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江苏省淮安市涟水一中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析


江苏省淮安市涟水一中 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.只要求写出结果,不必写出计算 和推理过程.请把答案写在答题卡相应位置上. 1.已知集合 A={﹣1,1,3},B={x|x<3},则 A∩B=. 2.已知角 α 的终边经过点 P(﹣3,4) ,则 cosα=. 3.方程 2
2

x﹣1

= 的解 x=.

4.某单位有青年职工、中年职工、老年职工共 900 人,其中青年职工 450 人,为迅速了解 职工的家家听到状况,采用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为 15 人, 则抽样的样本容量为. 5.如图是一个算法的流程图,当 n 是时运算结束.

6.已知函数 f(x)=(m?2 +2 )cosx(x∈R)是奇函数,则实数 m=. 7.现有 7 根铁丝,长度(单位:cm)分别为 2.01,2.2,2.4,2.5,2.7,3.0,3.5,若从中 一次随机抽取两根铁丝,则它们长度恰好相差 0.3cm 的概率是. 8.已知函数 ,则 f(x)的最大值为.

x

﹣x

9.已知等比数列{an}中,a6=2,公比 q>0,则 log2a1+log2a2+…+log2a11.

10.已知实数 x,y 满足

,则 z=2x+3y 的最大值是.

11.已知函数 f(x)= 数 m 的取值范围是.

,若函数 g(x)=f(x)﹣m 有 3 个零点,则实

12.如图,在△ ABC 中,若

=2



=2



=λ(



) ,则实数 λ=.

13.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1,a3,a4 成等比数列,则

的值为.

14.已知函数 y=lg( ﹣1)的定义域为 A,若对任意 x∈A 都有不等式 >﹣2 恒成立,则正实数 m 的取值范围是.

﹣m x﹣2mx

2

二.解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请 把答案写在答题卡相应位置上. 15.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2 ﹣4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设等差数列{bn}满足 b7=a3,b15=a4,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 16.在平面直角坐标系上,第二象限角 α 的终边与单位圆交于点 A(﹣ ,y0) . (1)求 2sin α+sin2α 的值; (2)若向量 与 夹角为 60°,且| |=2,求直线 AB 的斜率.
2 n+2

17.如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各 10 名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位: 分) ,已知甲代表队数据的中位数为 76,乙代表队数据的平均数是 75. (1)求 x,y 的值; (2)若分别从甲、乙两队随机各抽取 1 名成绩不低于 80 分的学生,求抽到的学生中,甲队 学生成绩不低于乙队学生成绩的概率; (3)判断甲、乙两队谁的成绩更稳定,并说明理由(方差较小者稳定) .

18. (16 分)对于函数 f1(x) ,f2(x) ,h(x) ,如果存在实数 a,b 使得 h(x)=a?f1(x) +b?f2(x) ,那么称 h(x)为 f1(x) ,f2(x)的生成函数. (1)下面给出两组函数,h(x)是否分别为 f1(x) ,f2(x)的生成函数?并说明理由; 第一组: 第二组: (2)设
2

; ; ,生成函数 h(x) .若不等式

3h (x)+2h(x)+t<0 在 x∈[2,4]上有解,求实数 t 的取值范围. 19. (16 分)如图,有一直径为 8 米的半圆形空地,现计划种植甲、乙两种水果,已知单位 面积种植水果的经济价值是种植乙水果经济价值的 5 倍, 但种植甲水果需要有辅助光照. 半 圆周上的 C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要,该光源照射范围是∠ECF= E,F 的直径 AB 上,且∠ABC= . ,点

(1)若 CE= ,求 AE 的长; (2)设∠ACE=α,求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积.

20. (16 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=2(an﹣1) ,数列{bn}满足:对任意 n∈N 有 aibi=(n﹣1)?2
n+1

*

+2.

(1)求数列{an}与数列{bn}的通项公式; (2)设 Cn= ,数列{Cn}的前 n 项和为 Tn,证明:当 n≥6 时,n|2﹣Tn|<1.

