0, ) 16 1 D.( ,1] 16

2

8.函数 f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则 b-a 的最小值为________. 9. 已知 f(x)是定义在(-∞, +∞)上的偶函数, 且在(-∞, 0]上是增函数, 设 a=f( log 4 7),

b=f( log 1 3),c=f( 0.2?0.6 ),则 a,b,c 的大小关系是________.
2

三、解答题 10.(1)计算:2(lg 2) +lg 2· lg5+ ?lg 2? -lg2+1- a (2)已知 lga+lgb=2lg(a-2b),求 的值. b
2 2

3

a·a ÷

9

-3

3

a13 ; a7

1 11.已知 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),如果对于任意的 x∈[ ,2]都有|f (x)|≤1 成立,试求 a 3 的取值范围.

12.已知函数 f(x)=log4(ax2+2x+3). (1)若 f(1)=1,求 f(x)的单调区间; (2)是否存在实数 a,使 f(x)的最小值为 0?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

详解答案
一、选择题 1.解析:当 x=a2 时,y=lga2=2lga=2b,所以点(a2,2b)在函数 y=lgx 的图象上. 答案:D 2.解析:函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数是 f(x)=logax,又 f(2)=1,即 loga2=1, 所以 a=2,故 f(x)=log2x. 答案:D

3.解析:a=log23.6=log43.62=log412.96,y=log4x(x>0)是单调增函数, 而 3.2<3.6<12.96,∴a>c>b. 答案:B

?2 log2x 4.解析:f(x)=? -log x ?2 2
x ?x≥1? ? ? 即 f(x)=?1 ? ?x?0<x<1? 其图象为 C. 答案:C

?x≥1? ?0<x<1?

x2+1 1 5.解析:y=log2(x +1)-log2x=log2 =log2(x+ )≥log22=1(x>0). x x
2

答案:C 1 6.解析:∵不等式 x2-logax<0 在(0, )内恒成立, 2 1 1 ∴0<a<1,且 <loga . 4 2 0<a<1, ? ? 1 ∴? 1 1 ∴ <a<1. 16 ? ?a4>2, 答案:A 二、填空题 4 4 7.解析:∵ a = ,∴ log 2 a 3 = log 2 =2, 9 9
3 3

2 3

2

2 ∴ log 2 a=2,∴ log 2 a=3. 3
3 3

答案:3 8.解析:如图所示为 f(x)=|log3x|的图象,当 f(x)=0 时,x=1,当 f(x)=1 1 1 1 时,x=3 或 ,故要使值域为[0,1],则定义域为[ ,3]或[ ,1]或[1,3],所以 b- 3 3 3 2 a 的最小值为 . 3 2 答案: 3 9.解析: log 1 3=- log 1 3=- log 4 9,
2 2

0.2

?0.6

3 3 1 ?5 5 5 5 = ( ) = 5 = 125> 32=2> log 4 9, 5

又 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,故 f(x)在[0,+∞) 上是单调递减的, ∴f( 0.2?0.6 )<f( log 1 3)<f( log 4 7),即 c<b<a.
2

答案:c<b<a 三、解答题 10.解:(1)原式=lg 2(2lg 2+lg5)+ ?lg 2-1?2- a 2 a 3 3 =lg 2(lg2+lg5)+1-lg 2- a3÷ a3 =lg 2+1-lg 2-1=0 (2)∵lga+lgb=2lg(a-2b), ∴lgab=lg(a-2b)2. ∴ab=(a-2b)2,a2+4b2-5ab=0. a a ( )2-5·+4=0, b b a a 解之得 =1 或 =4. b b a ∵a>0,b>0,若 =1,则 a-2b<0, b a a ∴ =1 舍去.∴ =4. b b 11.解:f(x)=logax, 则 y=|f(x)|的图象如右图. 1 由图示,要使 x∈[ ,2]时恒有|f(x)|≤1, 3 1 1 只需|f( )|≤1,即-1≤loga <1, 3 3 1 - 即 logaa 1≤loga ≤logaa. 3 1 - 当 a>1 时,得 a 1≤ ≤a,即 a≥3; 3 1 1 - 当 0<a<1 时得 a 1≥ ≥a,得 0<a≤ . 3 3 1 综上所述,a 的取值范围是(0, ]∪[3,+∞). 3 12.解:(1)∵f(1)=1,
3 9 ? 3 2

?

3

a 2a 2

?

7

13

∴log4(a+5)=1,因此 a+5=4,a=-1, 这时 f(x)=log4(-x2+2x+3). 由-x2+2x+3>0 得-1<x<3,函数定义域为(-1,3). 令 g(x)=-x2+2x+3. 则 g(x)在(-∞,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 又 y=log4x 在(0,+∞)上递增, 所以 f(x)的单调递增区间是(-1,1),递减区间是(1,3). (2)假设存在实数 a 使 f(x)的最小值为 0,则 h(x)=ax2+2x+3 应有最小值 1,因此应有 a>0, ? ? ?12a-4 ? 4a =1, ? 1 解得 a= . 2 1 故存在实数 a= 使 f(x)的最小值等于 0. 2


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