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山东省淄博第一中学2016届高三数学上学期期中模块考试试题 文


淄博一中 2015-2016 学年度第一学期期中模块考试 高三数学试题(文科)
第 I 卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 2 x 1.集合 A={x|x -2x>0},B={y|y=2 ,x>0},R 是实数集,则(CRB)∪A 等于( ) A.

R B.(-?,0)∪(1,+ ?) C.(0,1] D. (-?,1]∪(2,+ ?) ) . 2. “a=2” 是“函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 3 在区间[2,+ ?)上为增函数”的( A.充分条件不必要 B.必要不充分条件 C.充要条件 3.函数 f ( x) ? 1 A.(- ,+?) 3

D.既不充分也不必要条件

3x 2 1? x

? lg(3x ? 1) 的定义域是(
1 ,1) 3

) 1 D.(-?,- ) 3 ( )

B.(-

1 1 C.(- , ) 3 3

4.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a2 ? A.-4 B.-6 C.-8 D.-10

5. 某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于 A.10 B.15 C.20 D.30 4 3

5

6. 把函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 sin x cos x ? 3 cos2 x 的图像沿 x 轴向左平移 m(m>0)个单位, 所 π 得函数 g(x)的图像关于直线 x= 对称,则 m 的最小值为 ( ) 8 A. π 4 B. π 3 π C. 2 D. 3π 4

7.在等差数列{an}中,前四项之和为 20,最后四项之和为 60,前 n 项之和是 100, 则项数 n 为( ) A.9 B.10 C.11 D.12 8.已知 m,n,l 是直线,? , ?是平面,下列命题中: ①若 l 垂直于?内两条直线,则 l??; ②若 l 平行于?,则?内可有无数条直线与 l 平行;
1

③若 m⊥n,n⊥l 则 m∥l; ④若 m??,l??,且?∥?,则 m∥l; 正确的命题个数 为( ) A.3 ..

B .2

C.1

D.4

?3 x ? 9.已知函数 f ( x) ? ?log x 1 ? ? 3
y y

( x ? 1) ( x ? 1) ,则函数 y ? f (1 ? x) 的大致图象是(
y



y

O A 10.若不等式

x

O B

x C

O

x

O D )

x

t t?2 ? a ? 2 在 t ? ?0,2? 上恒成立,则 a 的取值范围是( t ?9 t
2

A. ? ,1? 6

?1 ? ? ?

B. ? ,

?1 4 ? ? 6 13? ?

C. ?

?2 ? ,1? ?13 ?

D. ? , 2 2 ? 6

?1 ?

? ?

第 II 卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在题中横线上. 11. 已知数列{an}中, a1 ? 1 , an ?1 ? ?

1 ,则 a2015 等于________; an ? 1

x+2y-4?0 ? ? 12.设实数 x,y 满足? x-y?0 则 x-2y 的最大值为_________; ? ? y?0 1 3 1 1 5 1 1 1 7 13.观察下列式子 :1 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ,?,根据上述规律, 2 2 2 3 3 2 3 4 4 第 n 个不等式应该为__________________________; 14.在等式“ 1 ?

? ? ? ?

1

?

9

”的两个括号内各填入一个正整数,使它们的和最小,则填入的

两个数依次为_______、_______; 15.下列四个命题: ①命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是“若 a=0,则 ab ? 0 ” ; ②若命题 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ;
2 2

③ ?ABC 中, sin A ? sin B 是 A ? B 的充要条件; ④命题“若 0 ? a ? 1 ,则 log a ? a ? 1? ? log a ?1 ?

? ?

1? ? ”是真命题. a?

其中正确命题的序号是_________。 (把所有正确命题序号都填上) 三、解答题:本大题有 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
2

16. (本题满分 12 分) ? ? 已知向量 a ? (1 , 2) , b ? (?3 , 4) . ? ? ? ? (1)求 a + b 与 a - b 的夹角; ? ? ? (2)若 a ? ( a ?? b ) ,求实数 ? 的值.

17. (本题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中 点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F.

(1)证明:PA∥平面 EDB; (2)证明:PB⊥平面 EFD.

18. (本题满分 12 分) 已知等差数列{an}满足:a5=11,a2+a6=18.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; n (Ⅱ)若 bn =an+3 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

19. (本小题满分 12 分) ? 2 设 f(x)=sinxcosx-cos (x+ ). 4 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; A (Ⅱ)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f( )=0, a=1,,求△ABC 面积的 2 最大值.