江苏省淮安市涟水一中 2014-2015 学年高一下学期期末 数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.只要求写出结果,不必写出计算 和推理过程.请把答案写在答题卡相应位置上. 1.已知集合 A={﹣1,1,3},B={x|x<3},则 A∩B={﹣1,1}. 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由 A 与 B,求出两集合的交集即可. 解答: 解:∵A={﹣1,1,3},B={x|x<3}, ∴A∩B={﹣1,1}, 故答案为:{﹣1,1} 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.已知角 α 的终边经过点 P(﹣3,4) ,则 cosα=



考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 先求出角 α 的终边上的点 P(﹣3,4)到原点的距离为 r,再利用任意角的三角函 数的定义 cosα= 求出结果.

解答: 解:角 α 的终边上的点 P(﹣3,4)到原点的距离为 r=5, 由任意角的三角函数的定义得 cosα= = 故答案为: . .

点评: 本题考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,考查计算能力.
2x﹣1

3.方程 2

= 的解 x=﹣ .

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 原方程转化为 2 解答: 解:2
2x﹣1 2x﹣1

=2 ,根据指数函数的性质得到 2x﹣1=﹣2,解得即可.

﹣2

= =2 ,

﹣2

∴2x﹣1=﹣2, 解得 x=﹣ , 故答案为:﹣ 点评: 本题考查了指数方程的解法,属于基础题. 4.某单位有青年职工、中年职工、老年职工共 900 人,其中青年职工 450 人,为迅速了解 职工的家家听到状况,采用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为 15 人, 则抽样的样本容量为 30. 考点: 专题: 分析: 解答: 则 分层抽样方法. 概率与统计. 根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论. 解:设样本容量为 n, ,

解得 n=30, 故答案为:30. 点评: 本题主要考查分层抽样的应用, 根据条件建立比例关系是解决本题的关键. 比较基 础. 5.如图是一个算法的流程图,当 n 是 5 时运算结束.

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图, 依次写出每次循环得到的 n, S 的值, 当 S=63 时满足条件 S≥33, 退出循环,输出 S 的值为 63,此时 n=5. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 S=1,n=1 S=3 不满足条件 S≥33,n=2,S=7 不满足条件 S≥33,n=3,S=15 不满足条件 S≥33,n=4,S=31 不满足条件 S≥33,n=5,S=63 满足条件 S≥33,退出循环,输出 S 的值为 63,此时 n=5. 故答案为:5. 点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的 n,S 的值是 解题的关键,属于基础题.

6.已知函数 f(x)=(m?2 +2 )cosx(x∈R)是奇函数,则实数 m=﹣1. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 2x 分析: 由 f(x)为奇函数,便有 f(﹣x)=﹣f(x) ,从而可以得到 m+1=﹣(m+1)?2 , 2x 由于 2 >0,从而 m+1=0,这便求得 m 的值. 解答: 解:f(x)是奇函数; ∴f(﹣x)=﹣f(x) ; ∴(m?2 +2 )cosx=﹣(m?2 +2 )cosx; ﹣x ﹣x x x ∴m?2 +2 =﹣m?2 ﹣2 ; 2x ∴m+1=﹣(m+1)?2 ; ∴m+1=0; ∴m=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 考查奇函数的定义,以及指数函数的值域,指数的运算. 7.现有 7 根铁丝,长度(单位:cm)分别为 2.01,2.2,2.4,2.5,2.7,3.0,3.5,若从中 一次随机抽取两根铁丝,则它们长度恰好相差 0.3cm 的概率是 .
﹣x

x

﹣x

x

x

﹣x

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 用列举法列出基本事件数,求出对应的概率即可. 解答: 解:从 2.01,2.2,2.4,2.5,2.7,3.0,3.5 这 7 个数中,随机抽取 2 根铁丝, 基本事件数是 (2.01,2.2) , (2.01,2.4) , (2.01,2.5) , (2.01,2.7) , (2.01,3.0) , (2.01,3.5) (2.2,2.4) , (2.2,2.5) , (2.2,2.7) , (2.2,3.0) , (2.2,3.5) , (2.4,2.5) , (2.4,2.7) , (2.4,3.0) , (2.4,3.5) , (2.5,2.7) , (2.5,3.0) , (2.5,3.5) , (2.7,3.0) , (2.7,3.5) , (3.0,3.5)共 21 种; 其中它们长度恰好相差 0.3cm 的基本事件数是: (2.2,2.5) , (2.4,2.7) , (2.7,3.0)共 3 种; 所求的概率是 P= 故答案为: . 点评: 本题考查了用列举法求古典概型的概率问题,是基础题目. = .

