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1.2.2绝对值不等式解法


2.绝对值不等式的解法

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1.掌握绝对值不等式的几种解法,并解决绝对值不等式的求解
问题. 2.了解绝对值不等式的几何解法.

1.本课重点是两种类型绝对值不等式的解法. 2.本课难点是利用绝对值不等式解决实际问题.

1.含绝对值的不等式|x|<a与|x|&

gt;a的解集

?x ?a ? x ? a? ?x x ? a或x ? ? a?

?

?
R

?x ? R x ? 0?

2.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 -c≤ax+b≤c (1)|ax+b|≤c?____________;

ax+b≥c或ax+b≤-c (2)|ax+b|≥c?___________________.

1.|x|的几何意义是什么?

提示:|x|表示数轴上的点x到原点O的距离.
2.不等式|7x-1|≤3的解集是________.

【解析】由|7x-1|≤3得-3≤7x-1≤3,解得- 2 ≤x≤ 4 .
7

答案:[- 2 , 4 ]
7 7

7

3.不等式|1-3x|≥2的解集是_________. 【解析】|1-3x|≥2?|3x-1|≥2?3x-1≤-2或3x-1≥2,解
1 1 得x≤- 或x≥1.?原不等式的解集为{x|x≤- 或x≥1}. 3 3 答案:{x|x≤- 1 或x≥1} 3

|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法

(1)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想,理
解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释是解

题关键.
(2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零 点分段法”求解,体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号 内多项式的正、负性,进而去掉绝对值符号是解题关键.

(3)通过构造函数,利用函数的图象求解,体现函数与方程的

思想.正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数
的增减性)是解题关键

简单的绝对值不等式的解法 【技法点拨】

绝对值不等式的常见类型及其解法
(1)形如|f(x)|<a,|f(x)|>a(a∈R)型不等式

此类不等式的简单解法是等价转化法,即
①当a>0时,|f(x)|<a?-a<f(x)<a. |f(x)|>a?f(x)>a或f(x)<-a.

②当a=0时,|f(x)|<a无解.

|f(x)|>a?f(x)≠0.
③当a<0时,|f(x)|<a无解.

|f(x)|>a?f(x)有意义.

(2)形如|f(x)|<|g(x)|型不等式

此类问题的简单解法是利用平方法,即
|f(x)|<|g(x)|?[f(x)]2<[g(x)]2

?[f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]<0.

(3)形如|f(x)|<g(x),|f(x)|>g(x)型不等式
此类不等式的简单解法是等价转化法,即

①|f(x)|<g(x)?-g(x)<f(x)<g(x),
②|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x) (其中g(x)可正也可负). 若此类问题用分类讨论法来解决,就显得较复杂.

(4)形如a<|f(x)|<b(b>a>0)型不等式
此类问题的简单解法是利用等价转化法,即 a<|f(x)|<b(0<a<b) ?a<f(x)<b或-b<f(x)<-a. (5)形如|f(x)|<f(x),|f(x)|>f(x)型不等式 此类问题的简单解法是利用绝对值的定义,即 |f(x)|<f(x)?x∈?, ?

|f(x)|>f(x)?f(x)<0.

【典例训练】

1.不等式|2x-3|>2的解集是______.
2.不等式|x2+3x-8|<10的解集是_______.

【解析】1.由|2x-3|>2得2x-3>2或2x-3<-2,解得x> 或
1 1 5 x< ,故原不等式的解集是{x|x> 或x< }. 2 2 2 1 5 答案:{x|x> 或x< } 2 2 2 > ? 2+3x-8<10,即 ? x ? 3x ? 8 ? 10, 2.原不等式等价于-10<x ? 2 10 ? x ? 3x ? 8< ? x> ? 1或x<? 2, ? ? ? ??6<x<3,

5 2

?原不等式的解集是(-6,-2)∪(-1,3)

答案:(-6,-2)∪(-1,3)

【想一想】不等式|3x-1|≤2的几何意义是什么?