20. (13 分)

3

数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? n(n ? 1)(n ? N ? ) (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足: an ? (3)令 cn ?

b b b1 b ? 2 2 ? 3 3 ? ? ? n n ,求数列 ?bn ? 的通项公式; 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1

anbn (n ? N ? ) ,求数列 ?cn ? 的 n 项和 Tn 。 4

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ? x ln x ? x ? 0? : (I)求函数 f ? x ? 的单调区间;
2 (II)设 F ? x ? ? ax ? f ? ?x ?? a ?R ? F , ? x

? 是否存在极值,若存在,请求出极值;若不存

在,请说明理由; (III)当 x ? 0 时,证明: e ? f ? ? x ? ? 1 .
x

4

淄博一中 2015-2016 学年度第一学期期中模块考试 高三数学试题答案(文科) 一、选择题:DABBC ABCDC; 二、填空题:三、解答题: 3? 16、 (1) a ? b 与 a ? b 的夹角为 ; (2) ? ? ?1 . 4 【解析】 : (1)∵ a ? (1 , 2) , b ? (?3 , 4) , ∴ a ? b ? (?2 , 6) , a ? b ? (4 , ?2) , ∴ cos ? a ? b,a ? b ??
(?2, 6) ? (4, ? 2) 40 ? 20 ? ?20 40 ? 20

1 1 1 1 2n+1 ; 4 ; 1+ 2+ 2+?+ ; 2< 2 2 3 (n+1) n+1

4、12; ②③。

????2 分
?? 2 ; 2

???? 5 分 ????6 分

又∵ ? a ? b,a ? b ?? (0, ? ) ,∴ ? a ? b,a ? b ??

3? ; 4

(2)当 a ? (a ? ? b) 时, a ? (a ? ? b) ? 0 , 8分 ∴ (1, 2) ? (1 ? 3?, 2 ? 4? ) ? 0 ,则 1 ? 3? ? 4 ? 8? ? 0 ,∴ ? ? ?1 . 考点:平面向量的数量积. 17、试题解析:证明: (1)连接 AC 交 BD 与 O,连接 EO.

???? 12 分

∵底面 ABCD 是矩形, ∴点 O 是 AC 的中点. 又∵E 是 PC 的中点 ∴在△PAC 中,EO 为中位线 ∴PA∥EO, ???????3 分 而 EO?平面 EDB,PA?平面 EDB, ∴PA∥平面 EDB. ???????6 分 (2)由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC. ∵底面 ABCD 是矩形, ∴DC⊥BC, 且 PD∩CD=D, ∴BC⊥平面 PDC,而 DE?平面 PDC, ∴BC⊥DE. ① ∵PD=DC,E 是 PC 的中点, ∴△PDC 是等腰三角形,DE⊥PC. ② 由①和②及 BC∩PC=C,∴DE⊥平面 PBC.???????9 分 而 PB?平面 PBC, ∴DE⊥PB. 又 EF⊥PB 且 DE∩EF=E, ∴PB⊥平面 EFD. ????????12 分

5

考点:线面平行、线面垂直。 18、解: (Ⅰ)设{an}的首项为 a1,公差为 d,则由 a5=11,a2+a6=18 ? a1+4d=11 得? , ?????3 分 ?2a1+6d=18 解得 a1=3,d=2,所以 an =2n+1;????6 分 (Ⅱ)由 a n ? 2n ? 1 得 bn ? 2n ? 1 ? 3n .]
1 2 3 n Sn ? ? ?3 ? 5 ? 7 ? ? ? ? 2n ? 1? ? ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? ???9 分

? n ? 2n ?
2

3 ?1 ? 3n ? 1? 3

3 3n ?1 。 ? n 2 ? 2n ? ? 2 2

????12 分

考点:等差数列,分组求和。 1 1 ? 19、解: (1)f(x)= sin2x- [1+cos(2x+ )] 2 2 2 1 1 1 1 = sin2x- + sin2x= sin2x2 2 2 2 ????2 分

? ? ? ? 由 2k?- ?2x?2k?+ ,k?Z 得,k?- ?x?k?+ ,k?Z, 2 2 4 4 ? ? 则 f(x)的递增区间为[k?- ,k?+ ],k?Z; 4 4 3? 3? ? ? 由 2k?+ ?2x?2k?+ ,k?Z 得 k?+ ?x?k?+ ,k?Z, 2 2 4 4 3? ? 则 f(x)的递减区间为[k?+ ,k?+ ],k?Z. ?????6 分 4 4 A 1 1 ? (Ⅱ)在锐角△ABC 中,f( )=sinA- =0,sinA= ,A= ,而 a=1 ???9 分 2 2 2 6 ? 2 2 由余弦定理可得 1=b +c -2bccos ?2bc- 3bc=(2- 3)bc ,当且仅当 b=c 时等号成立,即 6 bc? 1 1 2+ 3 ? 1 =2+ 3,S△ABC= bcsinA= bcsin = bc? , 2 2 6 4 4 2- 3 1