8.已知函数

,则 f(x)的最大值为 2.

考点: 三角函数的最值;两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值.

分析: 由条件利用同角三角函数的基本关系、 两角和差的余弦公式化简函数的解析式, 再 利用余弦函数的值域,求得 f(x)的最大值. 解答: 解:由题意可得,函数 f(x)=cosx+ sinx=2( cosx+ sinx)=2cos(x﹣ ) ,

故函数的最大值为 2, 故答案为:2. 点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式,余弦函数的值域, 属于基础题. 9.已知等比数列{an}中,a6=2,公比 q>0,则 log2a1+log2a2+…+log2a1111. 考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等比数列的性质得:a1a11=a2a10=a3a9=a4a8=a5a6= 件化简式子求出式子的值. 解答: 解:由等比数列的性质得,a1a11=a2a10=a3a9=a4a8=a5a6= ∵a6=2,公比 q>0, ∴log2a1+log2a2+…+log2a11=log2(a1a2…+a11 ) = =11 =11, , ,根据对数的运算性质和条

故答案为:11. 点评: 本题考查等比数列的性质,以及对数的运算性质的应用,属于中档题.

10.已知实数 x,y 满足

,则 z=2x+3y 的最大值是 13.

考点: 专题: 分析: 解答:

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大值. 解:作出不等式对应的平面区域(阴影部分) , , ,由图象可知当直线 y= 的截距最大,此时 z 最大. ,解得 , 经过点 B 时,

由 z=2x+3y,得 y= 平移直线 y= 直线 y= 由

即 B(2,3) . 此时 z 的最大值为 z=2×2+3×3=13,

故答案为:13.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义, 通过数形结合是解决本题的关 键.

11.已知函数 f(x)= 数 m 的取值范围是(0,1) .

,若函数 g(x)=f(x)﹣m 有 3 个零点,则实

考点: 函数的零点. 专题: 数形结合法. 分析: 先把原函数转化为函数 f(x)= 结合图象进行求解. 解答: 解:函数 f(x)= = , ,再作出其图象,然后

得到图象为: 又函数 g(x)=f(x)﹣m 有 3 个零点, 知 f(x)=m 有三个零点, 则实数 m 的取值范围是(0,1) . 故答案为: (0,1) . 点评: 本题考查函数的零点及其应用,解题时要注意数形结合思想的合理运用, 12.如图,在△ ABC 中,若

=2



=2



=λ(



) ,则实数 λ= .

考点: 向量的线性运算性质及几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据几何图形得出 ﹣ )= =2 = = ﹣ , )= , , , = , =2 = = , , = , 表示 = = , =λ (

,对于基底向量的系数相等,即可求解.

解答: 解:∵ ∴ ,∵ = = ,

=λ( ∴

故答案为: .

点评: 本题考察了平面向量的分解表示,运用基底表示向量,对于系数相等,考察了几何 图形的运用能力.

13.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1,a3,a4 成等比数列,则

的值为 2.