提示:|3x-1|≤2可化为|x- 1 |≤ 2 ,它的几何意义是数
3 3 3 3

轴上到坐标为 1 的点的距离不大于 2 的点的集合.

含多个绝对值不等式的解法 【技法点拨】 1.|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 (1)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式有三种解 法 分区间(分类)讨论法、图象法和几何法.分区间讨论的方法具

有普遍性,但较麻烦;几何法和图象法直观,但只适用于数据较
简单的情况.

(2)分区间(分类)讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解,即
?x ? |x| ? ? ?? x ?

? x ? 0 ?, 也即x∈R.x为非负数时,|x|为x;x为负 ? x ? 0 ?,

数时,|x|为-x,即x的相反数. (3)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式

的图象解法和画出函数f(x)=|x-a|+|x-b|-c的图象是密切
相关的,其图象是折线,正确地画出其图象的关键是写出f(x)的

分段表达式.

不妨设a<b,于是f(x)= -2x+a+b-c b-a-c (x≤a), (a<x<b),

2x-a-b-c

(x≥b).

这种图象法的关键是合理构造函数,正确画出函数的图象,求出

函数的零点,体现了函数与方程结合、数形结合的思想.

2.分区间讨论的一般步骤 (1)令每个绝对值符号里的一次式为零,求出相应的根; (2)把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间; (3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式,解这些不

等式,求出它们的解集;
(4)这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集.

【典例训练】

1.解不等式|x+1|+|x-1|≥3;
2.解不等式|x|+|x-3|≤5.

【解析】1.方法一:如图,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B, 那么A,B两点间的距离为2,因此区间[-1,1]上的数都不是不 等式的解.设在A点左侧有一点A1到A,B两点的距离和为3,A1对应 数轴上的x. 所以-1-x+1-x=3,得x=- 3 .
2

同理设B点右侧有一点B1到A,B两点的距离和为3,B1对应数轴上 的x,

所以x-1+x-(-1)=3.
所以x= .
3 2

从数轴上可看到,点A1,B1之间的点到A,B的距离之和都小于3;

点A1的左边或点B1的右边的任何点到A,B的距离之和都大于3,
所以原不等式的解集是(-≦,3 2

]∪[
3 2

,+≦).

方法二:当x≤-1时,原不等式可以化为 -(x+1)-(x-1)≥3,
3 解得x≤- . 2

当-1<x<1时,原不等式可以化为 x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,无解. 当x≥1时,原不等式可以化为

x+1+x-1≥3.所以x≥

3 . 2

综上,可知原不等式的解集为{x|x≤- 或x≥

3 2

3 } 2

方法三:将原不等式转化为 |x+1|+|x-1|-3≥0. 构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即 -2x-3, y= -1, 2x-3, x≤-1, -1<x<1, x≥1.

作出函数的图象(如图).

函数的零点是-

3 3 3 , ,从图象可知当x≤- 3 或x≥ 时,y≥0.即 2 2 2 2

|x+1|+|x-1|-3≥0.
3 所以原不等式的解集为(-≦,- 3 ]∪[ ,+≦). 2 2

2.方法一:|x|与|x-3|可以看作是数轴上的点x到0和3两点的距

离,因此,不等式的几何意义是数轴上到0和3两点的距离之和不
超过5的x的范围,结合数轴易得出-1≤x≤4,所以原不等式的解

集为[-1,4].

方法二:原不等式|x|+|x-3|≤5可等价转化为
? x ? 0, 或 ? ?? x ? 3 ? x ? 5 ?0 ? x ? 3, ? ?x ? 3 ? x ? 5

或 ?

? x ? 3, ? x ? x ? 3 ? 5,

解不等式组得-1≤x≤4.
所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤4}.

【思考】求解此类不等式的关键是什么?

提示:关键是理解绝对值的几何意义.