2+ 3 故△ABC 面积的最大值为 . ??????.12 分 4 考点:1、三角变换与性质;2、解三角形。 20、 (1) an=2n ; (2) bn=2(3n +1)(n ? N * ) ; (3) H n ? (2n ? 1) ? 3
4
n ?1

?

n(n ? 1) 3 ? 2 4

【解析】解: (1)当 n=1 时, a1=S1=2 ,当 n≥2 时,

an=S n-S n-1=n(n+1)-(n-1)n=2n ,

a1=2 满足该式,∴数列 ?an ? 的通项公式为 an=2n ?????3 分

6

(2) an ?

b b1 b ? 2 2 ? ? ? n n ? n ? 1? ,① 3 ?1 3 ?1 3 ?1

an ?1 ?

b b ?1 b1 b ? 2 2 ? ? ? n n ? n ?n ② 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 1 ?1
3 ?1

n+1 n ?1 ②-①得, nb 1) , ? an ?1 ? an ? 2 ,得 bn+1=2(3 + ?1

又当 n=1 时, b1 ? 8 ,所以 bn=2(3n +1)(n ? N * ) .?????9 分 (3) cn ? an bn =n(3n +1)=n· 3n +n ,
4

∴ Tn=c1+c2+c3+?+cn=(1? 3+2 ? 32+3 ? 33+?+n ? 3n )+(1 +2+?+n) , 令 H n= 1? 3+2 ? 32+3 ? 33+?+n ? 3n ,① 则 3H n= 1? 32+2 ? 33+3 ? 34+?+n ? 3n+1 ②,
n ①-②得, -2 H n=3+32 +33+?+3n -n ? 3n+1= 3(3 ? 1) -n ? 3n+1

3 ?1

∴ H n ? (2n ? 1) ? 3
4

n ?1

?3 ,
n ?1

∴数列 ?cn ? 的前 n 项和. Tn ? (2n ? 1) ? 3
4

?

n(n ? 1) 3 .????13 分 ? 2 4

考点:1.数列的递推关系;2.错位相减法求和. ’ 21.解: (1)f (x)=lnx+1(x>0)

????1 分

1 1 ’ 令 f (x)>0,即 lnx+1>0,解得 x> ,故 f(x)的单调递增区间为( ,+?). e e 1 1 ’ 令 f (x)<0,即 lnx+1<0,解得 0<x< ,故 f(x)的单调递减区间为(0, )。???3 分 e e 1 1 故 f(x)的单调减区间为(0, ), 单调增区间为( ,+?). ?????4 分 e e 1 2ax +1 2 ’ (2)F(x)=ax +lnx+1(x>0), F (x)=2ax+ = (x>0),????5 分 x x 当 a≥0 时,恒有 F (x)>0, F(x)在(0,+?)上为增函数, 故 F(x)在 x∈(0,+?)上无极值; ????6 分
’ 2

当 a<0 时,令 F (x)=0,得 x= x∈(0, x∈( -



1 - , 2a

1 , ), F (x)>0, F(x)单调递增, 2a

1 , ,+?), F (x)<0, F(x)单调递减, 2a 1 1 )= +ln 2a 2 1 , F(x)无极小值。????8 分 2a

故 F 极大值(x)= F(

7

综上所述:当 a≥0 时,F(x)无极值; 1 当 a<0 时, F(x)有极大值 +ln 2
x

-

1 ,无极小值. ?????9 分 2a

(3)设 g(x)=e -lnx(x>0),即证 g(x)>2,只要证 g(x)min>2.????10 分 1 , , x 0.5 , ∵g (x)= e - ,g (0.5)=e -2<1.7-2<0, ∴g (1)=e-1>0, x 1 , x 又 g (x)= e - 在(0,+?)上单调递增, x ∴方程 g (x)=0 有唯一的实根 x=t,且 t∈(0.5,1) .............12 分 , , ∵当 x∈(0,t)时,g (x)< g (t)=0, , , 当 x∈(t, +?)时,g (x)> g (t)=0。
t , t 1 -t ∴当 x=t 时,g(x)min=e -lnt, ∵g (t)=0 即 e = ,则 t=e , t ,

1 -t 1 ∴g(x)min= -lne = +t>2 t t ∴原名题得证。

1 t· =2, t ...............14 分

考点:1、求导、求单调区间及求极值;2、利用导数证明不等式。

8


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