考点: 等差数列的性质. 分析: 先由 a1,a3,a4 成等比数列,寻求首项和公式的关系,再将 表示求解. 解答: 解:∵a1,a3,a4 成等比数列 用首项和公差

∴(a1+2d) =a1?(a1+3d) ∴a1=﹣4d =2 故答案是 2 点评: 本题主要考查等差、等比数列的综合运用. 14.已知函数 y=lg( ﹣1)的定义域为 A,若对任意 x∈A 都有不等式 >﹣2 恒成立,则正实数 m 的取值范围是(0, ) . ﹣m x﹣2mx
2

2

考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 运用对数的真数大于 0,可得 A=(0,1) ,对已知不等式两边除以 x,运用参数分 离和乘 1 法, 结合基本不等式可得不等式右边 m 的范围. 解答: 解:由函数 y=lg( ﹣1)可得, ﹣1>0,解得 0<x<1, 即有 A=(0,1) , 对任意 x∈A 都有不等式 ﹣m x﹣2mx>﹣2 恒成立,即有
2

+ 的最小值, 再解 m 的不等式即可得到

﹣m ﹣2m>﹣ ,整理可得 m +2m<

2

2

+ 在(0,1)恒成立,

由 ≥ +2
2

+ =( =

+ ) (1﹣x+x)= +2+ . ,由于 m>0, , ) .

+

即有 m +2m< 解得 0<m< 故答案为: (0,

点评: 本题考查不等式恒成立问题的解法, 注意运用参数分离和基本不等式, 考查运算求 解能力,属于中档题.

二.解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请 把答案写在答题卡相应位置上. 15.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2 ﹣4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设等差数列{bn}满足 b7=a3,b15=a4,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)求解 n=1 时,得出 a1,n≥2 时,运用 an=Sn﹣Sn﹣1,合并通项公式即可. (2)所以 根据条件得出方程组 ,运用求和公式求解即可.
n+2 n+2

解答: (1)因为数列{an}的前 N 项和 Sn=2 ﹣4. 3 所以 a1=S1=2 ﹣4=4 n+2 n+1 n+1 当 n>1 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(2 ﹣4)﹣(2 ﹣4)=2 , n+1 因为 n=1 时也适合,所以 an=2 (n∈N*) ; n+1 (2)设等差数列{bn}的首项为 b1,公差为 d,因为 b7=a3,b15=a4,an=2 所以 ,

解得


2

所以数列{bn}前 n 项和 Tn=nb1

d=n +3n.

点评: 本题考察了数列的递推关系式的运用求解通项公式,关键是 n=1 别忘了,运用条 件的方程组,计算能力.

16.在平面直角坐标系上,第二象限角 α 的终边与单位圆交于点 A(﹣ ,y0) . (1)求 2sin α+sin2α 的值; (2)若向量 与 夹角为 60°,且| |=2,求直线 AB 的斜率.
2

考点: 任意角的三角函数的定义;直线的斜率. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由条件求得 y0= ,再利用任意角的三角函数的定义求得 cosα 和 sinα 的值, 可得 2sin α+sin2α 的值. (2)利用两个向量的数量积的定义求得 且﹣ x+ y=1,再利用个向量的数量积公式求得 再利用斜率公式求得 AB 的斜率. =1,设 B(x,y) ,则由题意可得 x +y =4, ,解出 x、y 的值,可得点 B 坐标,
2 2 2

解答: 解: (1)由题意可得
2

+
2

=1,y0>0,求得 y0= , +2× ×(﹣ )= .

∴cosα=﹣ ,sinα= ,故 2sin α+sin2α=2sin α+2sinαcosα=2× (2)∵向量 ∴ 与 夹角为 60°,且| |=1,| |=2,

=1×2×cos60°=1.
2 2

设 B(x,y) ,则由题意可得 x +y =4,且﹣ x+ y=1. 求得 x= 即 B( ,y= , ;或 x=﹣ ) ,或 B(﹣ ,y= , , ) .

再根据 A(﹣ , ) ,根据斜率公式求得 AB 的斜率为

=





=

+



点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义, 两个向量的数量积的定义、 两个向量的数 量积公式,直线的斜率公式,属于中档题. 17.如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各 10 名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位: 分) ,已知甲代表队数据的中位数为 76,乙代表队数据的平均数是 75. (1)求 x,y 的值; (2)若分别从甲、乙两队随机各抽取 1 名成绩不低于 80 分的学生,求抽到的学生中,甲队 学生成绩不低于乙队学生成绩的概率; (3)判断甲、乙两队谁的成绩更稳定,并说明理由(方差较小者稳定) .