其他类型的绝对值不等式 【技法点拨】 |f(x)|>g(x)、|f(x)|<g(x)型绝对值不等式的解法 形如|f(x)|>g(x)类型的不等式可以借助形如|ax+b|>c 的解法转化为f(x)<-g(x)或f(x)>g(x),当然|f(x)|< g(x)?-g(x)<f(x)<g(x),而如果f(x)的正负能确定的话,也 可以直接去掉绝对值再解不等式.

【典例训练】

1.不等式|2x-3|<3x+1的解集是_________.
2.解关于x的不等式|logaax2|<|logax|+2.

【解析】1.解题流程. 审题 |2x-3|<3x+1 由题意知3x+1>0,原不等式转化为 -(3x+1)<2x-3<3x+1
2 ? x? ? 5 ?2x ? 3 ? ?3x ? 1 ? 2 ? ? ? x ? ?4 ? x ? 以上不等式等价于 ?2x ? 3 ? 3x ? 1 5 ? 1 ?3x ? 1 ? 0 ?x ? ? ? 3 ?

转化

求解

结论
答案:(

2 ( , ??) 5
2 ,+≦) 5

2.原不等式可化为|1+2logax|<|logax|+2,两边平方得
4(logax)2+4logax+1<(logax)2+4|logax|+4,由定义去掉绝

对值符号可得:
?log a x ? 0, (1) ? ?1 ? 2log a x<log a x ? 2

?0≤logax<1.

(2) ? ?

log a x<0,
2

?3(log a x) ? 8log a x ? 3<0

?-3<logax<0,

综上(1)(2)可知-3<logax<1,

故当a>1时,原不等式的解集为{x|a-3<x<a};

当0<a<1时,原不等式的解集为{x|a<x<a-3}.

【思考】解答题2的易错点是什么?

提示:易错点是忽略分类讨论而导致错解.

含参数的绝对值不等式的解法
【技法点拨】

含参数的不等式问题分类及解题策略
(1)一类要对参数进行讨论,另一类对参数并没有进行讨论, 而是去绝对值时对变量进行讨论,得到两个不等式组,最后把 两不等式组的解集合并,即得该不等式的解集.

(2)解绝对值不等式的基本思想是想方设法,去掉绝对值符号,

去绝对值符号的常用手段有以下几种:
①形如|f(x)|≤g(x)或|f(x)|>g(x)的求解方法: (ⅰ)根据实数的绝对值的意义分类讨论, 即|a|= a (a≥0) ;

-a

(a<0)

(ⅱ)根据公式:|x|<a?-a<x<a(a∈R且a>0);
|f(x)|<g(x)?-g(x)<f(x)<g(x);

|x|>a?x>a或x<-a(a∈R且a≥0);
|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x). (ⅲ)根据|a|2=a2(a∈R),若不等式两边非负,可在不等式两边 同时平方,如|f(x)|≤|g(x)|?f2(x)≤g2(x).

②若不等式中有两个或两个以上含有未知数的绝对值的项,一 般用数形结合法(包括几何法、图象法)和区间讨论法.数形结 合法是根据绝对值的意义在数轴上找对应满足题意的数,直接 写出解集,或构造函数,画出图象,由图象直接写出未知数的取 值范围,得出解集;区间讨论法是先求出每个含绝对值符号的 代数式等于零的未知数的值,将这些值依次标在数轴上,这样 数轴被分成若干个区间,这若干个区间内的不等式的解集的并

集即为原不等式的解集.分段讨论时,注意不要遗漏分段的端
点.

【典例训练】1.设函数f(x)=|x-1|+|x-a|,如果对任意 x∈R,f(x)≥2,则a的取值范围是_____. 2.(2011·新课标全国高考)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集; (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.

【解析】1.若a=1,则f(x)=2|x-1|,不满足题设条件.
若a<1,则f(x)= -2x+a+1, x≤a 1-a, a<x<1,

2x-(a+1), x≥1 ?f(x)的最小值为1-a. 若a>1,则f(x)= -2x+a+1,x≤1 a-1, 1<x<a

2x-(a+1),x≥a ?f(x)的最小值为a-1.