考点: 极差、方差与标准差;茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)按大小数列排列得出 x 值,运用平均数公式求解 y, (2)判断甲乙两队各随机抽取一名,种数为 3×4=12,列举得出甲队学生成绩不低于乙队学 生成绩的有 80,80;82,80;88,80;88,86;88,88.种数为 3+1+1=5,运用古典概率 求解.

(3)求解甲的平均数,方差,一点平均数,方差,比较方差越小者越稳定,越大,波动性 越大.得出结论:甲队的方差小于乙队的方差,所以甲队成绩较为稳定. 解答: 解: (1)因为甲代表队的中位数为 76,其中已知 高于 76 的有 77,80,82,88,低于 76 的有 71,71, 65,64,所以 x=6, 因为乙代表队的平均数为 75,其中超过 75 的差值为 5,11,13,14,和为 43,少于 75 的差值为 3,5, 7,7,19,和为 41,所以 y=3, (2)甲队中成绩不低于 80 的有 80,82,88; 乙队中成绩不低于 80 的有 80,86,88,89, 甲乙两队各随机抽取一名,种数为 3×4=12, 其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有 80,80;82,80;88,80;88,86;88,88.种 数为 3+1+1=5,所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为 p= (3)因为甲的平均数为: = (64+65+71+71+76+76+77+80+82+88)=75,
2




所以甲的方差 S
2 2

=

[(64﹣75) +(65﹣75) +2×(71﹣75) +2×(76﹣75) +(77﹣75)
2 2

2

2

2

2

+(80﹣75) +(82﹣75) +(88﹣75) ]=50.2,
2


又乙的方差 S
2

=

[(56﹣75) +2×(68﹣75) +(70﹣75) +(72﹣75) +(73﹣75) +
2 2 2

2

2

2

2

2

(80﹣75) +(86﹣75) +(88﹣75) +(89﹣75) ]=70.3, 因为甲队的方差小于乙队的方差,所以甲队成绩较为稳定.

点评: 本题考察了茎叶图的运用,求解方差,进行数据的分析解决实际问题,考察了计算 能力,准确度. 18. (16 分)对于函数 f1(x) ,f2(x) ,h(x) ,如果存在实数 a,b 使得 h(x)=a?f1(x) +b?f2(x) ,那么称 h(x)为 f1(x) ,f2(x)的生成函数. (1)下面给出两组函数,h(x)是否分别为 f1(x) ,f2(x)的生成函数?并说明理由; 第一组: 第二组: ; ;

(2)设
2

,生成函数 h(x) .若不等式

3h (x)+2h(x)+t<0 在 x∈[2,4]上有解,求实数 t 的取值范围. 考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由条件利用生成函数的定义,判断 h(x)是否分别为 f1(x) ,f2(x)的生成 函数,从而得出结论. 2 (2)由题意可得不等式 3h (x)+2h(x)+t<0 在 x∈[2,4]上有解,等价于 在[2, 4]上有解. 令 s=log2x, 则 s∈[1, 2],由 解答: 解: (1) ①设 取
2

,求得 y 的最小值,可得 t 的范围. , 即 ,

,所以 h(x)是 f1(x) ,f2(x)的生成函数.
2 2 2 2

②设 a(x ﹣x)+b(x +x+1)=x ﹣x+1,即(a+b)x ﹣(a﹣b)x+b=x ﹣x+1,



,该方程组无解.所以 h(x)不是 f1(x) ,f2(x)的生成函数.

(2)因为 所以 不等式 3h (x)+2h(x)+t<0 在 x∈[2,4]上有解, 等价于 令 s=log2x,则 s∈[1,2],由
2

, ,

在[2,4]上有解, ,

知 y 取得最小值﹣5,所以 t<﹣5. 点评: 本题主要考查新定义,两角和差的正弦函数,属于中档题. 19. (16 分)如图,有一直径为 8 米的半圆形空地,现计划种植甲、乙两种水果,已知单位 面积种植水果的经济价值是种植乙水果经济价值的 5 倍, 但种植甲水果需要有辅助光照. 半 圆周上的 C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要,该光源照射范围是∠ECF= E,F 的直径 AB 上,且∠ABC= . ,点

(1)若 CE= ,求 AE 的长; (2)设∠ACE=α,求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积.

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (1)利用余弦定理,即可求 AE 的长; (2)设∠ACE=α,求出 CF,CE,利用 S△ CEF= 值,即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积. 解答: 解: (1)由题意,△ ACE 中,AC=4,∠A= ∴13=16+AE ﹣2× ∴AE=1 或 3; (2)由题意,∠ACE=α∈[0, 在△ ACF 中,由正弦定理得 在△ ACE 中,由正弦定理得 ],∠AFC=π﹣∠A﹣∠ACF= ,∴CF= ,∴CE= ; , ﹣α.
2

,计算面积,求出最大

,CE=





该空地产生最大经济价值时,△ CEF 的面积最大, S△ CEF= = ,

∵α∈[0, ∴α=

],∴0≤sin(2α+

)≤1, ,该空地产生最大经济价值.

时,S△ CEF 取最大值为 4

点评: 本题考查余弦定理的运用, 考查三角形面积的计算, 考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 20. (16 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=2(an﹣1) ,数列{bn}满足:对任意 n∈N 有 aibi=(n﹣1)?2
n+1 *

+2.

(1)求数列{an}与数列{bn}的通项公式;

(2)设 Cn=

,数列{Cn}的前 n 项和为 Tn,证明:当 n≥6 时,n|2﹣Tn|<1.

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析: (1)由数列的通项和求和的关系,当 n=1 时,a1=S1=2(a1﹣1) ,解得 a1=2,当 n >1 时,an=Sn﹣Sn﹣1,由等比数列的通项即可得到,再由 n 换成 n+1,相减可得数列{bn}的 通项公式; (2)求出 Cn= ,运用错位相减法,求得前 n 项和为 Tn,再由数学归纳法,即可得证.

解答: 解: (1)数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=2(an﹣1) , 当 n=1 时,a1=S1=2(a1﹣1) ,解得 a1=2, 当 n>1 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2(an﹣1)﹣2(an﹣1﹣1) , 化简可得 an=2an﹣1, n 由等比数列的通项公式,可得 an=2 , 数列{bn}满足:对任意 n∈N 有
*

aibi=(n﹣1)?2

n+1

+2.

即有

aibi=n?2

n+2

+2,
n+2 n+1

两式相减,可得 an+1bn+1=n?2 +2﹣(n﹣1)?2 n+1 =(n+1)2 , n+1 由 an+1=2 ,可得 bn+1=n+1, 即有 bn=n, 当 n=1 时,a1b1=2,可得 b1=1, n 故有 an=2 ,bn=n; (2)Cn= = ,

﹣2

则 Tn= + + +…+ Tn= + + +…+

, ,

两式相减,可得 Tn= + +…+



=





解得 Tn=2﹣


n

当 n≥6 时,n|2﹣Tn|<1,即为

<1,即证 2 >n(n+2) .

运用数学归纳法证明. 当 n=6 时,2 =64,6×8=48,则 64>48,成立. 7 当 n=7 时,2 =128,7×9=63,则 128>63,成立. k 假设 n=k(k≥7)时,2 >k(k+2) . k+1 当 n=k+1 时,2 >2k(k+2) . 2 由 2k(k+2)﹣(k+1) (k+3)=k ﹣3>0, 即有 2k(k+2)>(k+1) (k+3) , 则当 n=k+1 时,2 >(k+1) (k+3) . 综上可得, n 当 n≥6 时,2 >n(n+2) . 即有 n|2﹣Tn|<1. 点评: 本题考查数列的通项和求和的关系, 同时考查等差数列和等比数列的通项公式, 考 查数列的求和方法:错位相减法和数学归纳法的证明不等式,属于中档题.
k+1 6


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