综上可知,所求a的取值范围是(-≦,-1]∪[3,+≦).
答案:(-≦,-1]∪[3,+≦) 2.(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为 |x-1|≥2. 由此可得x≥3或x≤-1.

故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}.

(2)由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0, 将此不等式化为不等式组
? x ? a, ? ? x ? a ? 3x ? 0
? x ? a, ? 即 ?x ? a ? 4 ?

? x<a, 或 ? ?a ? x ? 3x ? 0,
? x<a, ? 或 ?x ? ? a . ? 2 ?

因为a>0,所以不等式组的解集为{x|x≤ ? }.

由题设可得?

a =-1,故a=2. 2

a 2

【易错误区】绝对值不等式变形不等价致误 【典例】不等式|x+2|-|2x-1|≥1的解集是_________. 【解题指导】

【解析】原不等式等价于
? x<? 2 (ⅰ) ? ?? ? x ? 2 ? ? ? 2x ? 1? ? 1, 1 ? ?2 ? x< (ⅱ) ? 2 ? ?? x ? 2 ? ? ? 2x ? 1? ? 1, ?
1 ? x? ? 2 (ⅲ) ? ? x ? 2 ? ? 2x ? 1? ? 1, ?



?(ⅰ)无解,(ⅱ)的解集为0≤x<

1 1 ,(ⅲ)的解集为 ≤x≤2. 2 2

综上(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)取并集②,得原不等式的解集为[0,2]. 答案:[0,2]

【阅卷人点拨】通过阅卷后分析,对解答本题的常见错误及解 题启示总结如下:(此处的①②见解析过程)

【即时训练】函数f(x)=|2x+1|-|x-4|的最小值是_____. 【解析】令y=|2x+1|-|x-4|,则 -x-5,x≤- 1 , y=
1 3x-3,- <x<4, 2 2

x+5,x≥4.
在一个坐标系中分别画出以上分段函数,

由图象可知,当x=答案:?
9 2

9 1 时,y=|2x+1|-|x-4|取得最小值 ? . 2 2

1.若集合M={x||x|≤2},N={x|x2-3x=0},则M∩N=(

)

(A){3}
(C){0,2}

(B){0}
(D){0,3}

【解析】选B.M={x|-2≤x≤2},N={0,3},
?M∩N={0}.

2.不等式|2x-log2x|<|2x|+|log2x|的解为( (A)1<x<2 (C)x>1 (B)0<x<1 (D)x>2

)

【解析】选C.由|a-b|≤|a|+|b|,其中等号成立的条件为: ab≤0, ?原不等式成立,即2x·log2x>0,?x>1.

| ?| 2 2x 1 ? 3. >0的解集为( ) |x ? 3 | (A){x|x> 3 或x<- 1 } 2 2 (B){x|- 1 <x< 3 } 2 2 1 (C){x|x> 3 或x<- 且x≠-3} 2 2

(D){x|x∈R且x≠-3}

【解析】选C.≧分母|x+3|>0且x≠-3,

?原不等式等价于|2x-1|-2>0,
即|2x-1|>2,?2x-1>2或2x-1<-2, 解得x> 或x<3 2 1 . 2

1 3 ?原不等式的解集为{x|x> 或x<- 且x≠-3}. 2 2

4.|2x+1|>|5-x|的解集是________.

【解析】≧|2x+1|>|5-x|,?(2x+1)2>(5-x)2,
?3x2+14x-24>0,?x<-6或x> 4 .
3

答案:(-≦,-6)∪(

4 ,+≦) 3

5.求不等式||x+3|-|x-3||>3的解集. 【解析】由绝对值不等式的几何意义知: 数轴上的点x到点-3和3的距离之差的绝对值大于3,
3 不难得出x> 或x<- 3 . 2 3 3 ?原不等式的解集为{x|x> 或x<- }. 2 2 2


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